7 Le lave-linge

On s’intéresse aux vibrations générées par une machine à laver le linge. Lorsque la machine tourne à vide, aucune vibration n’est engendrée, mais lorsque du linge est présent dans le tambour, des vibrations intenses du tambour apparaissent, dues à une distribution inhomogène du linge.

Lave linge

La machine à laver, composée du moteur et du tambour, constitue une structure de masse $M$. Cette structure est liée à son support par une suspension de raideur $k$ et de coefficient d’amortissement $c$. Le linge est assimilé à une masse ponctuelle $m$ située à une distance $a$ de l’axe de rotation du tambour. Le problème est supposé plan et les mouvements horizontaux de la structure sont négligés. La force d’inertie verticale induite par la rotation du linge est notée $F$. On note également :

$x(t)$	la position verticale de l’axe du moteur,
$x_m(t)$	la position verticale du linge,
$\theta$	l’angle entre le rayon passant par le linge et la verticale, contrôlé par le moteur,
$\Omega = \dot\theta$	la vitesse de rotation du moteur,
$\alpha = \ddot\theta$	l’accélération de rotation du moteur.

En utilisant une approche énergétique, montrer que l’équation différentielle du mouvement pour $x(t)$ s’écrit:

\[(M + m)\ddot x(t) + c\dot x(t) + kx(t) = m a \left[\Omega^2\cos(\Omega t) + \alpha\sin(\Omega t) \right].\]

Solution

On a deux masses qui contribuent à l’énergie cinétique. Comme pour l’exercice précédent, il faut choisir un référentiel inertiel pour exprimer l’énergie cinétique. On choisit ici le référentiel de la base de la machine. Dans ce référentiel, la vitesse verticale du moteur est $\dot x$ et son énergie cinétique est simplement: $\frac{1}{2}M\dot x^2$. Pour le linge, il faut exprimer sa vitesse verticale (on ignore les mouvements horizontaux) dans le référentiel de la base. La position $x_m$ est donc une composition de la position $x$ et de l’angle $\theta$:

\[ x_m = x + a\cos\theta\quad\Rightarrow\quad \dot x_m = \dot x - a\dot\theta \sin\theta \]

L’énergie cinétique totale est donc:

\[\begin{align*} T & = \frac{1}{2}M\dot x^2 + \frac{1}{2}m\left(\dot x - a\dot \theta \sin \theta\right)^2\\ & = \frac{1}{2}M\dot x^2 + \frac{1}{2}m\dot x^2 - m\dot x a\dot \theta \sin\theta + \frac{1}{2}m(a\dot \theta)^2\sin^2\theta\\ & = \frac{1}{2}(M + m)\dot x^2 - m\dot x a\dot \theta \sin\theta + \frac{1}{2}m(a\dot \theta)^2\sin^2\theta \end{align*}\]

Note

On remarque que contrairement aux exercices précédents, on a un terme de l’énergie cinétique qui dépend linéairement de $\dot x$ et qui dépend du temps: il va donc apparaître comme un terme de forçage dans l’équation finale.

L’énergie potentielle est triviale:

\[ U = \frac{1}{2}kx^2 \]

Le travail virtuel de la force dissipative sur un déplacement $\delta x$ est également facile à déterminer:

\[ \delta W = -c\dot x\delta x \quad \Rightarrow \quad Q = -c\dot x \]

L’équation d’Euler-Lagrange donne:

\[\begin{align*} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial(T - U)}{\partial \dot x}\right) - \frac{\partial (T - U)}{\partial x} & = Q\\ \Rightarrow \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left( (M + m)\dot x - ma\dot\theta\sin\theta\right) + kx & = -c\dot x \\ \Rightarrow (M + m)\ddot x + c\dot x + kx & = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(ma\dot \theta \sin\theta\right) = ma\left(\ddot \theta\sin\theta + \dot \theta^2\cos\theta\right) \end{align*}\]

Avec $\alpha = \ddot \theta$ et $\Omega = \dot \theta$ on a la bonne expression.

Quelle est la pulsation propre $\omega_0$ de la structure ?

Solution

La pulsation propre a pour expression \[\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{M + m}}.\]

Dans la suite, on considère le régime stationnaire, c’est-à-dire lorsque le moteur a atteint une vitesse de rotation $\Omega$ constante. Simplifier l’équation du mouvement et la mettre sous la forme :

\[\ddot x(t) + 2\xi\omega_0\dot x(t) + \omega_0^2x(t) = A_0\Omega^2\cos(\Omega t).\] Identifier $\xi$ et $A_0$.

Solution

Compte tenu de la relation $\alpha = 0$, l’équation du mouvement peut être mise sous la forme, \[\ddot x(t) + \dfrac{c}{M + m}\dot x(t) + \dfrac{k}{M + m}x(t) = \dfrac{ma\Omega^2}{M + m}\cos(\Omega t),\]

ou encore sous la forme,

\[\ddot x(t) + 2\xi\omega_0\dot x(t) + \omega_0^2x(t) = A_0\Omega^2\cos(\Omega t),\]

en posant :

\[\begin{cases} \xi = \dfrac{c}{2\omega_0(M + m)}, \\ A_0 = \dfrac{ma}{M + m}. \end{cases}\]

Calculer l’expression de l’amplitude $X$ du déplacement de la structure en fonction de $\Omega$.

Solution

La solution de l’équation du mouvement obtenue à la question 4) est recherchée sous la forme complexe : \[x(t) = \Re \left[X(\Omega) e^{i\Omega t + \Phi}\right].\] Le report de cette expression dans l’équation du mouvement conduit à l’expression

\[X = \dfrac{A_0\Omega^2}{\sqrt{\left(\omega_0^2 - \Omega^2\right)^2 + \left(2\Omega\omega_0\xi\right)^2}}.\]

On mesure le déplacement d’une telle machine avec les paramètres suivants: le linge a une masse $m = 3$ kg et est positionné à une distance $a = 25$ cm. Les courbes représentant $X$ en fonction de la vitesse de rotation $\Omega$ sont données ci-dessous

Fonction de réponse en dB

Vers quelle valeur tend l’amplitude du déplacement $X$ lorsque $\Omega >> \omega_0$ ? En déduire la masse de la structure.

Solution

Lorsque $\Omega >> \omega_0$, l’amplitude $X$ tend vers $A_0$. L’amplitude $A_0$ ayant pour valeur $10^{-2}$ , la masse $M$ a donc pour valeur,

\[M = \dfrac{m(a - A_0)}{A_0} = \dfrac{3\left(25.10^{-2} - 10^{-2}\right)}{10^{-2}} = 72 \text{ kg}.\]

Mesurer une valeur approchée de $\omega_0$ et en déduire celle de la raideur $k$.

Solution

La résonance a lieu pour la fréquence de rotation $f = 50$ tours par seconde. La raideur de la structure est donc :

\[k = 4\pi^2(M + m)f^2 = 4\pi^2 \cdot 75\,\mathrm{kg}\,\cdot(50\,\mathrm{s}^{-1})^2 = 4\pi^2\cdot 75\cdot 2500 \,\mathrm{N/m} \approx 7.4\,\mathrm{MN/m}\]

Mesurer l’amortissement $\xi$ et en déduire la valeur du coefficient d’amortissement $c$.

Solution

On regarde à quelles fréquences l’amplitude est plus faible de 3 dB par rapport au pic de résonnance (ce qui correspond à un perte de puissance d’un facteur 2). On a $f_1 \approx 48$ Hz et $f_2 \approx 52$ Hz, donc

Le coefficient $\xi$ correspond à : \[\xi = \dfrac{\Delta f_{-3\text{dB}}}{2f_0} \approx \dfrac{52 - 48}{2\cdot 50} \approx 0.04\]

L’amortissement a donc pour valeur \[c = 2\xi (M + m) (2\pi f_0) = 4\pi \cdot 0.04 \cdot 75\,\mathrm{kg}\cdot 50\,\mathrm{s}^{-1} \approx 47.1\,\mathrm{kN / (m/s)}.\]

# Le lave-linge On s'intéresse aux vibrations générées par une machine à laver le linge. Lorsque la machine tourne à vide, aucune vibration n'est engendrée, mais lorsque du linge est présent dans le tambour, des vibrations intenses du tambour apparaissent, dues à une distribution inhomogène du linge. ![Lave linge](figs/LaveLinge_1.svg){width=80%} La machine à laver, composée du moteur et du tambour, constitue une structure de masse $M$. Cette structure est liée à son support par une suspension de raideur $k$ et de coefficient d'amortissement $c$. Le linge est assimilé à une masse ponctuelle $m$ située à une distance $a$ de l'axe de rotation du tambour. Le problème est supposé plan et les mouvements horizontaux de la structure sont négligés. La force d'inertie verticale induite par la rotation du linge est notée $F$. On note également : ------------------------ -------------------------------------------------------------- $x(t)$ la position verticale de l'axe du moteur, $x_m(t)$ la position verticale du linge, $\theta$ l'angle entre le rayon passant par le linge et la verticale, contrôlé par le moteur, $\Omega = \dot\theta$ la vitesse de rotation du moteur, $\alpha = \ddot\theta$ l'accélération de rotation du moteur. ------------------------ -------------------------------------------------------------- En utilisant une approche énergétique, montrer que l'équation différentielle du mouvement pour $x(t)$ s'écrit: $$(M + m)\ddot x(t) + c\dot x(t) + kx(t) = m a \left[\Omega^2\cos(\Omega t) + \alpha\sin(\Omega t) \right].$$ ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} On a deux masses qui contribuent à l'énergie cinétique. Comme pour l'exercice précédent, il faut choisir un référentiel inertiel pour exprimer l'énergie cinétique. On choisit ici le référentiel de la base de la machine. Dans ce référentiel, la vitesse verticale du moteur est $\dot x$ et son énergie cinétique est simplement: $\frac{1}{2}M\dot x^2$. Pour le linge, il faut exprimer sa vitesse verticale (on ignore les mouvements horizontaux) dans le référentiel de la base. La position $x_m$ est donc une composition de la position $x$ et de l'angle $\theta$: $$ x_m = x + a\cos\theta\quad\Rightarrow\quad \dot x_m = \dot x - a\dot\theta \sin\theta $$ L'énergie cinétique totale est donc: \begin{align*} T & = \frac{1}{2}M\dot x^2 + \frac{1}{2}m\left(\dot x - a\dot \theta \sin \theta\right)^2\\ & = \frac{1}{2}M\dot x^2 + \frac{1}{2}m\dot x^2 - m\dot x a\dot \theta \sin\theta + \frac{1}{2}m(a\dot \theta)^2\sin^2\theta\\ & = \frac{1}{2}(M + m)\dot x^2 - m\dot x a\dot \theta \sin\theta + \frac{1}{2}m(a\dot \theta)^2\sin^2\theta \end{align*} :::{.callout-note} On remarque que contrairement aux exercices précédents, on a un terme de l'énergie cinétique qui dépend linéairement de $\dot x$ et qui dépend du temps: il va donc apparaître comme un terme de forçage dans l'équation finale. ::: L'énergie potentielle est triviale: $$ U = \frac{1}{2}kx^2 $$ Le travail virtuel de la force dissipative sur un déplacement $\delta x$ est également facile à déterminer: $$ \delta W = -c\dot x\delta x \quad \Rightarrow \quad Q = -c\dot x $$ L'équation d'Euler-Lagrange donne: \begin{align*} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial(T - U)}{\partial \dot x}\right) - \frac{\partial (T - U)}{\partial x} & = Q\\ \Rightarrow \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left( (M + m)\dot x - ma\dot\theta\sin\theta\right) + kx & = -c\dot x \\ \Rightarrow (M + m)\ddot x + c\dot x + kx & = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(ma\dot \theta \sin\theta\right) = ma\left(\ddot \theta\sin\theta + \dot \theta^2\cos\theta\right) \end{align*} Avec $\alpha = \ddot \theta$ et $\Omega = \dot \theta$ on a la bonne expression. ::: Quelle est la pulsation propre $\omega_0$ de la structure ? ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} La pulsation propre a pour expression $$\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{M + m}}.$$ ::: Dans la suite, on considère le régime stationnaire, c'est-à-dire lorsque le moteur a atteint une vitesse de rotation $\Omega$ constante. Simplifier l'équation du mouvement et la mettre sous la forme : $$\ddot x(t) + 2\xi\omega_0\dot x(t) + \omega_0^2x(t) = A_0\Omega^2\cos(\Omega t).$$ Identifier $\xi$ et $A_0$. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} Compte tenu de la relation $\alpha = 0$, l'équation du mouvement peut être mise sous la forme, $$\ddot x(t) + \dfrac{c}{M + m}\dot x(t) + \dfrac{k}{M + m}x(t) = \dfrac{ma\Omega^2}{M + m}\cos(\Omega t),$$ ou encore sous la forme, $$\ddot x(t) + 2\xi\omega_0\dot x(t) + \omega_0^2x(t) = A_0\Omega^2\cos(\Omega t),$$ en posant : $$\begin{cases} \xi = \dfrac{c}{2\omega_0(M + m)}, \\ A_0 = \dfrac{ma}{M + m}. \end{cases}$$ ::: Calculer l'expression de l'amplitude $X$ du déplacement de la structure en fonction de $\Omega$. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} La solution de l'équation du mouvement obtenue à la question 4) est recherchée sous la forme complexe : $$x(t) = \Re \left[X(\Omega) e^{i\Omega t + \Phi}\right].$$ Le report de cette expression dans l'équation du mouvement conduit à l'expression $$X = \dfrac{A_0\Omega^2}{\sqrt{\left(\omega_0^2 - \Omega^2\right)^2 + \left(2\Omega\omega_0\xi\right)^2}}.$$ ::: On mesure le déplacement d'une telle machine avec les paramètres suivants: le linge a une masse $m = 3$ kg et est positionné à une distance $a = 25$ cm. Les courbes représentant $X$ en fonction de la vitesse de rotation $\Omega$ sont données ci-dessous ![Fonction de réponse](figs/MachineALaver_FRF.png){width=100%} ![Fonction de réponse en dB](figs/LaveLinge_3.svg){width=100%} Vers quelle valeur tend l'amplitude du déplacement $X$ lorsque $\Omega >> \omega_0$ ? En déduire la masse de la structure. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} Lorsque $\Omega >> \omega_0$, l'amplitude $X$ tend vers $A_0$. L'amplitude $A_0$ ayant pour valeur $10^{-2}$ , la masse $M$ a donc pour valeur, $$M = \dfrac{m(a - A_0)}{A_0} = \dfrac{3\left(25.10^{-2} - 10^{-2}\right)}{10^{-2}} = 72 \text{ kg}.$$ ::: Mesurer une valeur approchée de $\omega_0$ et en déduire celle de la raideur $k$. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} La résonance a lieu pour la fréquence de rotation $f = 50$ tours par seconde. La raideur de la structure est donc : $$k = 4\pi^2(M + m)f^2 = 4\pi^2 \cdot 75\,\mathrm{kg}\,\cdot(50\,\mathrm{s}^{-1})^2 = 4\pi^2\cdot 75\cdot 2500 \,\mathrm{N/m} \approx 7.4\,\mathrm{MN/m}$$ ::: Mesurer l'amortissement $\xi$ et en déduire la valeur du coefficient d'amortissement $c$. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} On regarde à quelles fréquences l'amplitude est plus faible de 3 dB par rapport au pic de résonnance (ce qui correspond à un perte de puissance d'un facteur 2). On a $f_1 \approx 48$ Hz et $f_2 \approx 52$ Hz, donc Le coefficient $\xi$ correspond à : $$\xi = \dfrac{\Delta f_{-3\text{dB}}}{2f_0} \approx \dfrac{52 - 48}{2\cdot 50} \approx 0.04$$ L'amortissement a donc pour valeur $$c = 2\xi (M + m) (2\pi f_0) = 4\pi \cdot 0.04 \cdot 75\,\mathrm{kg}\cdot 50\,\mathrm{s}^{-1} \approx 47.1\,\mathrm{kN / (m/s)}.$$ :::