2 Vibrations des systèmes discrétisés

2.1 Modélisation du système

Pour modéliser l’évolution de la déformation élastique d’un système vibrant, il est nécessaire d’identifier un ensemble d’éléments de la structure pourvus d’une masse et pouvant se déformer ou se déplacer de manière indépendante. Les paramètres indépendants caractérisant entièrement les déplacements/déformations du système (translations et rotations) sont appelés degrés de liberté (ddl) et constituent les coordonnées généralisées du système discrétisé. Le modèle est d’autant plus précis que le nombre de degrés de liberté est élevé. Pourtant un modèle simple ne comptant qu’un nombre réduit de ddl suffit souvent à expliquer ses vibrations.

Pour un système à $N$ degrés de liberté (ddl), les coordonnées généralisées sont les fonctions à identifier $x_i(t)\quad (i = 1,\dots, N$) et sont rassemblées dans le vecteur $\mathbf x(t)$

Ce cours se limite à l’étude des systèmes linéaires dont la vibration est une petite perturbation ($\|x_i(t)\|\ll \epsilon$) autour d’un équilibre stable déterminé par les minima d’énergie potentielle $\left(\dfrac{\partial U}{\partial x_i} \right)_0 = 0 , \forall i$.

2.2 Énergies du système

Une fois identifiées les coordonnées généralisées, il est possible d’écrire les énergies cinétiques et potentielles du système dans un mouvement quelconque avec une déformation arbitraire. On a vu plus haut en effet que la vibration consiste, après un apport d’énergie initial, en la transformation alternée de l’énergie potentielle élastique en énergie cinétique. En l’absence de dissipation, le bilan énergétique reste constant et les équations du mouvement doivent traduire cet équilibre dynamique.

On commence donc par exprimer les énergies cinétique et potentielle en fonction des coordonnées généralisées.

2.2.1 Énergie cinétique

L’énergie cinétique apparaît comme une forme quadratique des vitesses généralisées : \[T = \frac{1}{2} \sum_{i,j} m_{ij} \dot{x}_i\dot{x}_j\] En introduisant le vecteur des vitesses généralisées $\mathbf{\dot x}(t)$, on peut écrire ce résultat comme: \[T = \frac{1}{2} \mathbf{\dot x^T M\dot x}\] où l’on a réuni les coefficients des termes quadratiques dans la matrice d’inertie : \[\mathbf M =[m_{ij}]=\left[\frac{\partial T}{\partial x_i\partial x_j}\right]\]

2.2.2 Énergie de déformation

L’énergie potentielle élastique prend une forme quadratique semblable: \[U = \frac{1}{2} \sum_{i,j} k_{ij} x_i x_j\] qu’on peut écrire de la même manière: \[U = \frac{1}{2} \mathbf{ x^T K x}\] où l’on fait apparaître la matrice de raideur : \[\mathbf K =[k_{ij}]=\left[\frac{\partial U}{\partial x_i\partial x_j}\right]\]

Note 2.1: Remarque

Les matrices $\mathbf{ M }$ et $\mathbf{ K }$ sont nécessairement carrées, de dimension $N\times N$ et symétriques.

Elles sont également toutes deux définies positives, c’est-à-dire que : \[ \mathbf x^T \mathbf M \mathbf x \geq 0\,\forall \mathbf x \quad\text{et}\quad \mathbf x^T \mathbf K \mathbf x \geq 0\,\forall \mathbf x, \] ce qui revient à dire que les énergies potentielles et cinétiques sont toujours non-négatives pour tout vecteur de déplacement et tout vecteur vitesse.

Notez que $\mathbf M$ n’est pas singulière, alors que $\mathbf K$ peut être singulière (si des mouvements de corps rigide existent).

2.3 Mouvement libre

En l’absence de force exercée de façon permanente au système, mais à la suite d’une perturbation de son équilibre statique, le système se met en mouvement. L’objet des développements qui suivent est d’établir analytiquement l’expression des variations temporelles des coordonnées généralisées. Du fait que le système évolue librement, mais avec des contraintes éventuelles de liaison, les mouvements peuvent être considérés comme ses déformations naturelles, dépendant uniquement de ses caractéristiques élastiques et inertielles.

Considérant le Lagrangien $L = T-U$, on peut écrire l’équilibre dynamique avec les équations de Lagrange en introduisant les vecteurs d’opérateurs $\frac{\partial }{\partial \mathbf{\dot x}}$ et $\frac{\partial}{\partial \mathbf{x}}$: \[\begin{aligned} &\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot x}}-\frac{\partial L}{\partial \mathbf x}=0\\ \Leftrightarrow\quad &\frac{d}{dt} \frac{\partial (T-U)}{\partial \mathbf{\dot x}}-\frac{\partial (T-U)}{\partial \mathbf x}=0\\ \Leftrightarrow\quad &\frac{d}{dt} \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial \mathbf{\dot x}}( \mathbf{ \dot x^T M \dot x}-\mathbf{ x^T K x})-\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial \mathbf x}( \mathbf{ \dot x^T M \dot x}-\mathbf{ x^T K x})=0\\ \Leftrightarrow\quad &\frac{d}{dt} \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial \mathbf{\dot x}} \mathbf{ \dot x^T M \dot x}+\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial \mathbf x}\mathbf{ x^T K x}=0\\ \Leftrightarrow\quad &\frac{d}{dt} \mathbf{ M \dot x}+ \mathbf{ K x}=0\\ \end{aligned}\]

On arrive finalement à un système d’équations du mouvement libre qui s’écrit sous forme matricielle :

\[ \mathbf{M\ddot x}(t)+\mathbf{Kx}(t) = 0 \tag{2.1}\]

L’équilibre dynamique du système à $N$ degrés de liberté est ainsi décrit par $N$ équations différentielles chacune portant sur un degré de liberté, mais liées par des termes de couplage via $\mathbf M$ et $\mathbf K$.

2.4 Identification des modes propres de vibration

2.4.1 Découplage des équations

Pour résoudre Équation 2.1, on va s’attacher à transformer l’équation de manière à enlever les couplages. Pour cela, on va postuler une solution $\mathbf x(t)$ de la forme:

\[ \mathbf x(t) = \mathbf X p(t), \]

$\mathbf X$ donne la “forme spatiale” de la solution et $p(t)$ l’oscillation en temps. En y substituant cette solution, on obtient :

\[ \mathbf{MX}\ddot{p}(t) + \mathbf{KX}p(t) = 0 \]

On a toujours une équation matricielle, pour aller plus loin, on prend le produit scalaire avec un vecteur $\mathbf Y\in\mathbb R^N$ quelconque, et on obtient l’équation scalaire suivante, valide $\forall \mathbf Y$:

\[ \mathbf Y^T\mathbf{MX}\ddot{p} + \mathbf{Y}^T\mathbf{KX}p = 0,\ \forall \mathbf Y. \]

On peut reformuler l’équation comme un déterminant nul:

\[ \begin{vmatrix} \ddot{p} & p \\ -\mathbf{Y}^T\mathbf{KX} & \mathbf Y^T\mathbf{MX} \end{vmatrix} = 0\ \forall \mathbf Y \]

Cela indique que la matrice $2\times 2$ ci-dessus est singulière, donc que ses colonnes sont linéairement dépendantes, c’est-à-dire qu’il existe $\lambda$ tel que:

\[ \left\{ \begin{aligned} \ddot p + \lambda p & = 0 \\ -\mathbf Y^T \mathbf{KX} + \lambda \mathbf Y^T \mathbf MX & = 0\ \forall \mathbf Y \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} \ddot p + \lambda p & = 0 \\ \mathbf Y^T (-\mathbf{KX} + \lambda\mathbf{MX}) & = 0\ \forall \mathbf Y\end{aligned} \right. \tag{2.2}\]

Puisque la deuxième égalité est valide pour tout $\mathbf Y$, il faut que $-\mathbf{KX} + \lambda \mathbf{MX} = 0$. On a alors:

\[ \mathbf{KX} = \lambda \mathbf{MX} \quad \Rightarrow\quad \mathbf{X^T KX} = \lambda \mathbf{X^T MX} \quad \Leftrightarrow \quad \lambda = \frac{\mathbf{X^T KX}}{\mathbf{X^T MX}}\]

Puisque les matrices $\mathbf K$ et $\mathbf M$ sont définies positives (cf. Note 2.1), on a $\lambda \geq 0$, on peut donc remplacer $\lambda = \omega^2$ dans la première équation de (2.2) :

\[ \left\{ \begin{aligned} \ddot p + \omega^2 p = 0 \\ \mathbf{KX} = \omega^2 \mathbf{MX} \end{aligned} \right. \tag{2.3}\]

La première équation est l’équation d’un oscillateur harmonique : on obtient bien une réponse vibratoire (pour $\omega \neq 0$) !

La seconde équation du système (2.3) est un problème de valeurs propres généralisé. La résolution de ce problème donne $N$ valeurs propres $\omega_n^2 (n = 1,...,N)$ positives, auxquelles sont associés $N$ vecteurs propres $\mathbf X_n$.

Note 2.2: Remarque : séparation espace-temps

Dans le système (2.3), la première équation est une équation en temps, sans information d’espace (connaître $p$ n’aide pas à savoir comment les degrés de libertés bougent).

A contrario, le temps est absent de la seconde équation du système (2.3), et $\mathbf X$ renseigne sur le mouvement relatif des différents degrés de liberté (mais pas sur l’évolution au cours du temps de ce mouvement).

On a donc en quelque sorte séparé les variables spatiales et temporelles. On fera la même chose, de manière plus évidente, pour le cas continu.

Remarque : solution générale

Pour chaque paire de valeur propre $\omega_n^2$ et vecteur propre $X_n$ solution de $\mathbf{KX}_n = \omega_n^2\mathbf{MX}_n$, on a une équation d’un oscillateur à un seul degré de liberté: \[ \ddot p_n + \omega_n^2 p_n = 0,\] ce qui veut dire que $\mathbf X_1 p_1(t)$, $\mathbf X_2 p_2(t)$, …, $\mathbf X_N p_N(t)$ sont solutions de l’équation de mouvement. Par linéarité, la solution générale de l’équation du mouvement s’écrit: \[ \mathbf x(t) = \sum_{n=1}^N \mathbf X_n p_n(t). \]

On appelle cette forme de solution la décomposition en modes propres.

L’opération consiste, dans un premier temps à résoudre l’équation caractéristique pour obtenir les valeurs propres $\omega_n^2$ : \[ \det(\mathbf{K}-\omega^2 \mathbf{M}) = 0\] Dans un second temps, pour chaque $\omega_n$, on résout le système (2.3) pour chaque $\omega_n$ afin d’identifier le vecteur propre $\mathbf X_n$ associé à $\omega_n$: \[ \left(\mathbf{K}-\omega_n^2 \mathbf{M} \right)\mathbf{X}_n = 0, \tag{2.4}\] qui admet des solutions non-nulles puisque $\mathbf K - \omega_n^2\mathbf M$ est singulière.

Les pulsations propres $\omega_n^2$ permettent de trouver les fonctions $p_n(t)$, aussi appelées coordonnées modales:

\[ \ddot p_n + \omega_n^2 p_n = 0 \quad \Rightarrow \quad p_n(t) = A_n\cos \omega_n t + B_n \sin \omega_n t. \]

La solution générale de l’équation de la dynamique peut donc s’écrire:

\[ \mathbf x(t) = \sum_{n=1}^N \mathbf X_n(A_n\cos\omega_nt + B_n\sin\omega_nt) \tag{2.5}\]

Notation matricielle de la décomposition modale

La décomposition en mode propres peut s’écrire comme un produit matrice-vecteur:

\[ \mathbf x(t) = \mathbf X \mathbf p(t),\ \text{où}\ \mathbf X = \begin{pmatrix} & & & \\ \mathbf X_1 & \mathbf X_2 & \ldots & \mathbf X_N \\ & & & \end{pmatrix}\text{ et } \mathbf p(t) = \begin{pmatrix} p_1(t) \\ p_2(t) \\ \vdots \\ p_N(t) \end{pmatrix} \]

La matrice $\mathbf X$ est appelée matrice modale. C’est une matrice de changement de base, qui passe de la base des modes propres à la base des degrés de libertés généralisés (la base “physique”).

Note

Comme les modes propres sont linéairement indépendants et que $\mathbf X$ est carrée, $\mathbf X$ est inversible.

2.4.2 Interprétation physique

Les valeurs propres $\omega_n$ sont les $N$ pulsations auxquelles le système peut vibrer naturellement.

La contribution relative d’une coordonnée généralisée $x_n$ au mouvement global est indiquée par la coordonnée correspondante du mode propre $\mathbf X_n$. Cette contribution est immuable.

Le système adopte, à la fréquence $\omega_n$ un mode de vibration naturel, appelé mode propre et décrit par le vecteur $\mathbf X_n$.

2.4.3 Propriétés de la base modale

On a établi que tous les modes propres sont solution de la relation (2.4), pour un mode $\mathbf X_n$ on a donc: \[ \left(\mathbf{K-M}\omega_n^2 \right)\mathbf{X_n}=0 \Leftrightarrow \mathbf{KX_n} = \omega_n^2 \mathbf{MX_n} \tag{2.6}\]

On peut multiplier (2.6) par un autre vecteur propre transposé : \[ \mathbf{X_m^T KX_n} = \omega_n^2 \mathbf{X_m^T MX_n} \tag{2.7}\] Pour le mode $\mathbf{ X_m }$, on peut écrire de la même manière \[ \mathbf{X_n^T KX_m} = \omega_m^2 \mathbf{X_n^T MX_m} \tag{2.8}\]

Les matrices $\mathbf M$ et $\mathbf K$ étant symétriques, on a: \[\mathbf{X_n^T KX_m} = \mathbf{X_m^T KX_n}\qquad \text{et}\qquad\mathbf{X_n^T MX_m} = \mathbf{X_m^T MX_n}\] En soustrayant les relations (2.7) et (2.8), on a donc : \[ (\omega_n^2 -\omega_m^2)\mathbf{X_m^T MX_n}=0\]

Par conséquent :

\[ \mathbf{X_m^T MX_n}=\delta_{mn} \tilde m_n\]

C’est la première relation d’orthogonalité des modes propres. On dit que les modes propres sont $\mathbf M$-orthogonaux. La constante $m_n$ est appelée masse modale du mode $n$. C’est la masse mobilisée par le mode.

On montre de la même manière : \[ \mathbf{X_m^T KX_n}=\delta_{mn} \tilde k_n\] On dit que les modes propres sont $\mathbf K$-orthogonaux. La constante $k_n$ est appelée raideur modale du mode $n$.

Dans ce paragraphe on a établi que les modes propres du système constituent une base de vecteurs orthogonaux. Dans les développements suivant, on fera systématiquement usage de cette propriété pour simplifier les équations du mouvement dans les cas des vibrations libres et forcées.

2.4.4 Matrices modales ou réduites

En généralisant les relations d’orthogonalité à tous les modes, des matrices réduites à une diagonale :

la matrice modale d’inertie:

\[ \mathbf{X^T MX} = \begin{pmatrix} \tilde m_1 & \ldots &0 & \ldots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & &\vdots\\ 0 & \ldots & \tilde m_n &\ldots &0\\ \vdots & & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 & \ldots &0 & \ldots & \tilde m_N \end{pmatrix} = \mathbf{M_p }\]
la matrice modale de raideur:

\[ \mathbf{X^T KX} = \begin{pmatrix} \tilde k_1 & \ldots &0 & \ldots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & &\vdots\\ 0 & \ldots & \tilde k_m &\ldots &0\\ \vdots & & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 & \ldots &0 & \ldots & \tilde k_N \end{pmatrix} = \mathbf{K_p}\]
la matrice des pulsations propres \[ \boldsymbol{\Delta} = \mathbf{M_p^{-1}K_p} = \begin{pmatrix} \frac{\tilde k_1}{\tilde m_1} & \ldots &0 & \ldots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & &\vdots\\ 0 & \ldots& \frac{\tilde k_r}{\tilde m_r} &\ldots &0\\ \vdots & & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 &\ldots &0 & \ldots & \frac{\tilde k_N}{\tilde m_N} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \omega_1^2 & \ldots &0 & \ldots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & &\vdots\\ 0 & \ldots & \omega_r^2 &\ldots &0\\ \vdots & & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0& \ldots &0 & \ldots & \omega_N^2 \end{pmatrix}\]

2.4.5 Normalisation des modes propres

La relation (2.4) permet d’identifier les modes propres à un coefficient prêt. Or il convient d’accorder à chaque élément de la base une contribution identique. C’est l’objet de la normalisation.

Conventions de normalisation usuelles

Les modes normaux.

Le choix de normalisation le plus courant transforme la matrice modale d’inertie en la matrice identité : \[\mathbf{X^T MX} = \mathbf{I}\] On montre aisément alors que la matrice modale de raideur se réduit à la matrice des valeurs propres : \[\mathbf{X^T KX} = \boldsymbol{\Delta}\] Les modes ainsi obtenus sont appelés modes normaux.

Une composante unitaire.

Cette convention impose qu’une des composantes des vecteurs propres (la même pour tous) soit égale à 1. Les autres coordonnées sont obtenues en divisant toutes les coordonnées issue de la résolution de (2.4) par la valeur de la coordonnée choisie.

La norme unitaire.

Dans ce cas on choisit d’affecter à tous les vecteurs propres une norme égale à 1

La masse modale unique

Ici on corrige les composantes de sorte que tous les modes propres aient une même masse modale, par exemple la masse totale.

Le choix de la convention de normalisation est arbitraire, mais les valeurs relatives des composantes modales sont indépendantes de la convention choisie.

2.4.6 Équations du mouvement libre dans la base modale

Travailler dans la base modale permet de simplifier notablement les équations du mouvement en supprimant les termes de couplage entre les coordonnées généralisées. Partant de la base physique des coordonnées généralisées, on peut transformer l’équation du mouvement pour l’exprimer dans celle des modes propres: \[\mathbf{M}\ddot{\mathbf x}(t) + \mathbf{Kx}(t) = 0\]

Changement de base : $\mathbf{x}(t)=\mathbf X\mathbf p(t)$

\[\begin{aligned} &\Leftrightarrow &\mathbf{MX}\mathbf{\ddot{p}} + \mathbf{KX}\mathbf p &= 0\\ (\mathbf{X}^T \times)&\Leftrightarrow &\mathbf{X^T MX}\mathbf{\ddot{p}} + \mathbf{X^T KX}\mathbf{p}&=0\\ &\Leftrightarrow &\mathbf{M_p}\mathbf{\ddot{p}} +\mathbf{K_p}\mathbf{p}&= 0 \end{aligned}\] A cette étape, le système est découplé : \[\begin{aligned} &&\mathbf{M_p}\mathbf{\ddot{p}} +\mathbf{K_p}\mathbf{p}&= 0 \end{aligned}\] Mais on peut aller plus loin : \[\begin{aligned} (\mathbf{M_p}^{-1} \times)&\Leftrightarrow &\mathbf{M_p}^{-1} \mathbf{M_p}\mathbf{\ddot{p}}+\mathbf{M_p}^{-1}\mathbf{K_p}\mathbf{p}&= 0\\ \end{aligned}\] L’équation du mouvement libre exprimée sur les variations des modes propres s’écrit : \[\mathbf{\ddot{p}}(t)+\boldsymbol{\Delta}\mathbf p(t) = 0\]

Elle ne fait plus intervenir que des matrices diagonales. Les termes de couplage ont disparu.

2.4.7 Réponse libre à un état initial imposé

Comme pour l’oscillateur simple, il faut deux conditions initiales, une sur la position et une sur la vitesse :

\[ \begin{aligned} \mathbf x(0) & = \mathbf x_0 \\ \mathbf{\dot x}(0) & = \mathbf v_0 \end{aligned} \]

Pour trouver les constantes $A_n$ et $B_n$ de l’Équation 2.5, il faut trouver $\mathbf p(0)$ et $\mathbf{\dot p}(0)$.

\[ \begin{aligned} \mathbf x(0) = \mathbf {Xp}(0) & = \mathbf x_0 \\ (\mathbf M \times) \Leftrightarrow\qquad \mathbf{MXp}(0) & = \mathbf{Mx}_0 \\ (\mathbf X^T \times) \Leftrightarrow\qquad \mathbf{X^T MXp}(0) & = \mathbf{X^T Mx}_0 \\ (\mathbf{M_p}^{-1} \times) \Leftrightarrow\qquad \mathbf{p}(0) & = \mathbf{M_p}^{-1}\mathbf{X^T Mx}_0 \end{aligned} \]

De la même façon, on a:

\[ \mathbf{\dot p}(0) = \mathbf{M_p}^{-1}\mathbf{X^T M v}_0 \]

Sous forme scalaire, on peut écrire:

\[\begin{aligned} p_n(0) & = \frac{\mathbf{X}_n^T \mathbf{M x}_0}{\tilde m_n}\\ \dot p_n(0) & = \frac{\mathbf{X}_n^T \mathbf{M v}_0}{\tilde m_n} \end{aligned} \]

Note

Si $\mathbf{Mx}_0$ est colinéaire à un mode $\mathbf X_i$ et $\mathbf{Mv}_0$ est colinéaire à un mode $\mathbf X_j$, alors $\mathbf X_i$ et $\mathbf X_j$ sont les deux seuls modes présents dans la réponse libre du système. Cela se déduit du produit scalaire $\mathbf X_n^T \mathbf{Mx}_0$.

2.5 Mouvement forcé

On cherche maintenant à établir l’expression de la réponse du système discrétisé toujours conservatif, lorsqu’il subit une excitation extérieure plus ou moins durable. Cette excitation doit être prise en compte dans l’équation d’équilibre dynamique. Pour cela on doit identifier la puissance apportée par cette action extérieure et la répartir sur les coordonnées généralisées.

2.5.1 Identification des efforts généralisés

On considère l’ensemble des forces et moments appliqués au système pour exprimer la puissance totale qu’ils exercent dans la base des coordonnées généralisées. Cette puissance s’écrit en fonction des vitesses généralisées $\mathbf {\dot x}$. Aux translations sont affectées des forces, aux rotations des moments : \[\mathcal{P} =\sum_{i} Q_i(t)\dot{x}_i = \mathbf{Q^t \dot x}\] Les composantes du vecteur $\mathbf{Q}$ sont les efforts généralisés. L’équation du mouvement s’écrit finalement sous forme matricielle: \[ \mathbf{M\ddot{x}+Kx = Q} \tag{2.9}\]

2.5.2 Passage dans la base modale

On exprime l’équation (2.9) sur les coordonnées modales (Changement de base $\mathbf{x = Xp}$) : \[\begin{aligned} &&\mathbf{M\ddot x} &+ \mathbf{Kx} &=& \mathbf{Q}\\ &\Leftrightarrow& \mathbf{X^t MX\ddot p} &+\mathbf{X^t KXp} &=& \mathbf{X^t Q}\\ \end{aligned}\]

On introduit le vecteur des efforts modaux : $\mathbf{Q_p = X^t Q}$ \[\begin{aligned} &\Leftrightarrow &\mathbf{M_p\ddot p} & +\mathbf{K_p p} &=& \mathbf{Q_p} \\ &\Leftrightarrow &\mathbf{\ddot p } &+\boldsymbol{\Delta} \mathbf{p} &=& \mathbf{M_p^{-1}Q_p} \end{aligned}\]

L’équation du mouvement forcé dans la base modale s’écrit donc : \[\mathbf{\ddot p } +\boldsymbol{\Delta}\mathbf{p} = \mathbf{M_p^{-1}Q_p}\]

Les matrices impliquées dans cette équation étant diagonales, les équations sont découplées et leur résolution permet d’obtenir simplement la variation temporelle des coordonnées modales $\mathbf{p}(t).$ A partir de ces expressions on obtient directement l’évolution temporelle des coordonnées généralisées, c’est à dire des déplacements physiques, par l’opération:

\[\mathbf{x}(t) = \mathbf{Xp}(t)\]

2.5.3 Réponse forcée à une excitation harmonique

Rappelons qu’une excitation permanente quelconque peut être décomposée par la transformée de Fourier en une somme continue de fonctions harmoniques pondérées par le spectre de l’excitation. Dans le cas des systèmes linéaires comme ceux qui sont considérés ici, la réponse à une telle excitation est simplement la superposition des réponses obtenues pour chaque fréquence.

Soit $\Omega$ la fréquence angulaire de la composante harmonique considérée de l’excitation. L’effort généralisé associé s’écrit : \[\mathbf{Q}(t) = \mathbf{E}\cos(\Omega t)\] Le vecteur $\mathbf E$ est constitué des parts de l’effort réparties sur les coordonnées généralisées.

La réponse présente la même fréquence que l’excitation. On a donc pour l’ensemble des coordonnées généralisées ou modales : \[\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\cos(\Omega t) \hspace{1cm} \mathbf{\ddot q}(t) = -\Omega^2\mathbf{A}\cos(\Omega t)\] \[\mathbf{p}(t) = \mathbf{P}\cos(\Omega t) \hspace{1cm} \mathbf{\ddot p}(t) = -\Omega^2\mathbf{P}\cos(\Omega t)\] A la fin on veut obtenir le vecteur $A$ des amplitudes des coordonnées généralisées. Pour cela on commence par déterminer les amplitudes des coordonnées modales $\mathbf{P}$ .

L’équation du mouvement forcé en base modale devient : \[\ddot{\mathbf p} + \boldsymbol\Delta \mathbf p = \mathbf M_p^{-1}\mathbf X^t \mathbf Q(t)\quad \Leftrightarrow \quad ( \boldsymbol{\Delta}-\Omega^2 \mathbf{I}) \mathbf{P} = \mathbf{M_p}^{-1}\mathbf X^t \mathbf E\]

Réponse modale

On obtient facilement le vecteur des amplitudes des coordonnées modales, c’est à dire les fonctions de réponse en fréquence (FRF) des coordonnées modales: \[\mathbf{P}(\Omega) = ( \boldsymbol{\Delta} - \Omega^2 \mathbf{I}) ^{-1} \mathbf{M_p^{-1}X^t E}\]

Et la réponse harmonique temporelle des modes s’écrit simplement : \[\mathbf{p} (t) = \mathbf{P}(\Omega)\cos(\Omega t)\]

Sous forme explicite, on peut écrire pour le mode $r$ : \[p_r(t) = \frac{\sum_i X_{ir} E_i}{m_r(\omega_r^2-\Omega^2)} \cos(\Omega t)\]

Le dénominateur indique que chaque mode résonne à la fréquence propre qui lui est associée.

Le numérateur, par ailleurs, montre qu’une coordonnée généralisée contribue à la mobilisation d’un mode à proportion conjointe de sa contribution à l’effort généralisé et de sa contribution au mode.

Réponse physique

Le mouvement réel global de la structure est donné par $\mathbf{x(t) = Xp(t)}$ : \[\mathbf{x}(t) = \mathbf{X}( \boldsymbol{\Delta} - \Omega^2 \mathbf{I}) ^{-1} \mathbf{M_p^{-1}X^t E} \cos \Omega t\]

Pour chaque point $j$ de la structure on peut expliciter le mouvement :

\[x_j(t) = \sum_r X_{jr}p_r(t) = \sum_{r,i} \frac{X_{jr}X_{ir}E_i} {m_r(\omega_r^2-\Omega^2)}\cos(\Omega t)\]

Quelques remarques sur les modes propres

Lorsque le système vibre selon un mode propre, toutes les cordonnées généralisées
- évoluent en phase ou en opposition de phase
- à la fréquence propre associée au mode propre.
Pour que le système vibre selon un mode propre, il suffit :
- en mouvement libre : de choisir une déformation initiale proportionnelle au vecteur propre associé.
- en mouvement forcé : d’exciter le système à la fréquence propre correspondante en un point qui n’est pas un noeud de vibrations du mode considéré.
Pour une déformation initiale quelconque le mouvement libre résultant est une combinaison linéaire de tous les modes propres.
Pour une excitation de fréquence quelconque, le mouvement permanent résultant est une combinaison linéaire de tous les modes propres.

2.6 Systèmes dissipatifs

Pour une modélisation plus conforme à l’observation des systèmes réels, il faut introduire des paramètres qui traduisent la dissipation de l’énergie. Il s’agit de rendre compte en particulier de la décroissance de l’amplitude du mouvement libre au cours du temps, et aussi de la limitation de l’amplitude du mouvement forcé à la résonance ou encore du déphasage entre l’excitation et la réponse.

2.6.1 Modèle d’amortissement

La dissipation de l’énergie responsable de ces phénomènes provient de frottements externes ou structurels. Le modèle d’amortissement visqueux de Rayleigh traduit ces frottements par des forces résistives proportionnelles à la vitesse : \[\vec{F_v} = -a\vec{v}\]

Fonction de dissipation = fonction de Rayleigh :

\[\mathcal{D} = \frac{1}{2}\sum_{i,j} c_{ij}\dot q_i \dot q_j = \frac{1}{2}\mathbf{\dot q^t C\dot q}\]

(Ses dérivées par rapport aux VGs donnent les forces dissipatives)

$\mathbf{C}$ est la matrice de dissipation symétrique.

Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Équation du mouvement avec amortissement

Efforts généralisés dûs aux frottements visqueux : \[F_i = \dfrac{\partial\mathcal{D}}{\partial\dot q_i}\]
Équations de Lagrange du système dissipatif : \[\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\dfrac{\partial L}{\partial q_i}+\dfrac{\partial \mathcal D}{\partial \dot q_i} = Q_i\Leftrightarrow \mathbf{M\ddot q+C\dot q+Kq = Q}\]
la i-ème ligne est la i-ème équation du mouvement : \[\sum_{j=1}^{n}m_{ij}\ddot q_j+c_{ij}\dot q_j+k_{ij}q_j = Q_i\]
Problème : $\mathbf{M, C, K}$ ne sont pas diagonalisables simultanément
$\Rightarrow$ Impossible de découpler les équations dans la base modale

Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Réponse du système libre - Forme générale

On cherche la solution générale de l’équation du mouvement: \[ \mathbf{M\ddot q+C\dot q+ Kq = 0} \tag{2.10}\]
Solutions de la forme : \[\mathbf{q} = \mathbf{X} e^{\lambda_rt}\]
Inconnues : $\lambda_r, \mathbf{X}$
On a aussi : $\qquad \mathbf{\dot q} = \lambda_r\mathbf{X} e^{\lambda_rt} \hspace{.5cm}\text{et}\hspace{1cm} \mathbf{\ddot q} = \lambda_r^2\mathbf{X} e^{\lambda_rt}$
On substitue ces solutions dans Équation 2.10 : \[ (\lambda_r^2 \mathbf M +\lambda_r\mathbf C + \mathbf K) \mathbf X= 0\]
Solutions non triviales ($\mathbf X \neq 0$) $\Leftrightarrow$ déterminant nul.

Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Réponse du système libre - Équation caractéristique \[ \lambda_r^2 \mathbf M + \lambda_r \mathbf C + \mathbf K = 0\]

Les $N$ racines $\lambda_r (r = 1,...,n)$ peuvent prendre plusieurs forme :

Réelles positives : déplacements apériodiques décroissants, le système n’est pas vibratoire.
Complexes conjuguées , partie réelle $< 0$ : \[\lambda_r = -\underbrace{\alpha_r}_{>0}\pm i\omega_r = (\lambda_{r_+}, \lambda_{r_-})\]
- Cas le plus fréquemment étudié
- Modes complexes conjugués
- Leur combinaison donne des oscillations amorties.
Imaginaires pures conjuguées , cas exceptionnel dû à des forces d’amortissement particulières.

Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Cas particuliers d’amortissement : Relation de Caughey

Si $\mathbf{M}$, $\mathbf{K}$ et $\mathbf{C}$ non diagonalisables simultanément
$\qquad \Rightarrow$ pas base de vecteurs propres orthonormée
On n’étudiera pas ce cas
Mais $\exists$ des cas où les 3 matrices sont simultanément diagonalisables
Relation de Caughey : Condition suffisante sur $\mathbf{C}$ : \[\boxed{\mathbf{CM^{-1}K} = \mathbf{KM^{-1}C} }\] $\qquad \rightarrow$ Alors le découplage est possible.
Cas particulier souvent supposé dans les modèles :
l’amortissement proportionnel

\[\mathbf{C} = a\mathbf{M} + b \mathbf{K}\]

$a$ et $b$ sont quelconques.

Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Cas particulier de l’amortissement proportionnel Amortissement proportionnel : \[\mathbf{C} = a\mathbf{M} + b \mathbf{K}\]

La matrice d’amortissement $\mathbf{C}$ se diagonalise dans la même base propre que $\mathbf{M}$ et $\mathbf{K}$

\[\mathbf{C_p = X^t CX }= \begin{pmatrix} c_1 & \ldots &0 & \ldots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & &\vdots\\ 0 & \ldots & c_r &\ldots &0\\ \vdots & & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 &\ldots &0 & \ldots & c_N \end{pmatrix}\]

Les $c_r$ sont les coefficients d’amortissement modaux.
Le modes propres sont à nouveau réels et orthogonaux
Ce sont les modes propres du système conservatif.
Il sont réunis dans la matrice modale $\mathbf{X}$

Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Réponse libre avec amortissement proportionnel

On introduit la matrice modale dans l’équation du mouvement.

\[\begin{array}{lllll} & \mathbf{M}\ddot{\mathbf{q}} &+\mathbf{C}\dot{\mathbf q} &+\mathbf{K q} & = 0\\ \Leftrightarrow & \mathbf{X^t MX} \ddot{\mathbf p} &+ \mathbf{X^t CX} \dot{\mathbf p} &+\mathbf{X^t K Xp} & = 0\\ \Leftrightarrow & \mathbf{M}_p\ddot{\mathbf p} &+\mathbf{C_p}\dot{\mathbf p} &+\mathbf{K_p p} & = 0 \end{array} \]
Matrices diagonales $\qquad \rightarrow\qquad$ système de $N$ équations découplées

\[m_r\ddot{p}_r+ c_r\dot{p} + k_r p_r = 0 \qquad (r= 1,...,n)\]
Ce sont les équations d’oscillateurs dissipatifs élémentaires
Elles s’expriment sur les coordonnées modales.

Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Réponse libre avec amortissement proportionnel - Formulation matricielle

L’équation du mouvement avec amortissement proportionnel s’écrit : \[\mathbf{M_p}\ddot{\mathbf p}+\mathbf{C_p}\dot{\mathbf p}+\mathbf{K_p} \mathbf{p} = 0\]

\[\Leftrightarrow\ddot{\mathbf p}+ \mathbf{M_p}^{-1}\mathbf{C_p}\dot{\mathbf p}+\mathbf{M_p}^{-1}\mathbf{K_p} \mathbf{p} = 0\]

On obtient les équations découplées en coordonnées modales :

\[\ddot p_r+ \frac{c_r}{m_r}\dot p_r + \frac{k_r}{m_r} p_r = 0 \qquad (r= 1,...,n)\]

On définit : \[\omega_r^2 = \frac{k_r}{m_r} \qquad 2\lambda_r = \frac{c_r}{m_r}\]

Et les matrices diagonales associées : \[\boldsymbol{\Delta} = \mathbf{M_p^{-1}K_p = (X^t MX)^{-1}(X^t KX) = X^{-1}M^{-1}KX}\] \[2\boldsymbol\Lambda = \mathbf{M_p^{-1}C_p = (X^t MX)^{-1}(X^t CX) = X^{-1}M^{-1}CX}\]

Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Réponse libre avec amortissement proportionnel - Formulation matricielle

L’équation matricielle s’écrit alors :

\[\mathbf{\ddot p+ M_p^{-1}C_p\dot p+M_p^{-1}K_p p = 0}\] \[\Leftrightarrow\mathbf{\ddot p}+ 2\boldsymbol\Lambda\mathbf{\dot p}+\boldsymbol\Delta \mathbf p = 0\]

$N$ équations découplées nouvelles: \[\ddot p_r+ 2\lambda_r\dot p_r + \omega_r^2 p_r = 0 \qquad (r= 1,...,N)\]
$\lambda_r$ : coefficients d’amortissement modaux.
On reprend l’écriture habituelle :

\[\ddot p_r+ 2\xi_r\omega_r\dot p_r + \omega_r^2 p_r = 0 \qquad (r= 1,...,N)\]
$\xi_r = \frac{\lambda_r}{\omega_r}$: facteurs d’amortissements modaux, ou amortissements relatifs modaux.

Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Réponse forcée - Amortissement proportionnel - Cas d’une force harmonique La résolution est identique au cas sans amortissement.

Soit un effort généralisé harmonique de pulsation $\Omega$ : \[\mathbf{Q}(t) = \mathbf{E}\cos(\Omega t) \Leftrightarrow Q_i(t) = E_i\cos(\Omega t)\]

Notation complexe pour simplifier :$\mathbf{Q}(t) = \mathbf{E}e^{\jmath\Omega t}$
Réponse harmonique de même pulsation:

\[\mathbf{p}(t) = \mathbf{P}e^{\jmath\Omega t}\]

\[\mathbf{\dot p}(t) = \jmath\Omega\mathbf{P}e^{\jmath\Omega t}\]

\[\mathbf{\ddot p}(t) = -\Omega^2\mathbf{P}e^{\jmath\Omega t}\]

$\mathbf{P}$ : vecteur des amplitudes complexes des coordonnées modales
L’équation du mouvement forcé en base modale devient :

\[\begin{align} &\mathbf{\ddot p} + 2\boldsymbol\Lambda \dot{\mathbf p} + \boldsymbol\Delta \mathbf p = \mathbf{M}_p^{-1} \mathbf{X}^t \mathbf Q(t)\\ \Leftrightarrow & (\boldsymbol{\Delta}-\Omega^2 \mathbf{I}+2i\Omega\boldsymbol{\Lambda}) \mathbf{P} = \mathbf{M}_p^{-1} \mathbf X^t \mathbf E \end{align}\]

Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Réponse en fréquence - Amortissement proportionnel

L’équation du mouvement se simplifie :

\[( \boldsymbol{\Delta}-\Omega^2 \mathbf{I}+2i\Omega\mathbf{\Lambda}) \mathbf{P = M_p^{-1}X^t E}\]
Le Vecteur des amplitudes complexes des coordonnées modales est :

\[\mathbf{P}(\Omega) = ( \boldsymbol{\Delta} - \Omega^2 \mathbf{I}+2i\Omega\mathbf{\Lambda}) ^{-1} \mathbf{M_p^{-1}X^t E}\]
Finalement l’amplitude de chaque coordonnée modale $p_r(\Omega)$ s’écrit :

\[P_r(\Omega) = \sum_i \frac{1}{m_r}\frac{X_{ir} E_i}{\omega_r^2-\Omega^2+2\jmath \Omega\lambda_r} = \sum_i \frac{1}{m_r}\frac{X_{ir} E_i}{\omega_r^2-\Omega^2+2\jmath \xi_r\Omega \omega_r}\]
On revient aux coordonnées généralisées (mouvement réel) par : \[\mathbf{q(t) = Xp(t)}\]

Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Réponse forcée harmonique - Amortissement proportionnel

Pour chaque point $j$ de la structure :

\[q_j(t) = \sum_r X_{jr}p_r(t) = \sum_{r,i} \frac{1}{m_r} \frac{X_{jr}X_{ir}E_i} {\omega_r^2-\Omega^2+2\jmath \xi_r\Omega \omega_r} e^{i\Omega t}\]
En considérant l’amplitude et la phase du mode $r$ :

\[P_r(\Omega) = \frac{1}{m_r\sqrt{(\omega_r^2-\Omega^2)^2+4\xi_r^2 \omega_r^2\Omega^2}}\quad\text{et}\quad\phi_r=\arctan\left( \frac{-2\xi_r\omega_r}{\omega_r^2-\Omega^2}\right)\]
On a l’expression réelle du mouvement harmonique forcé des C.G.

\[q_j(t) = \sum_{r,i} \frac{X_{jr}X_{ir}E_i}{m_r\sqrt{(\omega_r^2-\Omega^2)^2+4\xi_r^2\omega_r^2\Omega^2}}\cos(\Omega t + \phi_r)\]

2.7 Méthodes approchées

D’après l’équation des modes propres $\mathbf K\mathbf X_n = \omega_n^2 \mathbf M \mathbf X_n$, on a l’égalité suivante:

\[ \mathbf X_n^T \mathbf K \mathbf X_n = \omega_n^2 \mathbf X_n^T \mathbf M \mathbf X_n \quad \Leftrightarrow \quad \omega_n^2 = \frac{\mathbf X_n^T \mathbf K \mathbf X_n}{\mathbf X_n^T \mathbf M \mathbf X_n}, \]

quelle que soit la normalisation choisie pour les modes propres. On définit pour un vecteur $\mathbf v$ arbitraire le quotient de Rayleigh $R(\mathbf v)$:

\[ R(\mathbf v) = \frac{\mathbf v^T \mathbf K \mathbf v}{\mathbf v^T \mathbf M \mathbf v} = \frac{U(\mathbf v)}{T(\mathbf v)} \]

La fonction $R(\mathbf v)$ est égale à $\omega_n^2$ si $\mathbf v = \mathbf X_n$, mais elle donne une bonne approximation de la fréquence propre si $\mathbf v = \mathbf X_n + \mathbf e$, on a:

\[ R(\mathbf X_n + \mathbf e) \approx R(\mathbf X_n) + O(\| \mathbf e\|^2). \]

On peut aussi montrer que $\omega_1^2 \leq R(\mathbf v) \leq \omega_N^2$ pour tout $\mathbf v$.

2.7.1 Méthode de Rayleigh pour la fréquence fondamentale

On peut donc “deviner” les fréquences propres si l’on dispose d’une bonne approximation des modes propres. Une façon d’obtenir une bonne approximation de la plus faible fréquence propre est de résoudre le déplacement $\mathbf x_\mathrm{sta}$ en supposant l’accélération ${\mathbf{\ddot{x}}}$ égale pour chaque degré de liberté, c’est-à-dire:

\[ \mathbf{\ddot{x}} = \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \mathbf M \mathbf a + K\mathbf{x}_\mathrm{sta} = \mathbf 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf K \mathbf{{x}}_\mathrm{sta} = -\mathbf M \mathbf a \]

Le vecteur de déplacement statique $\mathbf{x}_\mathrm{sta}$ donne une bonne approximation du premier mode propre, et on a:

\[ \sqrt{R(\mathbf x_\mathrm{sta})} \approx \omega_1. \]

Note

Ce notebook démontre l’application de la méthode de Rayleigh, avec une erreur finale sur la fréquence fondamentale de 0.07% !

2.7.2 Méthode de Rayleigh-Ritz pour réduire le nombre de degrés de liberté

Un système à $N_T$ degrés de libertés peut être réduit à $N < N_T$ degrés de liberté si on présuppose les déformations possibles du systèmes.

Soit $\mathbf v_1$, $\mathbf v_2$, …, $\mathbf v_N$ une famille de vecteurs linéairement indépendants avec $N < N_T$ et fixés a priori. On suppose une fonction du déplacement $\mathbf x_h(t)$ donnée par ces vecteurs, soit:

\[ \mathbf x_h(t) = \sum_{n=1}^N \mathbf v_n a_n(t) = \mathbf V \mathbf a(t), \]

où $\mathbf V$ contient les vecteurs $\mathbf v_n$ en colonnes et $\mathbf a(t) = (a_1(t) \ldots a_N(t))$. En remplaçant $\mathbf x_h$ dans l’énergie cinétique et potentielle on a:

\[\begin{align*} T(\mathbf x_h) & = \frac{1}{2} (\mathbf V\mathbf a)^T\mathbf M \mathbf V\mathbf a = \frac{1}{2} \mathbf a^T \mathbf V^T \mathbf M \mathbf V \mathbf a = \frac{1}{2} \mathbf a^T \mathbf M_\mathbf{V} \mathbf a\\ U(\mathbf x_h) & = \frac{1}{2} (\mathbf V\mathbf a)^T\mathbf K \mathbf V\mathbf a = \frac{1}{2} \mathbf a^T \mathbf V^T \mathbf K \mathbf V \mathbf a = \frac{1}{2} \mathbf a^T \mathbf K_\mathbf{V} \mathbf a \end{align*}\]

Cela défini deux nouvelles matrices:

une matrice d’inertie réduite $\mathbf M_\mathbf V = \mathbf V^T \mathbf M \mathbf V$
une matrice de raideur réduite $\mathbf K_\mathbf V = \mathbf V^T \mathbf K \mathbf V$

Et les degrés de libertés sont maintenant les fonctions $a_n(t)$. On peut alors procéder à la même analyse que pour $N_T$ degrés de liberté, et diagonaliser:

\[ \mathbf K_\mathbf V \mathbf X_{n,\mathbf V} = \omega_{n,\mathbf V}^2 \mathbf M_\mathbf V \mathbf X_{n,\mathbf V} \]

Les modes propres $X_{n,\mathbf V}$ sont des approximations des $N$ modes propres contenus dans $\mathrm{Vect}(\mathbf V)$, le sous-espace vectoriel des colonnes de $\mathbf V$. Puisque l’on a réduit le nombre de degrés de libertés, certains modes propres sont totalement absents de l’analyse et l’on ne pourra pas obtenir leur fréquence propre.

Note

Les vecteurs $\mathbf v_n$ formant la base réduite des degrés de liberté n’ont pas besoin d’être des approximations des modes propres réels de la structure.

# Vibrations des systèmes discrétisés {#sec-nddl} ## Modélisation du système Pour modéliser l'évolution de la déformation élastique d'un système vibrant, il est nécessaire d'identifier un ensemble d'éléments de la structure pourvus d'une masse et pouvant se déformer ou se déplacer de manière indépendante. Les paramètres indépendants caractérisant entièrement les déplacements/déformations du système (translations et rotations) sont appelés degrés de liberté (ddl) et constituent les **coordonnées généralisées** du système discrétisé. Le modèle est d'autant plus précis que le nombre de degrés de liberté est élevé. Pourtant un modèle simple ne comptant qu'un nombre réduit de ddl suffit souvent à expliquer ses vibrations. Pour un système à $N$ degrés de liberté (ddl), les coordonnées généralisées sont les fonctions à identifier $x_i(t)\quad (i = 1,\dots, N$) et sont rassemblées dans le vecteur $\mathbf x(t)$ Ce cours se limite à l'étude des systèmes linéaires dont la vibration est une petite perturbation ($\|x_i(t)\|\ll \epsilon$) autour d'un équilibre stable déterminé par les minima d'énergie potentielle $\left(\dfrac{\partial U}{\partial x_i} \right)_0 = 0 , \forall i$. ## Énergies du système Une fois identifiées les coordonnées généralisées, il est possible d'écrire les énergies cinétiques et potentielles du système dans un mouvement quelconque avec une déformation arbitraire. On a vu plus haut en effet que la vibration consiste, après un apport d'énergie initial, en la transformation alternée de l'énergie potentielle élastique en énergie cinétique. En l'absence de dissipation, le bilan énergétique reste constant et les équations du mouvement doivent traduire cet équilibre dynamique. On commence donc par exprimer les énergies cinétique et potentielle en fonction des coordonnées généralisées. ### Énergie cinétique L'**énergie cinétique** apparaît comme une forme quadratique des vitesses généralisées : $$T = \frac{1}{2} \sum_{i,j} m_{ij} \dot{x}_i\dot{x}_j$$ En introduisant le vecteur des vitesses généralisées $\mathbf{\dot x}(t)$, on peut écrire ce résultat comme: $$T = \frac{1}{2} \mathbf{\dot x^T M\dot x}$$ où l'on a réuni les coefficients des termes quadratiques dans la **matrice d'inertie** : $$\mathbf M =[m_{ij}]=\left[\frac{\partial T}{\partial x_i\partial x_j}\right]$$ ### Énergie de déformation L'**énergie potentielle élastique** prend une forme quadratique semblable: $$U = \frac{1}{2} \sum_{i,j} k_{ij} x_i x_j$$ qu'on peut écrire de la même manière: $$U = \frac{1}{2} \mathbf{ x^T K x}$$ où l'on fait apparaître la **matrice de raideur** : $$\mathbf K =[k_{ij}]=\left[\frac{\partial U}{\partial x_i\partial x_j}\right]$$ :::{#nte-positive .callout-note title="Remarque"} Les matrices $\mathbf{ M }$ et $\mathbf{ K }$ sont nécessairement carrées, de dimension $N\times N$ et symétriques. Elles sont également toutes deux définies positives, c'est-à-dire que : $$ \mathbf x^T \mathbf M \mathbf x \geq 0\,\forall \mathbf x \quad\text{et}\quad \mathbf x^T \mathbf K \mathbf x \geq 0\,\forall \mathbf x, $$ ce qui revient à dire que les énergies potentielles et cinétiques sont toujours non-négatives pour tout vecteur de déplacement et tout vecteur vitesse. Notez que $\mathbf M$ n'est pas singulière, alors que $\mathbf K$ peut être singulière (si des mouvements de corps rigide existent). ::: ## Mouvement libre En l'absence de force exercée de façon permanente au système, mais à la suite d'une perturbation de son équilibre statique, le système se met en mouvement. L'objet des développements qui suivent est d'établir analytiquement l'expression des variations temporelles des coordonnées généralisées. Du fait que le système évolue librement, mais avec des contraintes éventuelles de liaison, les mouvements peuvent être considérés comme ses déformations naturelles, dépendant uniquement de ses caractéristiques élastiques et inertielles. Considérant le Lagrangien $L = T-U$, on peut écrire l'équilibre dynamique avec les équations de Lagrange en introduisant les vecteurs d'opérateurs $\frac{\partial }{\partial \mathbf{\dot x}}$ et $\frac{\partial}{\partial \mathbf{x}}$: $$\begin{aligned} &\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot x}}-\frac{\partial L}{\partial \mathbf x}=0\\ \Leftrightarrow\quad &\frac{d}{dt} \frac{\partial (T-U)}{\partial \mathbf{\dot x}}-\frac{\partial (T-U)}{\partial \mathbf x}=0\\ \Leftrightarrow\quad &\frac{d}{dt} \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial \mathbf{\dot x}}( \mathbf{ \dot x^T M \dot x}-\mathbf{ x^T K x})-\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial \mathbf x}( \mathbf{ \dot x^T M \dot x}-\mathbf{ x^T K x})=0\\ \Leftrightarrow\quad &\frac{d}{dt} \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial \mathbf{\dot x}} \mathbf{ \dot x^T M \dot x}+\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial \mathbf x}\mathbf{ x^T K x}=0\\ \Leftrightarrow\quad &\frac{d}{dt} \mathbf{ M \dot x}+ \mathbf{ K x}=0\\ \end{aligned}$$ On arrive finalement à un système d'équations du mouvement libre qui s'écrit sous forme matricielle : $$ \mathbf{M\ddot x}(t)+\mathbf{Kx}(t) = 0 $${#eq-matmvtlib} L'équilibre dynamique du système à $N$ degrés de liberté est ainsi décrit par $N$ équations différentielles chacune portant sur un degré de liberté, mais liées par des termes de couplage via $\mathbf M$ et $\mathbf K$. ## Identification des modes propres de vibration ### Découplage des équations {#sec-decouplage-nddl} Pour résoudre @eq-matmvtlib, on va s'attacher à transformer l'équation de manière à enlever les couplages. Pour cela, on va postuler une solution $\mathbf x(t)$ de la forme: $$ \mathbf x(t) = \mathbf X p(t), $$ $\mathbf X$ donne la "forme spatiale" de la solution et $p(t)$ l'oscillation en temps. En y substituant cette solution, on obtient : $$ \mathbf{MX}\ddot{p}(t) + \mathbf{KX}p(t) = 0 $$ On a toujours une équation matricielle, pour aller plus loin, on prend le produit scalaire avec un vecteur $\mathbf Y\in\mathbb R^N$ quelconque, et on obtient l'équation scalaire suivante, valide $\forall \mathbf Y$: $$ \mathbf Y^T\mathbf{MX}\ddot{p} + \mathbf{Y}^T\mathbf{KX}p = 0,\ \forall \mathbf Y. $$ On peut reformuler l'équation comme un déterminant nul: $$ \begin{vmatrix} \ddot{p} & p \\ -\mathbf{Y}^T\mathbf{KX} & \mathbf Y^T\mathbf{MX} \end{vmatrix} = 0\ \forall \mathbf Y $$ Cela indique que la matrice $2\times 2$ ci-dessus est singulière, donc que ses colonnes sont linéairement dépendantes, c'est-à-dire qu'il existe $\lambda$ tel que: $$ \left\{ \begin{aligned} \ddot p + \lambda p & = 0 \\ -\mathbf Y^T \mathbf{KX} + \lambda \mathbf Y^T \mathbf MX & = 0\ \forall \mathbf Y \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} \ddot p + \lambda p & = 0 \\ \mathbf Y^T (-\mathbf{KX} + \lambda\mathbf{MX}) & = 0\ \forall \mathbf Y\end{aligned} \right.$${#eq-systeme-decouple} Puisque la deuxième égalité est valide pour tout $\mathbf Y$, il faut que $-\mathbf{KX} + \lambda \mathbf{MX} = 0$. On a alors: $$ \mathbf{KX} = \lambda \mathbf{MX} \quad \Rightarrow\quad \mathbf{X^T KX} = \lambda \mathbf{X^T MX} \quad \Leftrightarrow \quad \lambda = \frac{\mathbf{X^T KX}}{\mathbf{X^T MX}}$$ Puisque les matrices $\mathbf K$ et $\mathbf M$ sont définies positives (cf. @nte-positive), on a $\lambda \geq 0$, on peut donc remplacer $\lambda = \omega^2$ dans la première équation de ([-@eq-systeme-decouple]) : $$ \left\{ \begin{aligned} \ddot p + \omega^2 p = 0 \\ \mathbf{KX} = \omega^2 \mathbf{MX} \end{aligned} \right. $${#eq-pbvp} La première équation est l'équation d'un oscillateur harmonique : on obtient bien une réponse vibratoire (pour $\omega \neq 0$) ! La seconde équation du système ([-@eq-pbvp]) est un problème de valeurs propres généralisé. La résolution de ce problème donne $N$ valeurs propres $\omega_n^2 (n = 1,...,N)$ positives, auxquelles sont associés $N$ vecteurs propres $\mathbf X_n$. :::{#nte-separation-variables .callout-note title="Remarque : séparation espace-temps"} Dans le système ([-@eq-pbvp]), la première équation est une équation en temps, sans information d'espace (connaître $p$ n'aide pas à savoir comment les degrés de libertés bougent). *A contrario*, le temps est absent de la seconde équation du système ([-@eq-pbvp]), et $\mathbf X$ renseigne sur le mouvement relatif des différents degrés de liberté (mais pas sur l'évolution au cours du temps de ce mouvement). On a donc en quelque sorte séparé les variables spatiales et temporelles. On fera la même chose, de manière plus évidente, pour le cas continu. ::: :::{.callout-note title="Remarque : solution générale"} Pour chaque paire de valeur propre $\omega_n^2$ et vecteur propre $X_n$ solution de $\mathbf{KX}_n = \omega_n^2\mathbf{MX}_n$, on a une équation d'un oscillateur à un seul degré de liberté: $$ \ddot p_n + \omega_n^2 p_n = 0,$$ ce qui veut dire que $\mathbf X_1 p_1(t)$, $\mathbf X_2 p_2(t)$, ..., $\mathbf X_N p_N(t)$ sont solutions de l'équation de mouvement. Par linéarité, la solution générale de l'équation du mouvement s'écrit: $$ \mathbf x(t) = \sum_{n=1}^N \mathbf X_n p_n(t). $$ On appelle cette forme de solution la **décomposition en modes propres**. ::: L'opération consiste, dans un premier temps à résoudre l'équation caractéristique pour obtenir les valeurs propres $\omega_n^2$ : $$ \det(\mathbf{K}-\omega^2 \mathbf{M}) = 0$$ Dans un second temps, pour chaque $\omega_n$, on résout le système ([-@eq-pbvp]) pour chaque $\omega_n$ afin d'identifier le vecteur propre $\mathbf X_n$ associé à $\omega_n$: $$ \left(\mathbf{K}-\omega_n^2 \mathbf{M} \right)\mathbf{X}_n = 0,$${#eq-identxn} qui admet des solutions non-nulles puisque $\mathbf K - \omega_n^2\mathbf M$ est singulière. Les pulsations propres $\omega_n^2$ permettent de trouver les fonctions $p_n(t)$, aussi appelées **coordonnées modales**: $$ \ddot p_n + \omega_n^2 p_n = 0 \quad \Rightarrow \quad p_n(t) = A_n\cos \omega_n t + B_n \sin \omega_n t. $$ La solution générale de l'équation de la dynamique peut donc s'écrire: $$ \mathbf x(t) = \sum_{n=1}^N \mathbf X_n(A_n\cos\omega_nt + B_n\sin\omega_nt) $${#eq-sol-generale-nddl} #### Notation matricielle de la décomposition modale La décomposition en mode propres peut s'écrire comme un produit matrice-vecteur: $$ \mathbf x(t) = \mathbf X \mathbf p(t),\ \text{où}\ \mathbf X = \begin{pmatrix} & & & \\ \mathbf X_1 & \mathbf X_2 & \ldots & \mathbf X_N \\ & & & \end{pmatrix}\text{ et } \mathbf p(t) = \begin{pmatrix} p_1(t) \\ p_2(t) \\ \vdots \\ p_N(t) \end{pmatrix} $$ La matrice $\mathbf X$ est appelée **matrice modale**. C'est une matrice de changement de base, qui passe de la base des modes propres à la base des degrés de libertés généralisés (la base "physique"). :::{.callout-note} Comme les modes propres sont linéairement indépendants et que $\mathbf X$ est carrée, $\mathbf X$ est inversible. ::: ### Interprétation physique Les valeurs propres $\omega_n$ sont les $N$ pulsations auxquelles le système peut vibrer naturellement. La contribution relative d'une coordonnée généralisée $x_n$ au mouvement global est indiquée par la coordonnée correspondante du mode propre $\mathbf X_n$. Cette contribution est immuable. Le système adopte, à la fréquence $\omega_n$ un mode de vibration naturel, appelé mode propre et décrit par le vecteur $\mathbf X_n$. ### Propriétés de la base modale On a établi que tous les modes propres sont solution de la relation ([-@eq-identxn]), pour un mode $\mathbf X_n$ on a donc: $$ \left(\mathbf{K-M}\omega_n^2 \right)\mathbf{X_n}=0 \Leftrightarrow \mathbf{KX_n} = \omega_n^2 \mathbf{MX_n}$${#eq-demoortho1} On peut multiplier ([-@eq-demoortho1]) par un autre vecteur propre transposé : $$ \mathbf{X_m^T KX_n} = \omega_n^2 \mathbf{X_m^T MX_n}$${#eq-demoortho2a} Pour le mode $\mathbf{ X_m }$, on peut écrire de la même manière $$ \mathbf{X_n^T KX_m} = \omega_m^2 \mathbf{X_n^T MX_m}$${#eq-demoortho2b} Les matrices $\mathbf M$ et $\mathbf K$ étant symétriques, on a: $$\mathbf{X_n^T KX_m} = \mathbf{X_m^T KX_n}\qquad \text{et}\qquad\mathbf{X_n^T MX_m} = \mathbf{X_m^T MX_n}$$ En soustrayant les relations ([-@eq-demoortho2a]) et ([-@eq-demoortho2b]), on a donc : $$ (\omega_n^2 -\omega_m^2)\mathbf{X_m^T MX_n}=0$$ Par conséquent : $$ \mathbf{X_m^T MX_n}=\delta_{mn} \tilde m_n$$ C'est la première **relation d'orthogonalité des modes propres**. On dit que les modes propres sont $\mathbf M$-orthogonaux. La constante $m_n$ est appelée **masse modale** du mode $n$. C'est la masse mobilisée par le mode. On montre de la même manière : $$ \mathbf{X_m^T KX_n}=\delta_{mn} \tilde k_n$$ On dit que les modes propres sont $\mathbf K$-orthogonaux. La constante $k_n$ est appelée **raideur modale** du mode $n$. Dans ce paragraphe on a établi que les modes propres du système constituent une base de vecteurs orthogonaux. Dans les développements suivant, on fera systématiquement usage de cette propriété pour simplifier les équations du mouvement dans les cas des vibrations libres et forcées. ### Matrices modales ou réduites En généralisant les relations d'orthogonalité à tous les modes, des matrices réduites à une diagonale : - la **matrice modale d'inertie**: $$ \mathbf{X^T MX} = \begin{pmatrix} \tilde m_1 & \ldots &0 & \ldots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & &\vdots\\ 0 & \ldots & \tilde m_n &\ldots &0\\ \vdots & & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 & \ldots &0 & \ldots & \tilde m_N \end{pmatrix} = \mathbf{M_p }$$ - la **matrice modale de raideur**: $$ \mathbf{X^T KX} = \begin{pmatrix} \tilde k_1 & \ldots &0 & \ldots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & &\vdots\\ 0 & \ldots & \tilde k_m &\ldots &0\\ \vdots & & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 & \ldots &0 & \ldots & \tilde k_N \end{pmatrix} = \mathbf{K_p}$$ - la **matrice des pulsations propres** $$ \boldsymbol{\Delta} = \mathbf{M_p^{-1}K_p} = \begin{pmatrix} \frac{\tilde k_1}{\tilde m_1} & \ldots &0 & \ldots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & &\vdots\\ 0 & \ldots& \frac{\tilde k_r}{\tilde m_r} &\ldots &0\\ \vdots & & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 &\ldots &0 & \ldots & \frac{\tilde k_N}{\tilde m_N} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \omega_1^2 & \ldots &0 & \ldots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & &\vdots\\ 0 & \ldots & \omega_r^2 &\ldots &0\\ \vdots & & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0& \ldots &0 & \ldots & \omega_N^2 \end{pmatrix}$$ ### Normalisation des modes propres La relation ([-@eq-identxn]) permet d'identifier les modes propres à un coefficient prêt. Or il convient d'accorder à chaque élément de la base une contribution identique. C'est l'objet de la normalisation. #### Conventions de normalisation usuelles ##### Les modes normaux. Le choix de normalisation le plus courant transforme la matrice modale d'inertie en la matrice identité : $$\mathbf{X^T MX} = \mathbf{I}$$ On montre aisément alors que la matrice modale de raideur se réduit à la matrice des valeurs propres : $$\mathbf{X^T KX} = \boldsymbol{\Delta}$$ Les modes ainsi obtenus sont appelés modes normaux. ##### Une composante unitaire. Cette convention impose qu'une des composantes des vecteurs propres (la même pour tous) soit égale à 1. Les autres coordonnées sont obtenues en divisant toutes les coordonnées issue de la résolution de ([-@eq-identxn]) par la valeur de la coordonnée choisie. ##### La norme unitaire. Dans ce cas on choisit d'affecter à tous les vecteurs propres une norme égale à 1 ##### La masse modale unique Ici on corrige les composantes de sorte que tous les modes propres aient une même masse modale, par exemple la masse totale. Le choix de la convention de normalisation est arbitraire, mais les valeurs relatives des composantes modales sont indépendantes de la convention choisie. ### Équations du mouvement libre dans la base modale Travailler dans la base modale permet de simplifier notablement les équations du mouvement en supprimant les termes de couplage entre les coordonnées généralisées. Partant de la base physique des coordonnées généralisées, on peut transformer l'équation du mouvement pour l'exprimer dans celle des modes propres: $$\mathbf{M}\ddot{\mathbf x}(t) + \mathbf{Kx}(t) = 0$$ Changement de base : $\mathbf{x}(t)=\mathbf X\mathbf p(t)$ $$\begin{aligned} &\Leftrightarrow &\mathbf{MX}\mathbf{\ddot{p}} + \mathbf{KX}\mathbf p &= 0\\ (\mathbf{X}^T \times)&\Leftrightarrow &\mathbf{X^T MX}\mathbf{\ddot{p}} + \mathbf{X^T KX}\mathbf{p}&=0\\ &\Leftrightarrow &\mathbf{M_p}\mathbf{\ddot{p}} +\mathbf{K_p}\mathbf{p}&= 0 \end{aligned}$$ A cette étape, le système est découplé : $$\begin{aligned} &&\mathbf{M_p}\mathbf{\ddot{p}} +\mathbf{K_p}\mathbf{p}&= 0 \end{aligned}$$ Mais on peut aller plus loin : $$\begin{aligned} (\mathbf{M_p}^{-1} \times)&\Leftrightarrow &\mathbf{M_p}^{-1} \mathbf{M_p}\mathbf{\ddot{p}}+\mathbf{M_p}^{-1}\mathbf{K_p}\mathbf{p}&= 0\\ \end{aligned}$$ L'équation du mouvement libre exprimée sur les variations des modes propres s'écrit : $$\mathbf{\ddot{p}}(t)+\boldsymbol{\Delta}\mathbf p(t) = 0$$ Elle ne fait plus intervenir que des matrices diagonales. Les termes de couplage ont disparu. ### Réponse libre à un état initial imposé Comme pour l'oscillateur simple, il faut deux conditions initiales, une sur la position et une sur la vitesse : $$ \begin{aligned} \mathbf x(0) & = \mathbf x_0 \\ \mathbf{\dot x}(0) & = \mathbf v_0 \end{aligned} $$ Pour trouver les constantes $A_n$ et $B_n$ de l'@eq-sol-generale-nddl, il faut trouver $\mathbf p(0)$ et $\mathbf{\dot p}(0)$. $$ \begin{aligned} \mathbf x(0) = \mathbf {Xp}(0) & = \mathbf x_0 \\ (\mathbf M \times) \Leftrightarrow\qquad \mathbf{MXp}(0) & = \mathbf{Mx}_0 \\ (\mathbf X^T \times) \Leftrightarrow\qquad \mathbf{X^T MXp}(0) & = \mathbf{X^T Mx}_0 \\ (\mathbf{M_p}^{-1} \times) \Leftrightarrow\qquad \mathbf{p}(0) & = \mathbf{M_p}^{-1}\mathbf{X^T Mx}_0 \end{aligned} $$ De la même façon, on a: $$ \mathbf{\dot p}(0) = \mathbf{M_p}^{-1}\mathbf{X^T M v}_0 $$ Sous forme scalaire, on peut écrire: $$\begin{aligned} p_n(0) & = \frac{\mathbf{X}_n^T \mathbf{M x}_0}{\tilde m_n}\\ \dot p_n(0) & = \frac{\mathbf{X}_n^T \mathbf{M v}_0}{\tilde m_n} \end{aligned} $$ :::{.callout-note} Si $\mathbf{Mx}_0$ est colinéaire à un mode $\mathbf X_i$ et $\mathbf{Mv}_0$ est colinéaire à un mode $\mathbf X_j$, alors $\mathbf X_i$ et $\mathbf X_j$ sont les deux seuls modes présents dans la réponse libre du système. Cela se déduit du produit scalaire $\mathbf X_n^T \mathbf{Mx}_0$. ::: ## Mouvement forcé On cherche maintenant à établir l'expression de la réponse du système discrétisé toujours conservatif, lorsqu'il subit une excitation extérieure plus ou moins durable. Cette excitation doit être prise en compte dans l'équation d'équilibre dynamique. Pour cela on doit identifier la puissance apportée par cette action extérieure et la répartir sur les coordonnées généralisées. ### Identification des efforts généralisés On considère l'ensemble des forces et moments appliqués au système pour exprimer la puissance totale qu'ils exercent dans la base des coordonnées généralisées. Cette puissance s'écrit en fonction des vitesses généralisées $\mathbf {\dot x}$. Aux translations sont affectées des forces, aux rotations des moments : $$\mathcal{P} =\sum_{i} Q_i(t)\dot{x}_i = \mathbf{Q^t \dot x}$$ Les composantes du vecteur $\mathbf{Q}$ sont les efforts généralisés. L'équation du mouvement s'écrit finalement sous forme matricielle: $$ \mathbf{M\ddot{x}+Kx = Q}$${#eq-mvt} ### Passage dans la base modale On exprime l'équation ([-@eq-mvt]) sur les coordonnées modales (Changement de base $\mathbf{x = Xp}$) : $$\begin{aligned} &&\mathbf{M\ddot x} &+ \mathbf{Kx} &=& \mathbf{Q}\\ &\Leftrightarrow& \mathbf{X^t MX\ddot p} &+\mathbf{X^t KXp} &=& \mathbf{X^t Q}\\ \end{aligned}$$ On introduit le vecteur des **efforts modaux** : $\mathbf{Q_p = X^t Q}$ $$\begin{aligned} &\Leftrightarrow &\mathbf{M_p\ddot p} & +\mathbf{K_p p} &=& \mathbf{Q_p} \\ &\Leftrightarrow &\mathbf{\ddot p } &+\boldsymbol{\Delta} \mathbf{p} &=& \mathbf{M_p^{-1}Q_p} \end{aligned}$$ L'équation du mouvement forcé dans la base modale s'écrit donc : $$\mathbf{\ddot p } +\boldsymbol{\Delta}\mathbf{p} = \mathbf{M_p^{-1}Q_p}$$ Les matrices impliquées dans cette équation étant diagonales, les équations sont découplées et leur résolution permet d'obtenir simplement la variation temporelle des coordonnées modales $\mathbf{p}(t).$ A partir de ces expressions on obtient directement l'évolution temporelle des coordonnées généralisées, c'est à dire des déplacements physiques, par l'opération: $$\mathbf{x}(t) = \mathbf{Xp}(t)$$ ### Réponse forcée à une excitation harmonique Rappelons qu'une excitation permanente quelconque peut être décomposée par la transformée de Fourier en une somme continue de fonctions harmoniques pondérées par le spectre de l'excitation. Dans le cas des systèmes linéaires comme ceux qui sont considérés ici, la réponse à une telle excitation est simplement la superposition des réponses obtenues pour chaque fréquence. Soit $\Omega$ la fréquence angulaire de la composante harmonique considérée de l'excitation. L'effort généralisé associé s'écrit : $$\mathbf{Q}(t) = \mathbf{E}\cos(\Omega t)$$ Le vecteur $\mathbf E$ est constitué des parts de l'effort réparties sur les coordonnées généralisées. La réponse présente la même fréquence que l'excitation. On a donc pour l'ensemble des coordonnées généralisées ou modales : $$\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}\cos(\Omega t) \hspace{1cm} \mathbf{\ddot q}(t) = -\Omega^2\mathbf{A}\cos(\Omega t)$$ $$\mathbf{p}(t) = \mathbf{P}\cos(\Omega t) \hspace{1cm} \mathbf{\ddot p}(t) = -\Omega^2\mathbf{P}\cos(\Omega t)$$ A la fin on veut obtenir le vecteur $A$ des amplitudes des coordonnées généralisées. Pour cela on commence par déterminer les amplitudes des coordonnées modales $\mathbf{P}$ . L'équation du mouvement forcé en base modale devient : $$\ddot{\mathbf p} + \boldsymbol\Delta \mathbf p = \mathbf M_p^{-1}\mathbf X^t \mathbf Q(t)\quad \Leftrightarrow \quad ( \boldsymbol{\Delta}-\Omega^2 \mathbf{I}) \mathbf{P} = \mathbf{M_p}^{-1}\mathbf X^t \mathbf E$$ #### Réponse modale On obtient facilement le vecteur des amplitudes des coordonnées modales, c'est à dire les fonctions de réponse en fréquence (FRF) des coordonnées modales: $$\mathbf{P}(\Omega) = ( \boldsymbol{\Delta} - \Omega^2 \mathbf{I}) ^{-1} \mathbf{M_p^{-1}X^t E}$$ Et la réponse harmonique temporelle des modes s'écrit simplement : $$\mathbf{p} (t) = \mathbf{P}(\Omega)\cos(\Omega t)$$ Sous forme explicite, on peut écrire pour le mode $r$ : $$p_r(t) = \frac{\sum_i X_{ir} E_i}{m_r(\omega_r^2-\Omega^2)} \cos(\Omega t)$$ Le dénominateur indique que chaque mode résonne à la fréquence propre qui lui est associée. Le numérateur, par ailleurs, montre qu'une coordonnée généralisée contribue à la mobilisation d'un mode à proportion conjointe de sa contribution à l'effort généralisé et de sa contribution au mode. #### Réponse physique Le mouvement réel global de la structure est donné par $\mathbf{x(t) = Xp(t)}$ : $$\mathbf{x}(t) = \mathbf{X}( \boldsymbol{\Delta} - \Omega^2 \mathbf{I}) ^{-1} \mathbf{M_p^{-1}X^t E} \cos \Omega t$$ Pour chaque point $j$ de la structure on peut expliciter le mouvement : $$x_j(t) = \sum_r X_{jr}p_r(t) = \sum_{r,i} \frac{X_{jr}X_{ir}E_i} {m_r(\omega_r^2-\Omega^2)}\cos(\Omega t)$$ #### Quelques remarques sur les modes propres - Lorsque le système vibre selon un **mode propre**, toutes les **cordonnées généralisées** - évoluent en phase ou en opposition de phase - à la fréquence propre associée au mode propre. - Pour que le système vibre selon un **mode propre**, il suffit : - *en mouvement libre* : de choisir une déformation initiale proportionnelle au vecteur propre associé. - *en mouvement forcé* : d'exciter le système à la fréquence propre correspondante en un point qui n'est pas un noeud de vibrations du mode considéré. - Pour une déformation initiale quelconque le mouvement libre résultant est une combinaison linéaire de tous les modes propres. - Pour une excitation de fréquence quelconque, le mouvement permanent résultant est une combinaison linéaire de tous les modes propres. ## Systèmes dissipatifs Pour une modélisation plus conforme à l'observation des systèmes réels, il faut introduire des paramètres qui traduisent la dissipation de l'énergie. Il s'agit de rendre compte en particulier de la décroissance de l'amplitude du mouvement libre au cours du temps, et aussi de la limitation de l'amplitude du mouvement forcé à la résonance ou encore du déphasage entre l'excitation et la réponse. ### Modèle d'amortissement La dissipation de l'énergie responsable de ces phénomènes provient de frottements externes ou structurels. Le modèle d'amortissement visqueux de Rayleigh traduit ces frottements par des forces résistives proportionnelles à la vitesse : $$\vec{F_v} = -a\vec{v}$$ **Fonction de dissipation** = fonction de Rayleigh : $$\mathcal{D} = \frac{1}{2}\sum_{i,j} c_{ij}\dot q_i \dot q_j = \frac{1}{2}\mathbf{\dot q^t C\dot q}$$ (Ses dérivées par rapport aux VGs donnent les forces dissipatives) $\mathbf{C}$ est la **matrice de dissipation** symétrique. Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Équation du mouvement avec amortissement - Efforts généralisés dûs aux frottements visqueux : $$F_i = \dfrac{\partial\mathcal{D}}{\partial\dot q_i}$$ - Équations de Lagrange du système dissipatif : $$\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\dfrac{\partial L}{\partial q_i}+\dfrac{\partial \mathcal D}{\partial \dot q_i} = Q_i\Leftrightarrow \mathbf{M\ddot q+C\dot q+Kq = Q}$$ - la i-ème ligne est la i-ème équation du mouvement : $$\sum_{j=1}^{n}m_{ij}\ddot q_j+c_{ij}\dot q_j+k_{ij}q_j = Q_i$$ - **Problème** : $\mathbf{M, C, K}$ ne sont pas diagonalisables simultanément - $\Rightarrow$ Impossible de découpler les équations dans la base modale Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Réponse du système libre - Forme générale - On cherche la solution générale de l'équation du mouvement: $$ \mathbf{M\ddot q+C\dot q+ Kq = 0}$${#eq-mvt-diss-lib} - Solutions de la forme : $$\mathbf{q} = \mathbf{X} e^{\lambda_rt}$$ - Inconnues : $\lambda_r, \mathbf{X}$ - On a aussi : $\qquad \mathbf{\dot q} = \lambda_r\mathbf{X} e^{\lambda_rt} \hspace{.5cm}\text{et}\hspace{1cm} \mathbf{\ddot q} = \lambda_r^2\mathbf{X} e^{\lambda_rt}$ - On substitue ces solutions dans @eq-mvt-diss-lib : $$ (\lambda_r^2 \mathbf M +\lambda_r\mathbf C + \mathbf K) \mathbf X= 0$$ - Solutions non triviales ($\mathbf X \neq 0$) $\Leftrightarrow$ déterminant nul. Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Réponse du système libre - Équation caractéristique $$ \lambda_r^2 \mathbf M + \lambda_r \mathbf C + \mathbf K = 0$$ Les $N$ racines $\lambda_r (r = 1,...,n)$ peuvent prendre plusieurs forme : - *Réelles positives* : déplacements apériodiques décroissants, le système n'est pas vibratoire. - **Complexes conjuguées** , partie réelle $< 0$ : $$\lambda_r = -\underbrace{\alpha_r}_{>0}\pm i\omega_r = (\lambda_{r_+}, \lambda_{r_-})$$ - Cas le plus fréquemment étudié - Modes complexes conjugués - Leur combinaison donne des oscillations amorties. - *Imaginaires pures conjuguées* , cas exceptionnel dû à des forces d'amortissement particulières. Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Cas particuliers d'amortissement : Relation de Caughey - Si $\mathbf{M}$, $\mathbf{K}$ et $\mathbf{C}$ non diagonalisables simultanément\ $\qquad \Rightarrow$ pas base de vecteurs propres orthonormée\ On n'étudiera pas ce cas - Mais $\exists$ des cas où les 3 matrices sont simultanément diagonalisables\ **Relation de Caughey** : Condition suffisante sur $\mathbf{C}$ : $$\boxed{\mathbf{CM^{-1}K} = \mathbf{KM^{-1}C} }$$ $\qquad \rightarrow$ Alors le découplage est possible. - Cas particulier souvent supposé dans les modèles :\ **l'amortissement proportionnel** $$\mathbf{C} = a\mathbf{M} + b \mathbf{K}$$ $a$ et $b$ sont quelconques. Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Cas particulier de l'amortissement proportionnel **Amortissement proportionnel** : $$\mathbf{C} = a\mathbf{M} + b \mathbf{K}$$ - La matrice d'amortissement $\mathbf{C}$ se diagonalise dans la même base propre que $\mathbf{M}$ et $\mathbf{K}$ $$\mathbf{C_p = X^t CX }= \begin{pmatrix} c_1 & \ldots &0 & \ldots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & &\vdots\\ 0 & \ldots & c_r &\ldots &0\\ \vdots & & \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 &\ldots &0 & \ldots & c_N \end{pmatrix}$$ Les $c_r$ sont les **coefficients d'amortissement modaux**. - Le modes propres sont à nouveau réels et orthogonaux - Ce sont les modes propres du système conservatif. - Il sont réunis dans la matrice modale $\mathbf{X}$ Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Réponse libre avec amortissement proportionnel - On introduit la matrice modale dans l'équation du mouvement. $$\begin{array}{lllll} & \mathbf{M}\ddot{\mathbf{q}} &+\mathbf{C}\dot{\mathbf q} &+\mathbf{K q} & = 0\\ \Leftrightarrow & \mathbf{X^t MX} \ddot{\mathbf p} &+ \mathbf{X^t CX} \dot{\mathbf p} &+\mathbf{X^t K Xp} & = 0\\ \Leftrightarrow & \mathbf{M}_p\ddot{\mathbf p} &+\mathbf{C_p}\dot{\mathbf p} &+\mathbf{K_p p} & = 0 \end{array} $$ - Matrices diagonales $\qquad \rightarrow\qquad$ système de $N$ équations découplées $$m_r\ddot{p}_r+ c_r\dot{p} + k_r p_r = 0 \qquad (r= 1,...,n)$$ - Ce sont les équations d'oscillateurs dissipatifs élémentaires - Elles s'expriment sur les coordonnées modales. Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Réponse libre avec amortissement proportionnel - Formulation matricielle L'équation du mouvement avec amortissement proportionnel s'écrit : $$\mathbf{M_p}\ddot{\mathbf p}+\mathbf{C_p}\dot{\mathbf p}+\mathbf{K_p} \mathbf{p} = 0$$ $$\Leftrightarrow\ddot{\mathbf p}+ \mathbf{M_p}^{-1}\mathbf{C_p}\dot{\mathbf p}+\mathbf{M_p}^{-1}\mathbf{K_p} \mathbf{p} = 0$$ - On obtient les équations découplées en coordonnées modales : $$\ddot p_r+ \frac{c_r}{m_r}\dot p_r + \frac{k_r}{m_r} p_r = 0 \qquad (r= 1,...,n)$$ On définit : $$\omega_r^2 = \frac{k_r}{m_r} \qquad 2\lambda_r = \frac{c_r}{m_r}$$ Et les matrices diagonales associées : $$\boldsymbol{\Delta} = \mathbf{M_p^{-1}K_p = (X^t MX)^{-1}(X^t KX) = X^{-1}M^{-1}KX}$$ $$2\boldsymbol\Lambda = \mathbf{M_p^{-1}C_p = (X^t MX)^{-1}(X^t CX) = X^{-1}M^{-1}CX}$$ Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Réponse libre avec amortissement proportionnel - Formulation matricielle L'équation matricielle s'écrit alors : $$\mathbf{\ddot p+ M_p^{-1}C_p\dot p+M_p^{-1}K_p p = 0}$$ $$\Leftrightarrow\mathbf{\ddot p}+ 2\boldsymbol\Lambda\mathbf{\dot p}+\boldsymbol\Delta \mathbf p = 0$$ - $N$ équations découplées nouvelles: $$\ddot p_r+ 2\lambda_r\dot p_r + \omega_r^2 p_r = 0 \qquad (r= 1,...,N)$$ - $\lambda_r$ : **coefficients d'amortissement modaux**. - On reprend l'écriture habituelle : $$\ddot p_r+ 2\xi_r\omega_r\dot p_r + \omega_r^2 p_r = 0 \qquad (r= 1,...,N)$$ - $\xi_r = \frac{\lambda_r}{\omega_r}$: **facteurs d'amortissements modaux**, ou amortissements relatifs modaux. Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Réponse forcée - Amortissement proportionnel - Cas d'une force harmonique La résolution est identique au cas sans amortissement. - Soit un effort généralisé harmonique de pulsation $\Omega$ : $$\mathbf{Q}(t) = \mathbf{E}\cos(\Omega t) \Leftrightarrow Q_i(t) = E_i\cos(\Omega t)$$ Notation complexe pour simplifier :$\mathbf{Q}(t) = \mathbf{E}e^{\jmath\Omega t}$ - Réponse harmonique de même pulsation: $$\mathbf{p}(t) = \mathbf{P}e^{\jmath\Omega t}$$ $$\mathbf{\dot p}(t) = \jmath\Omega\mathbf{P}e^{\jmath\Omega t}$$ $$\mathbf{\ddot p}(t) = -\Omega^2\mathbf{P}e^{\jmath\Omega t}$$ $\mathbf{P}$ : vecteur des amplitudes complexes des coordonnées modales - L'équation du mouvement forcé en base modale devient : \begin{align} &\mathbf{\ddot p} + 2\boldsymbol\Lambda \dot{\mathbf p} + \boldsymbol\Delta \mathbf p = \mathbf{M}_p^{-1} \mathbf{X}^t \mathbf Q(t)\\ \Leftrightarrow & (\boldsymbol{\Delta}-\Omega^2 \mathbf{I}+2i\Omega\boldsymbol{\Lambda}) \mathbf{P} = \mathbf{M}_p^{-1} \mathbf X^t \mathbf E \end{align} Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Réponse en fréquence - Amortissement proportionnel - L'équation du mouvement se simplifie : $$( \boldsymbol{\Delta}-\Omega^2 \mathbf{I}+2i\Omega\mathbf{\Lambda}) \mathbf{P = M_p^{-1}X^t E}$$ - Le Vecteur des amplitudes complexes des coordonnées modales est : $$\mathbf{P}(\Omega) = ( \boldsymbol{\Delta} - \Omega^2 \mathbf{I}+2i\Omega\mathbf{\Lambda}) ^{-1} \mathbf{M_p^{-1}X^t E}$$ - Finalement l'amplitude de chaque coordonnée modale $p_r(\Omega)$ s'écrit : $$P_r(\Omega) = \sum_i \frac{1}{m_r}\frac{X_{ir} E_i}{\omega_r^2-\Omega^2+2\jmath \Omega\lambda_r} = \sum_i \frac{1}{m_r}\frac{X_{ir} E_i}{\omega_r^2-\Omega^2+2\jmath \xi_r\Omega \omega_r}$$ - On revient aux coordonnées généralisées (mouvement réel) par : $$\mathbf{q(t) = Xp(t)}$$ Systèmes dissipatifs à $N$ DDL Réponse forcée harmonique - Amortissement proportionnel - Pour chaque point $j$ de la structure : $$q_j(t) = \sum_r X_{jr}p_r(t) = \sum_{r,i} \frac{1}{m_r} \frac{X_{jr}X_{ir}E_i} {\omega_r^2-\Omega^2+2\jmath \xi_r\Omega \omega_r} e^{i\Omega t}$$ - En considérant l'amplitude et la phase du mode $r$ : $$P_r(\Omega) = \frac{1}{m_r\sqrt{(\omega_r^2-\Omega^2)^2+4\xi_r^2 \omega_r^2\Omega^2}}\quad\text{et}\quad\phi_r=\arctan\left( \frac{-2\xi_r\omega_r}{\omega_r^2-\Omega^2}\right)$$ - On a l'expression réelle du mouvement harmonique forcé des C.G. $$q_j(t) = \sum_{r,i} \frac{X_{jr}X_{ir}E_i}{m_r\sqrt{(\omega_r^2-\Omega^2)^2+4\xi_r^2\omega_r^2\Omega^2}}\cos(\Omega t + \phi_r)$$ ## Méthodes approchées {#sec-approx-nddl} D'après l'équation des modes propres $\mathbf K\mathbf X_n = \omega_n^2 \mathbf M \mathbf X_n$, on a l'égalité suivante: $$ \mathbf X_n^T \mathbf K \mathbf X_n = \omega_n^2 \mathbf X_n^T \mathbf M \mathbf X_n \quad \Leftrightarrow \quad \omega_n^2 = \frac{\mathbf X_n^T \mathbf K \mathbf X_n}{\mathbf X_n^T \mathbf M \mathbf X_n}, $$ quelle que soit la normalisation choisie pour les modes propres. On définit pour un vecteur $\mathbf v$ arbitraire le **quotient de Rayleigh** $R(\mathbf v)$: $$ R(\mathbf v) = \frac{\mathbf v^T \mathbf K \mathbf v}{\mathbf v^T \mathbf M \mathbf v} = \frac{U(\mathbf v)}{T(\mathbf v)} $$ La fonction $R(\mathbf v)$ est égale à $\omega_n^2$ si $\mathbf v = \mathbf X_n$, mais elle donne une bonne approximation de la fréquence propre si $\mathbf v = \mathbf X_n + \mathbf e$, on a: $$ R(\mathbf X_n + \mathbf e) \approx R(\mathbf X_n) + O(\| \mathbf e\|^2). $$ On peut aussi montrer que $\omega_1^2 \leq R(\mathbf v) \leq \omega_N^2$ pour tout $\mathbf v$. ### Méthode de Rayleigh pour la fréquence fondamentale On peut donc "deviner" les fréquences propres si l'on dispose d'une bonne approximation des modes propres. Une façon d'obtenir une bonne approximation de la plus faible fréquence propre est de résoudre le déplacement $\mathbf x_\mathrm{sta}$ en supposant l'accélération ${\mathbf{\ddot{x}}}$ égale pour chaque degré de liberté, c'est-à-dire: $$ \mathbf{\ddot{x}} = \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \mathbf M \mathbf a + K\mathbf{x}_\mathrm{sta} = \mathbf 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf K \mathbf{{x}}_\mathrm{sta} = -\mathbf M \mathbf a $$ Le vecteur de déplacement statique $\mathbf{x}_\mathrm{sta}$ donne une bonne approximation du premier mode propre, et on a: $$ \sqrt{R(\mathbf x_\mathrm{sta})} \approx \omega_1. $$ :::{.callout-note} Ce [notebook](/jupyterlite/lab/index.html?path=quotient_rayleigh.ipynb) démontre l'application de la méthode de Rayleigh, avec une erreur finale sur la fréquence fondamentale de 0.07% ! ::: ### Méthode de Rayleigh-Ritz pour réduire le nombre de degrés de liberté Un système à $N_T$ degrés de libertés peut être réduit à $N < N_T$ degrés de liberté si on *présuppose* les déformations possibles du systèmes. Soit $\mathbf v_1$, $\mathbf v_2$, ..., $\mathbf v_N$ une famille de vecteurs linéairement indépendants avec $N < N_T$ et fixés *a priori*. On suppose une fonction du déplacement $\mathbf x_h(t)$ donnée par ces vecteurs, soit: $$ \mathbf x_h(t) = \sum_{n=1}^N \mathbf v_n a_n(t) = \mathbf V \mathbf a(t), $$ où $\mathbf V$ contient les vecteurs $\mathbf v_n$ en colonnes et $\mathbf a(t) = (a_1(t) \ldots a_N(t))$. En remplaçant $\mathbf x_h$ dans l'énergie cinétique et potentielle on a: \begin{align*} T(\mathbf x_h) & = \frac{1}{2} (\mathbf V\mathbf a)^T\mathbf M \mathbf V\mathbf a = \frac{1}{2} \mathbf a^T \mathbf V^T \mathbf M \mathbf V \mathbf a = \frac{1}{2} \mathbf a^T \mathbf M_\mathbf{V} \mathbf a\\ U(\mathbf x_h) & = \frac{1}{2} (\mathbf V\mathbf a)^T\mathbf K \mathbf V\mathbf a = \frac{1}{2} \mathbf a^T \mathbf V^T \mathbf K \mathbf V \mathbf a = \frac{1}{2} \mathbf a^T \mathbf K_\mathbf{V} \mathbf a \end{align*} Cela défini deux nouvelles matrices: - une matrice d'inertie réduite $\mathbf M_\mathbf V = \mathbf V^T \mathbf M \mathbf V$ - une matrice de raideur réduite $\mathbf K_\mathbf V = \mathbf V^T \mathbf K \mathbf V$ Et les degrés de libertés sont maintenant les fonctions $a_n(t)$. On peut alors procéder à la même analyse que pour $N_T$ degrés de liberté, et diagonaliser: $$ \mathbf K_\mathbf V \mathbf X_{n,\mathbf V} = \omega_{n,\mathbf V}^2 \mathbf M_\mathbf V \mathbf X_{n,\mathbf V} $$ Les modes propres $X_{n,\mathbf V}$ sont des approximations des $N$ modes propres contenus dans $\mathrm{Vect}(\mathbf V)$, le sous-espace vectoriel des colonnes de $\mathbf V$. Puisque l'on a réduit le nombre de degrés de libertés, certains modes propres sont totalement absents de l'analyse et l'on ne pourra pas obtenir leur fréquence propre. :::{.callout-note} Les vecteurs $\mathbf v_n$ formant la base réduite des degrés de liberté n'ont pas besoin d'être des approximations des modes propres réels de la structure. :::