12 Modélisation des vibrations transverses d’un rail
L’objet du problème est de modéliser analytiquement les vibrations transverse induite dans un rail par le passage d’un train. On modélise le rail par une poutre droite de longueur \(L\), de section rectangulaire \(S\), de moment quadratique \(I\). Elle est faite dans un matériau homogène de masse volumique \(\rho\) et de module d’Young \(E\). Le rail repose sur deux appuis simples en \(x = 0\) et \(x = L\). Le ballast et les traverses, jouant le rôle d’une fondation élastique, sont représentés par une raideur \(k\) par unité de longueur. L’ensemble est représenté sur la figure suivante.
Pour une section droite de la poutre à l’abscisse \(x\), on note \(v(x,t)\) le déplacement vertical (\(\parallel z\)) du centre d’inertie et \(\theta(x, t)\) la rotation de cette section par rapport à l’axe transversal (\(\parallel y\)). Les dimensions de la section droite étant faibles devant la longueur de la poutre, le modèle d’Euler-Bernoulli est suffisant pour en décrire correctement le comportement en flexion.
- Faire le bilan dynamique d’une section droite de la poutre dans le mouvement de flexion, en incluant l’effort de la fondation élastique.
12.1 Mouvement libre
En l’absence de force d’excitation, montrer que l’équation différentielle qui décrit les vibrations de flexion s’écrit sur \(v(x,t)\): \[\rho S\frac{\partial^2 v}{\partial t^2} + EI \frac{\partial^4 v}{\partial x^4} + kv = 0\]
On note \(c = \sqrt{\frac{EI}{\rho S}}\). Dans le cas d’une onde stationnaire, quelle type de solution cherche-t-on pour \(v(x,t)\) ?
Isoler les équations différentielles sur la forme des modes \(X(x)\) et l’oscillation temporelle \(p(t)\).
Donner la forme générale de \(X(x)\) et \(p(t)\). On explicitera le nombre d’onde en fonction de \(C = \sqrt{\frac{EI}{\rho S}}\) et \(\frac{k}{EI}\).
Décrire les conditions mécaniques aux limites du rail et donner les conditions limites sur \(X(x)\) associées
En déduire les nombres d’ondes admissibles \(\gamma_n\)
Rappeler la relation d’orthogonalité et en déduire le coefficient de normalisation des fonctions propres pour que \(\langle X_n, M(X_n)\rangle = \rho S\) (équivalent à \(\langle X_n, X_n\rangle = 1\)).
Représenter schématiquement la forme des 3 premiers modes.
Donner l’expression des fréquences propres \(\omega_n\) associées à ces fonctions propres. Comparer ces fréquences à celles du rail sans ballast. Commenter.
Écrire l’expression de la réponse libre \(v(x,t)\) du rail en fonction des \(X_n\) et \(\omega_n\).
Indiquer comment les inconnues restantes peuvent être déterminées.
12.2 Méthode de Rayleigh pour le mode fondamental
On cherche à vérifier l’expression de la pulsation propre du mode fondamental:
\[ \omega_1 = \frac{c}{L^2}\sqrt{\pi^4 + \frac{kL^4}{EI}} \tag{12.1}\]
Pour cela, on va chercher une solution de l’équation de flexion statique:
\[ EI\frac{\mathrm d^4 v_\mathrm{sta}}{\mathrm dx^4} = -\rho S g \]
Pour la déformée statique, on néglige l’effet du ballast, ce qui simplifie considérablement l’équation différentielle à résoudre.
Par intégration successive, trouver le déplacement statique \(v_\mathrm{sta}(x)\). On utilisera les conditions limites de moment nul et de déplacement vertical nul pour déterminer les constantes d’intégration.
Montrer que \(v_\mathrm{sta}(x)\) est proportionnel à la fonction: \[\phi\left(\frac{x}{L}\right) = \left(\frac{x}{L}\right)^3 - \frac{1}{2}\left(\frac{x}{L}\right)^4 - \frac{1}{2}\left(\frac{x}{L}\right)\]
Calculer : \[\begin{aligned} U(\phi) & = \frac{1}{2}\langle \phi, K(\phi)\rangle\\ T(\phi) & = \frac{1}{2}\langle \phi, M(\phi)\rangle\end{aligned}\] On se servira des identités suivantes:
\[\begin{aligned} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \phi\left(\frac{x}{L}\right) & = \frac{1}{L}\phi'\left(\frac{x}{L}\right)\\ \int_0^1 [\phi(z)]^2\,\mathrm dz &= \frac{31}{2520} \\ \int_0^1 [\phi''(z)]^2\,\mathrm dz & = \frac{6}{5} \end{aligned}\]
À l’aide du quotient de Rayleigh, estimer la fréquence fondamentale de vibration du rail. Est-ce que cette estimation correspond au calcul précédent (Équation 12.1) ?
12.3 Réponse au passage du train
On s’intéresse maintenant à la réponse du rail au passage du train. De manière très simplifiée, le train est modélisé par une charge mobile \(P(x, t)\) qui se déplace à la vitesse constante \(v_0\) (voir Figure 12.1).
On utilise la distribution de Dirac pour exprimer l’excitation résultante. L’équation différentielle du mouvement du rail sous l’effet de cette excitation s’écrit : \[\rho S\frac{\partial^2 v}{\partial t^2} + EI \frac{\partial^4 v}{\partial x^4} + kv= P_0\delta(x-v_0t)\]
On rappelle la définition des masses modales et raideur modales:
\[\tilde{m}_n = \langle X_n, M(X_n)\rangle,\text{ et } \tilde{k}_n = \langle X_n, K(X_n)\rangle\]
et que la distribution de Dirac a la propriété suivante pour une fonction \(F(x)\) quelconque : \[\int_0^L F(x)\delta(x - x_0) \mathrm dx = \langle F, \delta_{x_0}\rangle = F(x_0).\]
La réponse forcée totale du rail s’exprime comme une combinaison linéaire de modes propres : \[v(x,t) = \sum_n X_n(x)q_n(t).\]
En utilisant l’orthogonalité, établir les équations pour les coordonnées modales \(q_n(t)\) avec forçage
Cette équation traduit l’excitation de chaque mode par une fonction harmonique dont la fréquence dépend de la vitesse \(v_0\) du train. Préciser la pulsation d’excitation \(\Omega_n\) propre à chaque mode.
En déduire l’expression des réponses modales \(q_n(t)\)
Pour quelle vitesse \(v_{0_n}\) du train le mode d’ordre n entre-t-il en résonance ?
Montrer alors que la réponse totale forcée du rail s’écrit en fonction de la vitesse \(v_0\) du train : \[v(x,t) = \dfrac{2P_0L^2}{\pi^2\rho SL} \sum_n \dfrac{1}{n^2(v_{0_n}^2 - v_0^2)}\sin(\Omega_nt) \sin\left(\dfrac{n\pi}{L} x\right).\]
Lorsque la raideur du ballast est négligeable devant celle du rail, montrer que la vitesse critique du mode n, \(v_{0_n}\), devient :
\[v_{0_n} = n \pi\dfrac{c}{L}.\]
Tracer alors l’allure de l’amplitude la réponse du rail en fonction de la vitesse \(v_0\) du train. Commenter.
Bilan dynamique
Sur une tranche infinitésimale de poutre, la conservation de quantité de mouvement selon \(y\) se traduit en équation:
\[\begin{align*} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\mathrm dm \dot v) = - T + \left(T + \frac{\partial T}{\partial x}\mathrm dx\right) + q\mathrm dx - kv\mathrm dx\quad & \Leftrightarrow \quad \rho S \ddot v \mathrm dx = \left(\frac{\partial T}{\partial x} + q - kv\right)\mathrm dx\\ & \Leftrightarrow\quad \rho S\ddot v + kv = \frac{\partial T}{\partial x} + q \end{align*}\]
La force répartie due au mouvement du ballast est de même nature que \(q\), mais agit dans le sens contraire du déplacement vertical de la poutre (c’est une force de rappel).
On a fait l’hypothèse que sur la tranche infinitésimale la variation spatiale de \(q\), \(kv\) et \(\ddot v\) est négligeable, et que ces quantités peuvent être considérées constantes sur la longueur \(\mathrm dx\). Il n’est pas nécessaire de faire cette hypothèse pour arriver aux bonnes équations mais la démonstration est plus complexe.
On écrit la conservation du moment cinétique par rapport au centre de la tranche infinitésimale. La variation du moment cinétique par rapport au temps est \(\mathrm dI \ddot \theta\), où \(\mathrm dI = \mathrm dm\mathrm dx^2/12\) et \(\theta\) est la rotation de \(\mathrm dx\) par rapport à son centre. Puisque \(q\), \(kv\) et \(\ddot v\) sont constant sur \(\mathrm dx\), leur contribution au moment cinétique par rapport au centre de la tranche sont nulles (par symétrie), et l’équation s’écrit:
\[\begin{align*} \frac{\mathrm dm\mathrm dx^2}{12}\ddot \theta & = T\frac{\mathrm dx}{2} + \left(T + \frac{\partial T}{\partial x}\mathrm dx\right)\cdot \frac{\mathrm dx}{2} - M + \left(M + \frac{\partial M}{\partial x}\mathrm dx\right) \\ \Leftrightarrow \frac{\rho S \mathrm dx^3}{12} \ddot \theta & = \left(T + \frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial T}{\partial x}\frac{\mathrm dx}{2}\right)\mathrm dx\\ \frac{\partial M}{\partial x} + T & = \mathrm dx\left(\frac{\rho S\mathrm dx^2}{12}\ddot \theta-\frac{1}{2}\frac{\partial T}{\partial x}\right) \end{align*}\]
Puisque \(\mathrm dx\) est aussi petit que l’on souhaite, le terme à droite disparaît, et l’on peut écrire:
\[ T + \frac{\partial M}{\partial x} = 0 \]
Pour clore le problème et poser l’équation d’ondes, on a besoin des équations du modèle de flexion d’Euler-Bernoulli qui relient l’angle de rotation de la poutre \(\theta\) au moment de flexion \(M\) et à la flèche \(v\):
\[ \left\{ \begin{aligned} M & = EI \frac{\partial \theta}{\partial x}\\ \theta & = \frac{\partial v}{\partial x} \end{aligned} \right. \]
Une version rigoureuse de cette démonstration est donnée en Section 4.1.
Mouvement avec le modèle d’Euler-Bernoulli
Le moment fléchissant ayant pour expression \[M(x,t) = EI\dfrac{\partial^2 v(x,t)}{\partial x^2},\] l’équation des vibrations transverses d’une poutre droite a pour expression \[EI\dfrac{\partial^4 v(x,t)}{\partial x^4} + kv(x,t) + \rho S \dfrac{\partial^2 v(x,t)}{\partial t^2} = 0.\]
Onde stationnaire
Solution à variables séparées : \(v(x, t) = X(x)p(t)\).
Séparation des variables
On identifie à partir de l’équation du mouvement:
\[\begin{aligned} M(\dot v) & = \rho S \dot v\\ K(v) & = EI\frac{\partial^4 v}{\partial x^4} + kv \end{aligned}\]
On a donc l’équation du mouvement suivante:
\[ M(\ddot v) + K(v) = 0.\]
Cf. Section 3.2.3 pour la séparation de variables, on obtient alors:
\[\left\{\begin{aligned} \ddot p + \omega^2 p & = 0\\ K(X) & = \omega^2 M(X) \end{aligned}\right.\]
Forme des modes
\[\begin{aligned} K(X) & = \omega^2 M(X) \\ \Leftrightarrow EIX'''' + kX & = \omega^2 \rho S X \\ \Leftrightarrow X'''' - \left(\frac{\omega^2}{\frac{EI}{\rho S}} - \frac{k}{EI}\right) X & = 0\\ \Leftrightarrow X'''' - \gamma^4 X & = 0 & \text{avec } \gamma^2 = \sqrt{\frac{\omega^2}{C^2} - \frac{k}{EI}},\quad C = \sqrt{\frac{EI}{\rho S}} \end{aligned}\]
On peut écrire une solution générale de cette équation sous la forme :
\[\begin{aligned} X(x) = D_1 (\cos\gamma x + \cosh\gamma x) + D_2 (\cos\gamma x − \cosh \gamma x) \\+ D_3 (\sin\gamma x + \sinh\gamma x) + D_4 (\sin\gamma x − \sinh \gamma x)\end{aligned}\]
L’équation pour \(p(t)\) donne:
\[p(t) = A\cos\omega t + B\sin\omega t\]
Conditions limites
Les extrémités de la poutre reposent sur des appuis simples. Les déplacements et les moments de flexion sont donc nuls en \(x=0\) et \(x=L\) : \[\begin{cases} v(x=0) = 0, \\ M(x=0) = 0, \\ v(x=L) = 0, \\ M(x=L) = 0. \\ \end{cases}\] Compte tenu de l’expression du moment fléchissant, cela donne \[\begin{cases} X(x=0) = 0, \\ X''(x=0) = 0, \\ X(x=L) = 0, \\ X''(x=L) = 0. \\ \end{cases}\]
Nombres d’ondes \(\gamma_n\)
En \(x = 0\), on a \[\begin{cases} X(0) = 0, \\ X''(0) = 0, \end{cases} \qquad \longleftrightarrow \qquad \begin{cases} D_1 = 0, \\ D_2 = 0, \end{cases}\]
En \(x = L\), on a \[\begin{cases} X(L) = 0, \\ X''(L) = 0, \end{cases} \qquad \longleftrightarrow \qquad \begin{cases} D_3(\sin\gamma L + \sinh\gamma L) + D_4(\sin\gamma L - \sinh\gamma L) =0, \\ D_3(-\sin\gamma L + \sinh\gamma L) + D_4 (-\sin\gamma L - \sinh\gamma L) =0, \end{cases}\] On en déduit \(D_3 = D_4\) et \(\sin\gamma L = 0\), d’où \(\gamma_n L = n\pi\), et l’expression des fonctions propres du rail : \[X_n(x) = D_n\sin\frac{n\pi x}{L}.\]
Normalisation de \(X_n\)
La relation d’orthogonalité ayant pour expression \[\int_0^L X_n(x)X_m(x)dx = \delta_{mn},\] le coefficient de normalisation a pour expression \[D_n = \sqrt{\dfrac{2}{L}}.\]
Fréquences propres
\[\left(\frac{n\pi}{L}\right)^4= \frac{\rho S\omega^2-k}{EI} \Leftrightarrow \omega_n = \frac{c}{L^2} \sqrt{\left(n\pi\right)^4+\frac{kL^4}{EI}} \geq \omega_{n,k=0} = \frac{c}{L^2} \left(n\pi\right)^2\] Les fréquences propres avec ballast sont plus élevées, ce qui est normal puisque la structure est plus raide. En revanche les modes propres ont la même forme.
En exprimant les pulsation propres comme:
\[ \omega_1 = \frac{(n\pi)^2 c}{L^2}\sqrt{1 + \frac{1}{\pi^4 n^4}\frac{kL^4}{EI}},\]
on remarque que l’influence du ballast, gouvernée par le nombre sans dimension \(\frac{kL^4}{\pi^4 n^4 EI}\), diminue pour les modes hautes fréquences. Ces modes tendent rapidement vers ceux d’une poutre simple sans ballast.
Vibration libre
\[v(x,t) = \sum_n X_n(x)p_n(t) = \sum_n (A_n \cos\omega_nt + B_n\sin\omega_n t)X_n(x)\]
Conditions initiales
On détermine les inconnues \(A_n\) et \(B_n\) à partir des conditions initiales en position et en vitesse.
Méthode de Rayleigh pour le mode fondamental
On a l’equation de flexion statique :
\[ EI\frac{\mathrm d^4 v_\mathrm{sta}}{\mathrm dx^4} = -\rho S g \]
En intégrant deux fois, on obtient:
\[ EI\frac{\mathrm d^2 v_\mathrm{sta}}{\mathrm dx^2} = -\rho S g\frac{x^2}{2} + C_1 x + C_2 \]
Le terme à gauche est le moment de flexion, qui est nul pour \(x = 0\) et \(x = L\), donc:
\[C_1 = \rho S g\frac{L}{2},\quad C_2 = 0\]
On intègre deux fois pour trouver le déplacement :
\[ EIv_\mathrm{sta}(x) = \rho S g\left(\frac{Lx^3}{12} - \frac{x^4}{24}\right) + C_3 x + C_4 \]
Le déplacement est nul en \(x = 0\) et \(x = L\), donc:
\[ C_3 = -\rho S g\frac{L^3}{24},\quad C_4 = 0\]
On a alors:
\[\begin{aligned} v_\mathrm{sta}(x) & = \frac{\rho S g}{EI}\left(\frac{Lx^3}{12} - \frac{x^4}{24} - \frac{L^3 x}{24}\right)\\ & = \frac{\rho S g}{12 EI}(Lx^3 - \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{2}L^3 x)\\ & = \frac{\rho S gL^4}{12 EI}\left[ \left(\frac{x}{L}\right)^3 - \frac{1}{2}\left(\frac{x}{L}\right)^4 - \frac{1}{2} \frac{x}{L}\right]\\ & \propto \phi\left(\frac{x}{L}\right) \end{aligned}\]
On peut calculer les énergies (avec le changement de variable \(z = \frac{x}{L}\), \(\mathrm dx = L\mathrm dz\)):
\[\begin{aligned} U(\phi) & = \frac{1}{2}\int_0^L EI\left[\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\phi\left(\frac{x}{L}\right)\right]^2\,\mathrm dx + \frac{1}{2}\int_0^L k\left[\phi\left(\frac{x}{L}\right)\right]^2\,\mathrm dx\\ & = \frac{1}{2}\frac{EI}{L^3}\int_0^1 [\phi''(z)]^2\,\mathrm dz + \frac{1}{2} kL\int_0^1[\phi(z)]^2\,\mathrm dz\\ & = \frac{1}{2}\left\{ \frac{EI}{L^3}\frac{6}{5} + kL\frac{31}{2520}\right\}\\[1cm] T(\phi) & = \frac{1}{2}\int_0^L \rho S \left[\phi\left(\frac{x}{L}\right)\right]^2\,\mathrm dx\\ & = \frac{1}{2}\rho S L \int_0^1[\phi(z)]\,\mathrm dz\\ & = \frac{1}{2}\rho S L \frac{31}{2520} \end{aligned}\]
Le quotient de Rayleigh donne:
\[\begin{aligned} \omega_1^2 \approx \frac{U(\phi)}{T(\phi)} & = \frac{\frac{6 EI}{5 L^4} + k\frac{31}{2520}}{\rho S \frac{31}{2520}}\\ & = \frac{1}{L^4}\left\{\frac{6\cdot 2520}{5\cdot 31} \frac{EI}{\rho S} + \frac{kL^4}{\rho S}\right\}\\ & = \frac{1}{L^4}\frac{EI}{\rho S}\left(\frac{6\cdot 2520}{5\cdot 31} + \frac{kL^4}{EI}\right)\\ \Rightarrow \omega_1 & \approx \frac{c}{L^2} \sqrt{\frac{6\cdot 2520}{5\cdot 31} + \frac{kL^4}{EI}} \end{aligned}\]
On a bien les bonnes dépendances de \(\omega_1\) aux paramètres du problème ! Le nombre sans dimension \(\frac{kL^4}{EI}\) gouverne l’importance de la raideur du ballast par rapport à la raideur du rail. Pour \(\frac{kL^4}{EI}\ll \frac{6\cdot 2520}{5\cdot 31} \approx 97.5\) on peut négliger la raideur du ballast.
On peut vérifier que \(\frac{6\cdot 2520}{5\cdot 31}\) est une approximation de \(\pi^4\) à environ 0.1% prêt.
Forçage
Voir Section 3.2.7 pour la démonstration. L’équation est :
\[ \ddot q_n + \omega_n^2 q_n = \frac{\langle X_n, F\rangle}{\tilde{m}_n}. \]
On doit donc calculer :
\[\begin{aligned} \langle X_n, F\rangle & = \langle X_n, P_0\delta_{v_0 t}\rangle \\ & = P_0 X_n(v_0t) \\ & = \sqrt{\frac{2}{L}}P_0\sin\left(\frac{\pi n}{L}v_0 t\right) \\ & = \sqrt{\frac{2}{L}}P_0\sin\Omega_n t\quad\text{avec}\quad\Omega_n = \frac{\pi n v_0}{L} \end{aligned}\]
En remplaçant \(\tilde{m}_n = \rho S\), on obtient:
\[ \ddot q_n + \omega_n^2 q_n = \sqrt{\frac{2}{L}}\frac{P_0}{\rho S}\sin\Omega_n t \]
La solution est donc:
\[ q_n(t) = \sqrt{\frac{2}{L}}\frac{P_0}{\rho S(\omega_n^2 - \Omega_n^2)}\sin\Omega_n t \]
Résonance
La résonance du mode n intervient quand \(\Omega_n = \omega_n\). C’est à dire lorsque \[\Omega_n = \dfrac{n\pi v_0}{L} \qquad \Leftrightarrow \qquad v_{0_n} = \dfrac{\omega_n L}{n\pi}.\]
Réponse totale
On a \[v(x,t) = \dfrac{2P_0}{\rho SL} \sum_n \dfrac{\sin(\Omega_nt)}{\omega_n^2 - \Omega_n^2} \sin\left(\dfrac{n\pi}{L} x\right).\] Puisque \(\Omega_n = n\pi v_0/L\) et \(\omega_n = n\pi v_{0_n}/L\), on en déduit \[v(x,t) = \dfrac{2P_0L^2}{\pi^2\rho SL} \sum_n \dfrac{1}{n^2(v_{0_n}^2 - v_0^2)}\sin(\Omega_nt) \sin\left(\dfrac{n\pi}{L} x\right).\]
\(k\) négligeable
Lorsque la raideur du ballast est négligeable, on a
\[\omega_n = c \left(\dfrac{n\pi}{L}\right)^2 \qquad \Longleftrightarrow \qquad v_{0_n} = n \pi\dfrac{c}{L},\]
qui est bien homogène à une vitesse.
Allure de la réponse
Remarquer que l’écart entre les résonances est constant sur l’échelle de vitesse. Sur une échelle en fréquence il varie en \(n^2\). Avec des amortissements faibles, pour un ensemble discret de vitesses du train, le rail entre en résonance suivant un seul mode.