13 Vibrations d’une flèche
On modélise une flèche par une poutre de longueur \(L\), de section circulaire constante \(S\) et constituée d’un matériau homogène et isotrope de module d’Young \(E\), et de masse volumique \(\rho\). Son élancement permet de se placer dans l’hypothèse d’Euler-Bernoulli.
La flèche est dotée d’une pointe de masse \(m\) (considérée ponctuelle) liée rigidement à l’extrémité \(x = L\), et d’un empennage de masse négligeable à l’extrémité \(x = 0\).
L’objet du problème est de modéliser les vibrations de la flèche dans les phases initiale et finale de sa trajectoire entre l’archer et la cible.
Les deux parties sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.
13.1 Au départ, en quittant l’arc : vibrations libres en flexion
Dans un premier temps, on néglige la présence de la pointe.
Après que la flèche quitte la corde, l’empennage entre en contact avec la poignée de l’arc. Ce contact impose une déformation initiale et engendre une vibration de flexion libre pendant la phase de vol.
On rappelle l’équation générale des vibrations libres transverses dans une poutre droite, portant sur le déplacement transverse \(v(x, t)\).
\[\begin{aligned} \rho S \frac{\partial^2 v}{\partial t^2} + EI\frac{\partial^4 v}{\partial x^4} & = 0 \\ \Leftrightarrow\quad M(\ddot v) + K(v) & = 0\quad\text{avec}\quad M(\ddot v) = \rho S\frac{\partial^2 v}{\partial t^2},\text{ et } K(v) = EI\frac{\partial^4 v}{\partial x^4}\end{aligned}\]
On cherche des solutions à variables séparées (ondes stationnaires) \(v(x, t) = X(x)p(t)\). Les conditions nécessaires sur \(X\) et \(p\) sont:
\[\left\{\begin{aligned} \ddot p + \omega^2 p & = 0 \\ K(X) & = \omega^2 M(X)\end{aligned}\right.\]
- Donner la forme générale des fonctions \(X\) et \(p\) qui satisfont ces conditions (sans prendre en compte les conditions limites).
On considère deux possibilités de conditions limites :
- Écrire les conditions limites sur \(X(x)\) pour les deux cas ci-dessus.
- Déduire des conditions limites l’équation que doivent satisfaire les nombres d’onde admissibles \(\gamma_n = \sqrt{\frac{\omega_n}{C}}\)
On souhaite maintenant prendre en compte l’influence de la masse ponctuelle \(m\). Pour cela, il faut établir les bonnes conditions aux limites en \(x = L\).
- On suppose \(m\) ponctuelle, son moment d’inertie est donc nul. Quelle est la condition limite sur \(X\) correspondant à cette hypothèse ?
- Établir la dynamique du mouvement vertical de \(m\) (principe fondamental de la dynamique). Montrer que l’équation du mouvement de \(m\) est équivalente à \[ X'''(L) = \frac{m}{\rho SL}\gamma^4 L X(L)\]
- À quelle condition limite l’équation ci-dessus se réduit-elle lorsque:
- \(m \gg \rho SL\) (masse de la flèche négligeable devant la pointe) ?
- \(m \ll \rho SL\) (masse de la pointe négligeable devant la flèche) ?
- Donner l’équation que doivent satisfaire les nombres d’onde admissibles \(\gamma_n\)
Forme des modes
\[\begin{aligned} K(X) & = \omega^2 M(X) \\ \Leftrightarrow EIX'''' & = \omega^2 \rho S X \\ \Leftrightarrow X'''' - \frac{\omega^2}{\frac{EI}{\rho S}} X & = 0\\ \Leftrightarrow X'''' - \gamma^4 X & = 0 & \text{avec } \gamma^2 = \frac{\omega}{C},\quad C = \sqrt{\frac{EI}{\rho S}} \end{aligned}\]
On peut écrire une solution générale de cette équation sous la forme :
\[\begin{aligned} X(x) = D_1 (\cos\gamma x + \cosh\gamma x) + D_2 (\cos\gamma x − \cosh \gamma x) \\+ D_3 (\sin\gamma x + \sinh\gamma x) + D_4 (\sin\gamma x − \sinh \gamma x)\end{aligned}\]
L’équation pour \(p(t)\) donne:
\[p(t) = A\cos\omega t + B\sin\omega t\]
Conditions limites
Cas libre-libre
L’effort tranchant et le moment de flexion sont nuls aux deux extrémités, donc \[ \begin{aligned} X'''(0) & = 0\\ X'''(L) & = 0\\ X''(0) & = 0\\ X''(L) & = 0\\ \end{aligned}\]
Cas libre-appuyée
L’effort tranchant et le moment de flexion sont nuls à \(x = 0\), le moment de flexion et le déplacement transverse sont nuls à \(x = L\).
\[ \begin{aligned} X'''(0) & = 0\\ X''(0) & = 0\\ X(L) & = 0\\ X''(L) & = 0\\ \end{aligned}\]
Nombres d’onde et fréquences propres
Cas libre-libre
\[ \cos\gamma_n L\cosh\gamma_n L = 1 \]
Cas libre-appuyée
\[ \frac{\tanh\gamma_n L}{\tan \gamma_n L} = 1\]
Dynamique de la masse
Le moment d’inertie est nul, cela indique que la rotation n’est pas empêchée, donc le moment en \(x = L\) est nul : \(\Rightarrow X''(L) = 0\).
Soit \(T(x, t)\) l’effort tranchant dans la flèche. On isole la pointe, le PFD donne donc :
\[ m\ddot v(L, t) = -T(L, t) = -EI\frac{\partial^3 v}{\partial x^3}(L, t)\]
On remplace \(\ddot v(L, t) = X(L)\ddot p(t)\) et \(\frac{\partial^3 v}{\partial x^3}(L, t) = X'''(L)p(t)\), et on obtient:
\[ mX(L)\ddot p(t) = -EIX'''(L)p(t) \]
On a \(\ddot p = -\omega^2 p\), donc:
\[ m\omega^2 X(L) = EIX'''(L) \]
On peut remplacer \(EI = \rho S C^2\) et \(\omega^2 = C^2\gamma^4\):
\[ m C^2 \gamma^4 X(L) = \rho S C^2X'''(L) \quad \Leftrightarrow \quad m\gamma^4 X'''(L) = \rho S X(L)\quad\Leftrightarrow\quad X'''(L) = \frac{m}{\rho S L}\gamma^4 L X(L)\]
Limite \(m \gg \rho S L\)
On a \(\frac{m}{\rho S L} \approx 0\), donc \(X'''(L) \approx 0\), ce qui correspond au cas libre.
Limite \(m \ll \rho S L\)
On a \(\frac{\rho SL}{m} \approx 0\), donc \(\gamma^4 L X(L) \approx 0\ \Leftrightarrow\ X(L) \approx 0\), ce qui correspond à une extrémité appuyée.
Équation pour \(\gamma\)
En combinant \(X''(L) = 0\) et \(X'''(L) - \overline{m}\gamma^4 LX(L) = 0\) (avec \(\overline{m} = \frac{m}{\rho S L}\), et en annulant le déterminant du système d’équation linéaire, on doit avoir:
\[\begin{vmatrix} -\cos\gamma L + \cosh\gamma L & -\sin\gamma L + \sinh\gamma L \\ (\sin\gamma L + \sinh\gamma L) - \overline{m}\gamma L(\cos\gamma L + \cosh\gamma L) & (-\cos\gamma L + \cosh\gamma L) - \overline m\gamma L(\sin\gamma L + \sinh\gamma L) \end{vmatrix} = 0\]
13.2 A l’arrivée sur la cible : Vibrations longitudinales
A l’arrivée sur la cible, la flèche est au repos dans son repère propre et la décélération brutale engendre une force d’inertie longitudinale f (x, t) qui s’applique de façon uniforme sur toute la longueur et donne naissance à une onde longitudinale stationnaire régie par l’équation du mouvement forcé suivante : \[\frac {\partial ^2 u}{\partial t^2} - C_L^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =\frac{1}{\rho S} f(x,t) = g(x,t)\] La flèche est considérée encastrée à la pointe et libre à l’empennage.
Les fréquences propres et les modes propres s’écrivent respectivement : \[\omega_n = \gamma_n C_L = (2n+1)\frac{\pi}{2L}\sqrt{\frac{E}{\rho}}\qquad \text{et}\qquad X_n(x) = \cos\left((2n+1)\frac{\pi x}{2L}\right)\]
Et on rappelle l’expression de masses et raideurs modales pour les ondes longitudinales :
\[m_n = \rho S \int_0^L X^2_n(x) dx\qquad\text{et}\qquad k n = −ES\int_0^L X_n(x)X_n''(x) dx\] Par ailleurs, si on considère que la vitesse \(V_o\) de la flèche est constante sur la fin de la trajectoire, sa variation brutale s’exprime simplement : \[\dot u_0 = V_o(1-H(t)) = \begin{cases} V_o\qquad t<0\\0 \qquad t\ge 0 \end{cases})\] et l’accélération : \(\ddot u_0 = -V_0\delta(t)\) En partant de l’équation des ondes forcées, établir l’équation différentielle vérifiée par chaque mode et faisant intervenir \(m_n\) et \(k_n\).
L’équation du mouvement forcé se développe de la façon suivante en faisant appel à la propriété d’orthogonalité des modes \[\sum_n\ddot\phi_n(t)X_n(x)-C_l^2\phi_n(t)X_n''(x) = \frac{V_o\delta(t)}{\rho S}\]
\[\Leftrightarrow\sum_n\ddot\phi_n(t)X_n(x)X_m(x)-C_l^2\phi_n(t)X_n''(x)X_m(x) = X_m(x)\frac{V_o\delta(t)}{\rho S}\]
\[\Leftrightarrow\sum_n\ddot\phi_n(t)\int_0^LX_n(x)X_m(x)dx-C_l^2\phi_n(t)\int_0^LX_n''(x)X_m(x)dx = \frac{V_o\delta(t)}{\rho S}\int_0^LX_m(x)dx\]
\[\Leftrightarrow\ddot\phi_n(t)\int_0^LX_n^2(x)dx-C_l^2\phi_n(t)\int_0^LX_n''(x)X_n(x)dx = \frac{V_o\delta(t)}{\rho S}\int_0^LX_n(x)dx\]
\[\Leftrightarrow \frac{m_n}{\rho S}\ddot\phi_n(t)+C_l^2\frac{k_n}{ES} \phi_n(t)= \frac{V_o\delta(t)}{\rho S}\int_0^LX_n(x)dx\]
\[\Leftrightarrow m_n\ddot\phi_n(t)+k_n \phi_n(t)= \frac{(-1)^n}{2n+1}\frac{2L}{\pi}V_o\delta(t)\]
A l’aide de la transformée de Laplace, déterminer l’expression de la vibration longitudinale \(u(x, t)\) de la flèche heurtant la cible.
On passe dans l’espace de Laplace en considérant que, dans le repère lié à la flèche, les conditions initiales au moment du choc sont nulles en déplacement et en vitesse : \[(m_n s^2 + k_n) \tilde \phi(s) = \frac{(-1)^n}{2n+1}\frac{2L}{\pi}V_o\delta(t)\] \[\Leftrightarrow m_n (s^2 + \omega_n^2)\tilde \phi(s)= −\frac{(-1)^n}{2n+1}\frac{2L}{\pi}V_o\] \[\Leftrightarrow \tilde \phi(s) = −\frac{(-1)^n}{2n+1}\frac{2L}{\pi m_n}\frac{V_o}{s^2 + \omega_n^2}\] Par transformation de Laplace inverse : \[\phi_n (t) = −\frac{(-1)^n}{2n+1}\frac{2L}{\pi m_n}\frac{V_o}{s^2 + \omega_n^2} H(t)\sin \omega_n t\] et finalement la vibration complète est la superposition des contributions de tous les modes. \[u(x,t) = \sum_n\phi_n(t)X_n(x) = -\frac{2LV_o }{\pi} H(t) \sum_n\frac{(-1)^n}{(2n+1)m_n\omega_n}\cos\left((2n+1)\frac{\pi x}{2L}\right)\sin \omega_n t\]
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Au moment du contact avec la cible, la vibration est la superposition des modes libres, chacun intervenant avec une contribution inversement proportionnelle à la fréquence propre associée. Cette contribution décroit avec l’ordre du mode. Les modes d’ordre faible sont prépondérants.
Formulaire: \[f(t) \longleftrightarrow \tilde f(s)\] \[\ddot f(t) \longleftrightarrow s^2 \tilde f(s) − sf(0) − \dot f(0)\] \[\delta(t) \longleftrightarrow 1\] \[\sin(\omega_0 t)H(t) \longleftrightarrow \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}\]