Annexe A — Algèbre utile aux vibrations et ondes

On note ci-dessous quelques résultats fondamentaux d’algèbre linéaire qui sont particulièrement utile à l’analyse des systèmes vibrants linéaires.

Avertissement

Les résultats énoncés ici sont écrit dans un langage informel pour faciliter la compréhension. La lectrice ou lecteur est invité·e à consulter un ouvrage d’algèbre linéaire, par exemple @cairoliAlgebreLineaire2004, disponible en bibliothèque pour plus de détails.

A.1 Systèmes singuliers

Soit $\textbf A \in \mathbb R^{n\times n}$ une matrice carrée réelle. Les propositions suivantes sur $\textbf A$ sont équivalentes (si l’une est vraie elles sont toutes vraies)

$\textbf A$ est inversible
$\textbf Ax = 0$ admet l’unique solution $x = 0$
les colonnes de $\textbf A$ forment une base de $\mathbb R^n$ (et sont donc linéairement indépendantes), et le lignes de $\textbf{A}$ forment aussi une base de $\mathbb R^n$.
$\mathrm{det}(\mathbf A) \neq 0$

On se servira souvent de l’équivalence suivante (issue de la négation des propositions ci-dessus):

\[ \exists x \neq 0\text{ tel que }\textbf Ax = 0\quad \Leftrightarrow\quad \det(\textbf A) = 0 \]

Note

Cette équivalence permet de contraindre $\textbf A$ à être singulière lorsque l’on cherche des solutions non-nulles de $\textbf Ax = 0$.

A.2 Indépendances de vecteurs

Soit $v_i \in V$, $i \in \{1, ..., n\}$ une famille de vecteurs. Les vecteurs $v_i$ sont linéairement indépendants si et seulement si l’équation:

\[ \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i = 0\]

N’est vraie que pour $\lambda_i = 0\ \forall i$.

Astuce

Ce principe s’applique aux vecteurs et aux fonctions. On sait par exemple que $\cos$ et $\sin$ sont des fonctions linéairement indépendantes. Si l’équation \[ A\sin(t) + B\cos(t) = 0\quad \forall t, \] est vraie, alors nécessairement: \[ \left\{ \begin{aligned} A & = 0\\ B & = 0 \end{aligned} \right. \]

A.3 Définitions autour du produit scalaire

Soit $u, v \in V$ où $V$ est un espace vectoriel. On défini le produit scalaire comme $\langle u, v \rangle \in \mathbb R$.

Une matrice carrée $\mathbf A$ est définie positive si et seulement si

\[ \langle v, \mathbf Av \rangle > 0,\quad \forall v \in V\]

Une matrice carrée $\mathbf A$ est non-négative si et seulement si

\[ \langle v, \mathbf Av \rangle \geq 0,\quad \forall v \in V\]

Une matrice carrée $\mathbf A$ est symétrique si et seulement si

\[ \langle u, \mathbf Av \rangle = \langle v, \mathbf Au \rangle,\quad \forall u,v \in V\]

A.4 Résultats utiles de diagonalisation

Une matrice carrée réelle $\textbf A$ symmétrique est diagonalisable, c’est-à-dire que

\[ \exists \lambda, v\text{ tels que } \mathbf Av = \lambda v\]

et les propositions suivantes sont vraies:

les valeurs propres $\lambda_i$ de $\mathbf A$ sont réelles
les vecteurs propres $v_i$ de $\mathbf A$ forment une base et sont orthogonaux entre eux par rapport à $\mathbf A$, c’est-à-dire:

\[ \langle v_j, \mathbf A v_i \rangle = 0\quad \forall i\neq j\]

A.4.1 Problème de valeurs propres généralisé

Les résultats ci-dessus s’appliquent également au problème de valeurs propres généralisé, qui est la recherche de $\lambda, v$ tels que

\[ \mathbf Av = \lambda \mathbf Bv \]

où $\mathbf A$ et $\mathbf B$ sont des matrices carrée réelles et symétriques. Les vecteurs propres $v_i$ sont alors orthogonaux par rapport à $\mathbf A$ et $\mathbf B$ simultanément:

\[ \langle v_j , \mathbf A v_i \rangle = \langle v_j, \mathbf B v_i \rangle = 0\quad \forall i \neq j \]

On note $\mathbf V$ la matrice formée par colonnes des vecteurs $v_i$, $i = 1, \ldots n$, on a pour conséquence de l’orthogonalité que

\[ \mathbf V^T \mathbf A \mathbf V\text{ est diagonale et } \mathbf V^T \mathbf B \mathbf V\text{ est diagonale} \]

$\mathbf V$ est une matrice de changement de base. Rappelons que si $v$ est un vecteur propre, alors $\alpha v$ est également un vecteur propre pour $\alpha \in \mathbb R$. On peut alors choisir des vecteurs propres spécifiques $\tilde v_i$ tels que:

\[\left\{\begin{aligned} \langle \tilde v_i, \mathbf A \tilde v_i \rangle & = \lambda_i\\ \langle \tilde v_i, \mathbf B \tilde v_i \rangle & = 1 \end{aligned}\right. \text{ ou } \left\{ \begin{aligned} \tilde{\mathbf V}^T \mathbf A \tilde{\mathbf V} & = \mathbf \Lambda\\ \tilde{\mathbf V}^T \mathbf B \tilde{\mathbf V} & = \mathbf I \end{aligned}\right. \]

où $\mathbf \Lambda$ est une matrice diagonale contentant les valeurs propres (et $\mathbf I$ est l’identité).

Si de plus les matrices $\mathbf A$ et $\mathbf B$ sont non-négatives (ou définies positives), alors les toutes les valeurs propres sont non-négatives car:

\[ \lambda_i = \frac{\langle v_i, \mathbf A v_i\rangle}{\langle v_i, \mathbf B v_i\rangle} \geq 0 \qquad\text{car}\qquad \langle v, \mathbf A v\rangle \geq 0,\ \langle v, \mathbf B v\rangle \geq 0\quad \forall v \]

Note A.1: Preuve informelle de l’orthogonalité

On note $(\lambda_i, v_i)$ et $(\lambda_j, v_j)$ deux couples valeurs-propre & vecteur-propre, $\lambda_i \neq \lambda_j$ (ce qui implique $i\neq j$). On a donc les deux équations suivantes:

\[\left\{ \begin{aligned} \mathbf Av_i & = \lambda_i \mathbf B v_i\\ \mathbf Av_j & = \lambda_j \mathbf B v_j \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} \langle v_j, \mathbf Av_i \rangle & = \langle v_j, \lambda_i \mathbf B v_i \rangle = \lambda_i \langle v_j, \mathbf B v_i \rangle\\ \langle v_i, \mathbf Av_j \rangle & = \langle v_i, \lambda_j \mathbf B v_j \rangle = \lambda_j \langle v_i, \mathbf B v_j \rangle \end{aligned} \right. \]

En prenant la différence de ces deux équations, on obtient l’identité suivante:

\[ \langle v_j, \mathbf Av_i \rangle - \langle v_i, \mathbf Av_j \rangle = \lambda_i\langle v_j, \mathbf Bv_i \rangle - \lambda_j\langle v_i, \mathbf Bv_j \rangle \]

Puisque $\mathbf A$ est symmétrique, le terme à gauche de l’équation est nul et on peut factoriser le terme à droite de l’équation, ce qui donne:

\[ (\lambda_i - \lambda_j) \langle v_j, \mathbf B v_i \rangle = 0 \]

Par hypothèse $\lambda_i - \lambda_j \neq 0$, on a donc $v_i$ et $v_j$ orthogonaux par rapport à $\mathbf B$, soit $\langle v_j, \mathbf B v_i \rangle = 0$. On peut reprendre l’une des deux équations ci-dessus pour montrer que les deux vecteurs propres sont aussi orthogonaux par rapport à $\mathbf A$.

A.5 Généralisation aux fonctions

Les résultats ci-dessus sont valides pour des espaces vectoriels à dimension finie ($\mathrm{dim} V = n$), mais sont généralisables pour des espaces vectoriels à dimension infinie. Le cas qui nous intéresse est celui des fonctions réelles intégrables $V_\Omega = \{ f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R\text{ telle que } \int_\Omega |f|^2\,\mathrm dx < \infty \}$. En définissant le produit scalaire de deux fonctions:

\[\langle f, g \rangle = \int_\Omega f(x)g(x)\,\mathrm dx,\]

on peut directement appliquer les résultats de diagonalisation ci-dessus à des applications linéaires $\mathbf A: V_\Omega \rightarrow V_\Omega$ et $\mathbf B: V_\Omega \rightarrow V_\Omega$.

Exemple

Par exemple, soit $\rho(x)$ une fonction strictement positive de $x \in \Omega$. On peut définir l’application linéaire $\mathbf A: f \mapsto \rho f$ (on multiplie $f$ par $\rho$ en tout point de $\Omega$). On peut aussi définir l’application linéaire $\mathbf B: f\mapsto -\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ (l’opposée de la dérivée seconde). Une fois les applications définies, on pourra diagonaliser le système $(\mathbf A, \mathbf B)$ en cherchant les valeurs propres $\lambda$ et les vecteurs propres $v \in V_\Omega$ (qui sont des fonctions membres d’un espace vectoriel) tels que:

\[ \mathbf Av = \lambda \mathbf Bv\]

On verra l’application concrète de cette généralisation dans le cadre de la vibration de systèmes continus.

# Algèbre utile aux vibrations et ondes On note ci-dessous quelques résultats fondamentaux d'algèbre linéaire qui sont particulièrement utile à l'analyse des systèmes vibrants linéaires. :::{.callout-warning} Les résultats énoncés ici sont écrit dans un langage informel pour faciliter la compréhension. La lectrice ou lecteur est invité·e à consulter un ouvrage d'algèbre linéaire, par exemple @cairoliAlgebreLineaire2004, disponible en [bibliothèque](https://sorbonne-universite.primo.exlibrisgroup.com/permalink/33BSU_INST/nchfeo/alma991000011339806616) pour plus de détails. ::: ## Systèmes singuliers Soit $\textbf A \in \mathbb R^{n\times n}$ une matrice carrée réelle. Les propositions suivantes sur $\textbf A$ sont équivalentes (si l'une est vraie elles sont toutes vraies) - $\textbf A$ est inversible - $\textbf Ax = 0$ admet l'unique solution $x = 0$ - les colonnes de $\textbf A$ forment une base de $\mathbb R^n$ (et sont donc linéairement indépendantes), et le lignes de $\textbf{A}$ forment aussi une base de $\mathbb R^n$. - $\mathrm{det}(\mathbf A) \neq 0$ On se servira souvent de l'équivalence suivante (issue de la négation des propositions ci-dessus): $$ \exists x \neq 0\text{ tel que }\textbf Ax = 0\quad \Leftrightarrow\quad \det(\textbf A) = 0 $$ :::{.callout-note} Cette équivalence permet de contraindre $\textbf A$ à être singulière lorsque l'on cherche des solutions non-nulles de $\textbf Ax = 0$. ::: ## Indépendances de vecteurs Soit $v_i \in V$, $i \in \{1, ..., n\}$ une famille de vecteurs. Les vecteurs $v_i$ sont linéairement indépendants si et seulement si l'équation: $$ \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i = 0$$ N'est vraie que pour $\lambda_i = 0\ \forall i$. :::{.callout-tip} Ce principe s'applique aux vecteurs **et** aux fonctions. On sait par exemple que $\cos$ et $\sin$ sont des fonctions linéairement indépendantes. Si l'équation $$ A\sin(t) + B\cos(t) = 0\quad \forall t, $$ est vraie, alors nécessairement: $$ \left\{ \begin{aligned} A & = 0\\ B & = 0 \end{aligned} \right. $$ ::: ## Définitions autour du produit scalaire Soit $u, v \in V$ où $V$ est un espace vectoriel. On défini le produit scalaire comme $\langle u, v \rangle \in \mathbb R$. Une matrice carrée $\mathbf A$ est définie positive si et seulement si $$ \langle v, \mathbf Av \rangle > 0,\quad \forall v \in V$$ Une matrice carrée $\mathbf A$ est non-négative si et seulement si $$ \langle v, \mathbf Av \rangle \geq 0,\quad \forall v \in V$$ Une matrice carrée $\mathbf A$ est symétrique si et seulement si $$ \langle u, \mathbf Av \rangle = \langle v, \mathbf Au \rangle,\quad \forall u,v \in V$$ ## Résultats utiles de diagonalisation Une matrice carrée réelle $\textbf A$ symmétrique est diagonalisable, c'est-à-dire que $$ \exists \lambda, v\text{ tels que } \mathbf Av = \lambda v$$ et les propositions suivantes sont vraies: - les valeurs propres $\lambda_i$ de $\mathbf A$ sont réelles - les vecteurs propres $v_i$ de $\mathbf A$ forment une base et sont orthogonaux entre eux par rapport à $\mathbf A$, c'est-à-dire: $$ \langle v_j, \mathbf A v_i \rangle = 0\quad \forall i\neq j$$ ### Problème de valeurs propres généralisé Les résultats ci-dessus s'appliquent également au problème de valeurs propres généralisé, qui est la recherche de $\lambda, v$ tels que $$ \mathbf Av = \lambda \mathbf Bv $$ où $\mathbf A$ et $\mathbf B$ sont des matrices carrée réelles et symétriques. Les vecteurs propres $v_i$ sont alors orthogonaux par rapport à $\mathbf A$ et $\mathbf B$ simultanément: $$ \langle v_j , \mathbf A v_i \rangle = \langle v_j, \mathbf B v_i \rangle = 0\quad \forall i \neq j $$ On note $\mathbf V$ la matrice formée par colonnes des vecteurs $v_i$, $i = 1, \ldots n$, on a pour conséquence de l'orthogonalité que $$ \mathbf V^T \mathbf A \mathbf V\text{ est diagonale et } \mathbf V^T \mathbf B \mathbf V\text{ est diagonale} $$ $\mathbf V$ est une matrice de changement de base. Rappelons que si $v$ est un vecteur propre, alors $\alpha v$ est également un vecteur propre pour $\alpha \in \mathbb R$. On peut alors choisir des vecteurs propres spécifiques $\tilde v_i$ tels que: $$\left\{\begin{aligned} \langle \tilde v_i, \mathbf A \tilde v_i \rangle & = \lambda_i\\ \langle \tilde v_i, \mathbf B \tilde v_i \rangle & = 1 \end{aligned}\right. \text{ ou } \left\{ \begin{aligned} \tilde{\mathbf V}^T \mathbf A \tilde{\mathbf V} & = \mathbf \Lambda\\ \tilde{\mathbf V}^T \mathbf B \tilde{\mathbf V} & = \mathbf I \end{aligned}\right. $$ où $\mathbf \Lambda$ est une matrice diagonale contentant les valeurs propres (et $\mathbf I$ est l'identité). Si de plus les matrices $\mathbf A$ et $\mathbf B$ sont non-négatives (ou définies positives), alors les toutes les valeurs propres sont non-négatives car: $$ \lambda_i = \frac{\langle v_i, \mathbf A v_i\rangle}{\langle v_i, \mathbf B v_i\rangle} \geq 0 \qquad\text{car}\qquad \langle v, \mathbf A v\rangle \geq 0,\ \langle v, \mathbf B v\rangle \geq 0\quad \forall v $$ :::{#nte-ortho .callout-note title="Preuve informelle de l'orthogonalité" collapse=true} On note $(\lambda_i, v_i)$ et $(\lambda_j, v_j)$ deux couples valeurs-propre & vecteur-propre, $\lambda_i \neq \lambda_j$ (ce qui implique $i\neq j$). On a donc les deux équations suivantes: $$\left\{ \begin{aligned} \mathbf Av_i & = \lambda_i \mathbf B v_i\\ \mathbf Av_j & = \lambda_j \mathbf B v_j \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} \langle v_j, \mathbf Av_i \rangle & = \langle v_j, \lambda_i \mathbf B v_i \rangle = \lambda_i \langle v_j, \mathbf B v_i \rangle\\ \langle v_i, \mathbf Av_j \rangle & = \langle v_i, \lambda_j \mathbf B v_j \rangle = \lambda_j \langle v_i, \mathbf B v_j \rangle \end{aligned} \right. $$ En prenant la différence de ces deux équations, on obtient l'identité suivante: $$ \langle v_j, \mathbf Av_i \rangle - \langle v_i, \mathbf Av_j \rangle = \lambda_i\langle v_j, \mathbf Bv_i \rangle - \lambda_j\langle v_i, \mathbf Bv_j \rangle $$ Puisque $\mathbf A$ est symmétrique, le terme à gauche de l'équation est nul et on peut factoriser le terme à droite de l'équation, ce qui donne: $$ (\lambda_i - \lambda_j) \langle v_j, \mathbf B v_i \rangle = 0 $$ Par hypothèse $\lambda_i - \lambda_j \neq 0$, on a donc $v_i$ et $v_j$ orthogonaux par rapport à $\mathbf B$, soit $\langle v_j, \mathbf B v_i \rangle = 0$. On peut reprendre l'une des deux équations ci-dessus pour montrer que les deux vecteurs propres sont aussi orthogonaux par rapport à $\mathbf A$. ::: ## Généralisation aux fonctions Les résultats ci-dessus sont valides pour des espaces vectoriels à dimension finie ($\mathrm{dim} V = n$), mais sont généralisables pour des espaces vectoriels à dimension infinie. Le cas qui nous intéresse est celui des fonctions réelles intégrables $V_\Omega = \{ f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R\text{ telle que } \int_\Omega |f|^2\,\mathrm dx < \infty \}$. En définissant le produit scalaire de deux fonctions: $$\langle f, g \rangle = \int_\Omega f(x)g(x)\,\mathrm dx,$$ on peut directement appliquer les résultats de diagonalisation ci-dessus à des applications linéaires $\mathbf A: V_\Omega \rightarrow V_\Omega$ et $\mathbf B: V_\Omega \rightarrow V_\Omega$. :::{.callout-note title="Exemple"} Par exemple, soit $\rho(x)$ une fonction strictement positive de $x \in \Omega$. On peut définir l'application linéaire $\mathbf A: f \mapsto \rho f$ (on multiplie $f$ par $\rho$ en tout point de $\Omega$). On peut aussi définir l'application linéaire $\mathbf B: f\mapsto -\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ (l'opposée de la dérivée seconde). Une fois les applications définies, on pourra diagonaliser le système $(\mathbf A, \mathbf B)$ en cherchant les valeurs propres $\lambda$ et les vecteurs propres $v \in V_\Omega$ (qui sont des fonctions membres d'un espace vectoriel) tels que: $$ \mathbf Av = \lambda \mathbf Bv$$ On verra l'application concrète de cette généralisation dans le cadre de la vibration de systèmes continus. :::