5 Modèles à 1 DDL

Chariot attaché à deux ressorts et un amortisseur

Pendule attaché à un ressort et un amortisseur

Poutre rigide attachée à un ressort et un amortisseur

Masse ponctuelle posée sur une poutre élastique

5.1 Mise en équation

Pour les systèmes à un degré de liberté de A à D ci-dessus, on souhaite établir l’équation de la dynamique. Pour cela, on va utiliser l’approche énergétique Lagrangienne. Il faut donc:

Introduire une paramétrisation du mouvement des masses (translation, rotation). On notera ce degré de liberté généralisé $x(t)$.
Calculer l’énergie cinétique totale $T(\dot{x})$.
Calculer l’énergie potentielle totale $U(x)$.
Calculer le travail virtuel (ou puissance virtuelle) des efforts externes et/ou dissipatifs $\delta W = \sum \delta W_\mathrm{ex/d} = Q\delta x$ ou $\delta x$ est un déplacement (ou une rotation) virtuel. $Q$ est un effort externe généralisé que l’on déduit du travail virtuel.
Poser l’équation d’Euler-Lagrange avec le Lagrangien $\mathcal{L} = T - U$:

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x}\right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial x} = Q \]

Note

On supposera la force dissipative proportionnelle à la vitesse.

Notes sur B

Le disque du pendule n’est pas une masse ponctuelle, et a un moment d’inertie noté $I$. On suppose la rotation du pendule suffisamment petite pour l’approximation des petits angles.

On pourra chercher à établir un nombre sans dimension qui quantifie l’influence de la gravité sur la vibration par rapport à la raideur du ressort $k$.

Notes sur C

On suppose la poutre rigide et la rotation suffisamment petite pour l’approximation des petits angles. On note $\rho$ la masse volumique et $A$ l’aire de sa section.

La sollicitation externe $p(x, t)$ est une force linéique, ou force répartie, de dimension $\mathrm{Force} / \mathrm{Longueur}$, et s’exprime comme:

\[ p(x, t) = p(t)\frac{x}{\ell} \]

On pourra essayer deux paramétrisations différentes, par exemple la rotation de la barre et le déplacement de l’extrémité de la barre, et vérifier que la pulsation propre du système est indépendante de la paramétrisation.

Notes sur D

Pour le système D, on suppose un déplacement vertical de la poutre de la forme:

\[ u(x, t) = A(t)\sin\left(\frac{\pi x}{\ell}\right) \]

La fonction $A(t)$ est donc le degré de liberté du système. Selon le modèle d’Euler-Bernoulli, l’énergie potentielle de déformation d’une poutre s’écrit:

\[ U = \int_0^\ell EI\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)^2\,\mathrm dx, \]

Où $E$ est le module d’Young et $I$ le moment quadratique de la section de la poutre (que l’on suppose constants le long de la poutre). On suppose que la masse de la poutre est négligeable devant $m$ et que la masse $m$ reste tout le temps au contact de la poutre (pas de décollement).

5.2 Solutions

Système A

Soit $x$ le déplacement de la masse $m$ par rapport à sa position d’équilibre. On suppose que $x$, $\dot x$, $\ddot x$ sont positifs vers la droite. La seule contribution d’inertie quand $x$ varie est la masse $m$, on a donc:

\[ T(\dot x) = \frac{1}{2} m\dot x^2\]

On a deux contributions d’énergie potentielles, les ressorts $k_1$ et $k_2$. Quand $x$ varie les deux ressorts se déplacent de la même distance $x$. Leur contribution à l’énergie potentielle est alors:

\[ U(x) = \frac{1}{2} k_1x^2 + \frac{1}{2}k_2 x^2 = \frac{1}{2}(k_1 + k_2)x^2\]

On remarque que dans cette configuration le système 2 ressorts est équivalent à un seul ressort de raideur $k_\mathrm{eq} = k_1 + k_2$, comme si les ressorts étaient installés en parallèle.

On a une force externe $F(t)$ et une force dissipative visqueuse $f_\mathrm d = -\eta \dot x$ (ce genre de force agit toujours dans la direction opposée au mouvement, d’où le signe négatif). Si l’on soumet la masse à un déplacement virtuel $\delta x$ dans le sens positif (le même sens que $x$ et $\dot x$), le travail total des deux forces s’exprime:

\[ \delta W = F(t)\delta x + f_\mathrm d\delta x = F(t) \delta x - \eta \dot x\delta x = (F(t) - \eta \dot x)\delta x,\]

d’où $Q = F(t) - \eta \dot x$. On peut alors établir l’équation de la dynamique avec Euler-Lagrange:

\[\begin{align*} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x}\right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial x} & = Q \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (m\dot x) + (k_1 + k_2)x & = F(t) - \eta \dot x\\ m\ddot x + \eta \dot x + (k_1 + k_2) x & = F(t) \end{align*}\]

Travaux virtuels pour le système A

Système B

Soit $\theta$ la rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre. On suppose que $\theta$, $\dot \theta$, $\ddot \theta$ sont positifs dans le sens trigonométrique. On a deux contributions d’inertie quand $\theta$ varie: 1) le disque de masse $m$ en translation, 2) le disque d’inertie I en rotation sur lui-même.

Petits angles, le déplacement linéique $x$ de la masse s’exprime en fonction de $\theta$ comme \[ x = \theta \ell,\] On a donc une contribution à l’énergie cinétique de $\frac{1}{2}m(\dot \theta\ell)^2$
Quand le pendule tourne de $\theta$, le disque tourne sur lui-même avec un angle de $\theta$. La contribution à l’énergie cinétique est donc $\frac{1}{2}I\dot\theta^2$

L’énergie cinétique est donc:

\[ T(\dot \theta) = \frac{1}{2}(m\ell^2 + I)\dot \theta^2 \]

Note

On reconnaît le théorème de Steiner¹ pour l’inertie de rotation par rapport à un point qui n’est pas le centre de masse. On aurait très bien pu considérer une contribution unique d’inertie: le disque de masse $m$ et d’inertie $I$ (par rapport à son centre de masse) en rotation autour du point d’ancrage situé à une distance $\ell$ du centre de masse. En calculant l’inertie par rapport au point de rotation $I_c = m\ell^2 + I$, on a la bonne énergie cinétique.

On a ici deux contribution à l’énergie potentielle: 1) la gravité, 2) le ressort $k$. On analyse d’abord la gravité:

Quand $\theta$ varie, la masse monte d’une distance de $\ell (1 - \cos\theta)$. La contribution à l’énergie potentielle est donc de $mg\ell(1 - \cos \theta)$. On note:

Cette contribution n’est pas linéaire en $\theta$ et n’est donc pas une charge morte qui peut être ignorée : le poids tend à ramener le pendule vers sa position d’équilibre.
Sous l’hypothèse des petits angles, une approximation de $\cos \theta$ à l’ordre 0 ($\cos\theta \approx 1$) supprime complètement l’effet de la gravité (la contribution d’énergie potentielle est constante par rapport à $\theta$). Il faut donc une approximation qui conserve la dépendance en $\theta$, c’est-à-dire $\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$.

Le ressort $k$ subit un déplacement de $\sin(\theta) \frac{\ell}{2} \approx \theta \frac{\ell}{2}$. On peut donc écrire l’énergie potentielle totale:

\[\begin{align*} U(\theta) & = \frac{1}{2}k\left(\frac{\theta\ell}{2}\right)^2 + mg\ell\left(1 - \left(1 - \frac{\theta^2}{2}\right)\right)\\ & = \frac{1}{2}\left(\frac{k\ell^2}{4} + mg\ell\right)\theta^2 \end{align*}\]

On voit apparaître les deux contributions à la raideur totale du système. Le ratio de ces deux contributions donne un nombre sans dimension $\bar K = \frac{4mg}{k\ell}$. Si $\bar K$ est petit on peut négliger la gravité, à contrario si $\bar K$ est grand on peut négliger le ressort.

La seule force dissipative est celle de l’amortisseur linéaire $f_\mathrm d$. La vitesse de déplacement de l’amortisseur est $\dot \theta \frac{\ell}{2}$, donc $f_\mathrm d = -\eta \dot x$. Si l’on applique une rotation virtuelle $\delta \theta$ au pendule, le déplacement virtuel de l’amortisseur est $\frac{\ell}{2}\delta \theta$. Le travail virtuel est alors:

\[ \delta W = f_\mathrm d\cdot \frac{\ell}{2}\delta \theta = -\eta \dot \theta\frac{\ell}{2}\cdot \frac{\ell}{2}\delta \theta = -\frac{\eta \ell^2}{4}\dot\theta \delta\theta. \]

On en déduit que l’effort généralisé est $Q = -\frac{\eta \ell^2}{4}\dot \theta$. En applicant l’équation d’Euler-Lagrange, on trouve:

\[ (m\ell^2 + I)\ddot \theta + \frac{\eta \ell^2}{4}\dot \theta + \left(\frac{k\ell^2}{4} + mg\ell\right)\theta = 0\]

Travaux virtuels pour le système B

Système C

On note $\theta$ la rotation de la barre ($\theta$, $\dot \theta$ et $\ddot \theta$ positifs dans le sens trigonométrique). Puisque la barre est en rotation autour de l’appui, on doit calculer son moment d’inertie par rapport à ce dernier. La barre étant continue, on a:

\[ I = \int_A \int_0^\ell x^2\rho\,\mathrm dx\,\mathrm dA = A\int_0^\ell \rho x^2\,\mathrm dx = \frac{\rho A\ell^3}{3} = \frac{m\ell^2}{3},\]

où $m = \rho A\ell$ est la masse de la barre. L’énergie cinétique est donc:

\[ T(\dot \theta) = \frac{1}{2}\frac{m\ell^2}{3}\dot \theta^2 \]

Seul le ressort $k$ contribue à l’énergie potentielle. Quand $\theta$ varie, le déplacement (petite rotation) est $\theta \frac{2\ell}{3}$. L’énergie potentielle est donc:

\[ U(\theta) = \frac{1}{2}k\left(\frac{2\theta \ell}{3}\right)^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{4k\ell^2}{9}\right)\theta^2 \]

La partie difficile de cet exercice est le calcul des efforts généralisés. Le travail virtuel sur une rotation $\delta \theta$ de la force dans l’amortisseur se calcule de manière similaire au système B.

La vitesse de déplacement de l’amortisseur est $\dot \theta \frac{\ell}{3}$, et le déplacement virtuel est $\delta \theta \frac{\ell}{3}$. Le travail virtuel de la force d’amortissement est donc:

\[ \delta W_\mathrm d = f_\mathrm d\cdot \delta \theta \frac{\ell}{3} = -\eta \dot \theta \frac{\ell}{3} \cdot \delta \theta \frac{\ell}{3} = -\frac{\eta \ell^2}{9}\dot \theta \delta \theta \]

Pour calculer le travail de $p(x, t) = p(t)\frac{x}{\ell}$, on regarde d’abord le travail pour un point $x$ de la poutre. Le déplacement vertical du point $x$ pour un rotation de $\delta \theta$ est de $x\delta \theta$, et est orienté vers le haut pour $\delta \theta$ positif. Comme la force répartie agit vers le bas, le travail est négatif et vaut $-p(t)\frac{x}{\ell}\cdot x\delta \theta$. Pour calculer le travail total, on intègre cette expression le long de la poutre.

\[ \delta W_p = -\int_0^\ell p(t)\frac{x^2}\ell\delta \theta\,\mathrm dx = -\frac{\ell^2}{3}p(t)\delta \theta \]

On en déduit l’effort externe généralisé:

\[ Q = -\frac{\eta \ell^2}{9}\dot \theta - \frac{\ell^2}{3}p(t) \]

En posant l’équation d’Euler-Lagrange, on obtient:

\[ \frac{m\ell^2}{3}\ddot \theta + \frac{\eta \ell^2}{9}\dot \theta + \frac{4k\ell^2}{9}\theta = -\frac{\ell^2}{3}p(t) \]

Travaux virtuels pour le système C

Système D

Puisqu’on suppose la forme de la vibration de la poutre (ce que l’on apprendra à faire dans la partie “systèmes continus” du cours), on a un seul degré de liberté $A$ (positif vers le haut), qui est l’amplitude du déplacement de la poutre:

\[ u(x, t) = A(t)\sin\left(\frac{\pi x}{\ell}\right) \]

On néglige l’inertie de la poutre (petite par rapport à la masse $m$). On n’a donc qu’une contribution à l’énergie cinétique. Puisque la masse reste collée à la poutre, son déplacement est $u(\ell/2, t) = A(t)$. L’énergie cinétique est donc:

\[ T(\dot A) = \frac{1}{2} m\dot A^2 \]

La seule contribution d’énergie potentielle est la flexion de la poutre. On donne ici l’expression de l’énergie potentielle en fonction de $u$:

\[\begin{align*} U(A) & = \int_0^\ell EI\left(-\frac{\pi^2 A}{\ell^2}\sin\left(\frac{\pi x}{\ell}\right)\right)^2\,\mathrm dx\\ & = \frac{\pi^4}{\ell^4}EIA^2\int_0^\ell\sin^2\left(\frac{\pi x}{\ell}\right)\,\mathrm dx\\ & = \frac{\pi^4}{\ell^4}EIA^2\cdot \frac{1}{2}\int_0^\ell\left(1 - \cos\left(\frac{2\pi x}{\ell}\right)\right)\,\mathrm dx\\ & = \frac{1}{2} \frac{\pi^4EI}{\ell^3}A^2 \end{align*}\]

On peut vérifier l’homogénéité de cette énergie en vérifiant que $EI / \ell^3$ est bien homogène à une raideur ($\mathrm{Force} / \mathrm{Longueur}$)².

Pour calculer le travail de $F(t)$ sur un déplacement virtuel $\delta A$, on note que le point d’application de $F(t)$ se déplace verticalement (vers le haut) de $\delta A\sin(\pi / 3) = \sqrt{3}\delta A / 2$. Puisque $F(t)$ agit vers le bas, le travail est:

\[ \delta W = -F(t)\frac{\sqrt{3}}{2}\delta A, \]

d’où l’on déduit $Q = -\frac{\sqrt{3}}{2}F(t)$, et l’équation du mouvement s’établit aisément:

\[ m\ddot A + \frac{\pi^4 EI}{\ell^3} A = -\frac{\sqrt{3}}{2}F(t) \]

Travaux virtuels pour le système D

Aussi connu sous le nom de théorème des axes parallèles, théorème de transport, théorème de Huygens-Steiner, c.f. wikipedia.↩︎
Rappel: $E$ est homogène à une pression et $I$ à $\mathrm{Longueur}^4$↩︎

# Modèles à 1 DDL ![Chariot attaché à deux ressorts et un amortisseur](figs/1DDL_A.svg){width=60%} ![Pendule attaché à un ressort et un amortisseur](figs/1DDL_B.svg){width=60%} ![Poutre rigide attachée à un ressort et un amortisseur](figs/1DDL_C.svg){width=60%} ![Masse ponctuelle posée sur une poutre élastique](figs/1DDL_D.svg){width=60%} ## Mise en équation Pour les systèmes à un degré de liberté de A à D ci-dessus, on souhaite établir l'équation de la dynamique. Pour cela, on va utiliser l'approche énergétique Lagrangienne. Il faut donc: 1. Introduire une paramétrisation du mouvement des masses (translation, rotation). On notera ce degré de liberté généralisé $x(t)$. 2. Calculer l'énergie cinétique totale $T(\dot{x})$. 3. Calculer l'énergie potentielle totale $U(x)$. 4. Calculer le travail virtuel (ou puissance virtuelle) des efforts externes et/ou dissipatifs $\delta W = \sum \delta W_\mathrm{ex/d} = Q\delta x$ ou $\delta x$ est un déplacement (ou une rotation) virtuel. $Q$ est un effort externe généralisé que l'on déduit du travail virtuel. 5. Poser l'équation d'Euler-Lagrange avec le Lagrangien $\mathcal{L} = T - U$: $$ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x}\right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial x} = Q $$ ::: {.callout-note} On supposera la force dissipative proportionnelle à la vitesse. ::: ::: {.callout-note title="Notes sur B"} Le disque du pendule n'est pas une masse ponctuelle, et a un moment d'inertie noté $I$. On suppose la rotation du pendule suffisamment petite pour l'approximation des petits angles. On pourra chercher à établir un nombre sans dimension qui quantifie l'influence de la gravité sur la vibration par rapport à la raideur du ressort $k$. ::: ::: {.callout-note title="Notes sur C"} On suppose la poutre rigide et la rotation suffisamment petite pour l'approximation des petits angles. On note $\rho$ la masse volumique et $A$ l'aire de sa section. La sollicitation externe $p(x, t)$ est une force linéique, ou force répartie, de dimension $\mathrm{Force} / \mathrm{Longueur}$, et s'exprime comme: $$ p(x, t) = p(t)\frac{x}{\ell} $$ On pourra essayer deux paramétrisations différentes, par exemple la rotation de la barre et le déplacement de l'extrémité de la barre, et vérifier que la pulsation propre du système est indépendante de la paramétrisation. ::: ::: {.callout-note title="Notes sur D"} Pour le système D, on suppose un déplacement vertical de la poutre de la forme: $$ u(x, t) = A(t)\sin\left(\frac{\pi x}{\ell}\right) $$ La fonction $A(t)$ est donc le degré de liberté du système. Selon le modèle d'Euler-Bernoulli, l'énergie potentielle de déformation d'une poutre s'écrit: $$ U = \int_0^\ell EI\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)^2\,\mathrm dx, $$ Où $E$ est le module d'Young et $I$ le moment quadratique de la section de la poutre (que l'on suppose constants le long de la poutre). On suppose que la masse de la poutre est négligeable devant $m$ et que la masse $m$ reste tout le temps au contact de la poutre (pas de décollement). ::: ## Solutions ::: {.callout-tip title="Système A" collapse=true} Soit $x$ le déplacement de la masse $m$ par rapport à sa position d'équilibre. On suppose que $x$, $\dot x$, $\ddot x$ sont positifs vers la droite. La seule contribution d'inertie quand $x$ varie est la masse $m$, on a donc: $$ T(\dot x) = \frac{1}{2} m\dot x^2$$ On a deux contributions d'énergie potentielles, les ressorts $k_1$ et $k_2$. Quand $x$ varie les deux ressorts se déplacent de la même distance $x$. Leur contribution à l'énergie potentielle est alors: $$ U(x) = \frac{1}{2} k_1x^2 + \frac{1}{2}k_2 x^2 = \frac{1}{2}(k_1 + k_2)x^2$$ On remarque que dans cette configuration le système 2 ressorts est équivalent à un seul ressort de raideur $k_\mathrm{eq} = k_1 + k_2$, comme si les ressorts étaient installés en parallèle. ![Travaux virtuels pour le système A](figs/1DDL_A_TV.svg) On a une force externe $F(t)$ et une force dissipative visqueuse $f_\mathrm d = -\eta \dot x$ (ce genre de force agit toujours dans la direction opposée au mouvement, d'où le signe négatif). Si l'on soumet la masse à un déplacement virtuel $\delta x$ dans le sens positif (le même sens que $x$ et $\dot x$), le travail total des deux forces s'exprime: $$ \delta W = F(t)\delta x + f_\mathrm d\delta x = F(t) \delta x - \eta \dot x\delta x = (F(t) - \eta \dot x)\delta x,$$ d'où $Q = F(t) - \eta \dot x$. On peut alors établir l'équation de la dynamique avec Euler-Lagrange: \begin{align*} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x}\right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial x} & = Q \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (m\dot x) + (k_1 + k_2)x & = F(t) - \eta \dot x\\ m\ddot x + \eta \dot x + (k_1 + k_2) x & = F(t) \end{align*} ::: ::: {.callout-tip title="Système B" collapse=true} Soit $\theta$ la rotation du pendule par rapport à sa position d'équilibre. On suppose que $\theta$, $\dot \theta$, $\ddot \theta$ sont positifs dans le sens trigonométrique. On a deux contributions d'inertie quand $\theta$ varie: 1) le disque de masse $m$ en translation, 2) le disque d'inertie I en rotation sur lui-même. 1) Petits angles, le déplacement linéique $x$ de la masse s'exprime en fonction de $\theta$ comme $$ x = \theta \ell,$$ On a donc une contribution à l'énergie cinétique de $\frac{1}{2}m(\dot \theta\ell)^2$ 2) Quand le pendule tourne de $\theta$, le disque tourne sur lui-même avec un angle de $\theta$. La contribution à l'énergie cinétique est donc $\frac{1}{2}I\dot\theta^2$ L'énergie cinétique est donc: $$ T(\dot \theta) = \frac{1}{2}(m\ell^2 + I)\dot \theta^2 $$ ::: {.callout-note} On reconnaît le théorème de Steiner[^1] pour l'inertie de rotation par rapport à un point qui n'est pas le centre de masse. On aurait très bien pu considérer une contribution unique d'inertie: le disque de masse $m$ et d'inertie $I$ (par rapport à son centre de masse) en rotation autour du point d'ancrage situé à une distance $\ell$ du centre de masse. En calculant l'inertie par rapport au point de rotation $I_c = m\ell^2 + I$, on a la bonne énergie cinétique. [^1]: Aussi connu sous le nom de théorème des axes parallèles, théorème de transport, théorème de Huygens-Steiner, c.f. [wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_d%27inertie#Th%C3%A9or%C3%A8me_de_transport_(ou_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Huygens-Steiner)). ::: On a ici deux contribution à l'énergie potentielle: 1) la gravité, 2) le ressort $k$. On analyse d'abord la gravité: Quand $\theta$ varie, la masse monte d'une distance de $\ell (1 - \cos\theta)$. La contribution à l'énergie potentielle est donc de $mg\ell(1 - \cos \theta)$. On note: 1. Cette contribution n'est pas linéaire en $\theta$ et n'est donc pas une charge morte qui peut être ignorée : le poids tend à ramener le pendule vers sa position d'équilibre. 2. Sous l'hypothèse des petits angles, une approximation de $\cos \theta$ à l'ordre 0 ($\cos\theta \approx 1$) supprime complètement l'effet de la gravité (la contribution d'énergie potentielle est constante par rapport à $\theta$). Il faut donc une approximation qui conserve la dépendance en $\theta$, c'est-à-dire $\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$. Le ressort $k$ subit un déplacement de $\sin(\theta) \frac{\ell}{2} \approx \theta \frac{\ell}{2}$. On peut donc écrire l'énergie potentielle totale: \begin{align*} U(\theta) & = \frac{1}{2}k\left(\frac{\theta\ell}{2}\right)^2 + mg\ell\left(1 - \left(1 - \frac{\theta^2}{2}\right)\right)\\ & = \frac{1}{2}\left(\frac{k\ell^2}{4} + mg\ell\right)\theta^2 \end{align*} On voit apparaître les deux contributions à la raideur totale du système. Le ratio de ces deux contributions donne un nombre sans dimension $\bar K = \frac{4mg}{k\ell}$. Si $\bar K$ est petit on peut négliger la gravité, à contrario si $\bar K$ est grand on peut négliger le ressort. ![Travaux virtuels pour le système B](figs/1DDL_B_TV.svg) La seule force dissipative est celle de l'amortisseur linéaire $f_\mathrm d$. La vitesse de déplacement de l'amortisseur est $\dot \theta \frac{\ell}{2}$, donc $f_\mathrm d = -\eta \dot x$. Si l'on applique une rotation virtuelle $\delta \theta$ au pendule, le déplacement virtuel de l'amortisseur est $\frac{\ell}{2}\delta \theta$. Le travail virtuel est alors: $$ \delta W = f_\mathrm d\cdot \frac{\ell}{2}\delta \theta = -\eta \dot \theta\frac{\ell}{2}\cdot \frac{\ell}{2}\delta \theta = -\frac{\eta \ell^2}{4}\dot\theta \delta\theta. $$ On en déduit que l'effort généralisé est $Q = -\frac{\eta \ell^2}{4}\dot \theta$. En applicant l'équation d'Euler-Lagrange, on trouve: $$ (m\ell^2 + I)\ddot \theta + \frac{\eta \ell^2}{4}\dot \theta + \left(\frac{k\ell^2}{4} + mg\ell\right)\theta = 0$$ ::: :::{.callout-tip title="Système C" collapse=true} On note $\theta$ la rotation de la barre ($\theta$, $\dot \theta$ et $\ddot \theta$ positifs dans le sens trigonométrique). Puisque la barre est en rotation autour de l'appui, on doit calculer son moment d'inertie par rapport à ce dernier. La barre étant continue, on a: $$ I = \int_A \int_0^\ell x^2\rho\,\mathrm dx\,\mathrm dA = A\int_0^\ell \rho x^2\,\mathrm dx = \frac{\rho A\ell^3}{3} = \frac{m\ell^2}{3},$$ où $m = \rho A\ell$ est la masse de la barre. L'énergie cinétique est donc: $$ T(\dot \theta) = \frac{1}{2}\frac{m\ell^2}{3}\dot \theta^2 $$ Seul le ressort $k$ contribue à l'énergie potentielle. Quand $\theta$ varie, le déplacement (petite rotation) est $\theta \frac{2\ell}{3}$. L'énergie potentielle est donc: $$ U(\theta) = \frac{1}{2}k\left(\frac{2\theta \ell}{3}\right)^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{4k\ell^2}{9}\right)\theta^2 $$ ![Travaux virtuels pour le système C](figs/1DDL_C_TV.svg) La partie difficile de cet exercice est le calcul des efforts généralisés. Le travail virtuel sur une rotation $\delta \theta$ de la force dans l'amortisseur se calcule de manière similaire au système B. La vitesse de déplacement de l'amortisseur est $\dot \theta \frac{\ell}{3}$, et le déplacement virtuel est $\delta \theta \frac{\ell}{3}$. Le travail virtuel de la force d'amortissement est donc: $$ \delta W_\mathrm d = f_\mathrm d\cdot \delta \theta \frac{\ell}{3} = -\eta \dot \theta \frac{\ell}{3} \cdot \delta \theta \frac{\ell}{3} = -\frac{\eta \ell^2}{9}\dot \theta \delta \theta $$ Pour calculer le travail de $p(x, t) = p(t)\frac{x}{\ell}$, on regarde d'abord le travail pour un point $x$ de la poutre. Le déplacement vertical du point $x$ pour un rotation de $\delta \theta$ est de $x\delta \theta$, et est orienté vers le haut pour $\delta \theta$ positif. Comme la force répartie agit vers le bas, le travail est négatif et vaut $-p(t)\frac{x}{\ell}\cdot x\delta \theta$. Pour calculer le travail total, on intègre cette expression le long de la poutre. $$ \delta W_p = -\int_0^\ell p(t)\frac{x^2}\ell\delta \theta\,\mathrm dx = -\frac{\ell^2}{3}p(t)\delta \theta $$ On en déduit l'effort externe généralisé: $$ Q = -\frac{\eta \ell^2}{9}\dot \theta - \frac{\ell^2}{3}p(t) $$ En posant l'équation d'Euler-Lagrange, on obtient: $$ \frac{m\ell^2}{3}\ddot \theta + \frac{\eta \ell^2}{9}\dot \theta + \frac{4k\ell^2}{9}\theta = -\frac{\ell^2}{3}p(t) $$ ::: :::{.callout-tip title="Système D" collapse=true} Puisqu'on suppose la forme de la vibration de la poutre (ce que l'on apprendra à faire dans la partie "systèmes continus" du cours), on a un seul degré de liberté $A$ (positif vers le haut), qui est l'amplitude du déplacement de la poutre: $$ u(x, t) = A(t)\sin\left(\frac{\pi x}{\ell}\right) $$ On néglige l'inertie de la poutre (petite par rapport à la masse $m$). On n'a donc qu'une contribution à l'énergie cinétique. Puisque la masse reste collée à la poutre, son déplacement est $u(\ell/2, t) = A(t)$. L'énergie cinétique est donc: $$ T(\dot A) = \frac{1}{2} m\dot A^2 $$ La seule contribution d'énergie potentielle est la flexion de la poutre. On donne ici l'expression de l'énergie potentielle en fonction de $u$: \begin{align*} U(A) & = \int_0^\ell EI\left(-\frac{\pi^2 A}{\ell^2}\sin\left(\frac{\pi x}{\ell}\right)\right)^2\,\mathrm dx\\ & = \frac{\pi^4}{\ell^4}EIA^2\int_0^\ell\sin^2\left(\frac{\pi x}{\ell}\right)\,\mathrm dx\\ & = \frac{\pi^4}{\ell^4}EIA^2\cdot \frac{1}{2}\int_0^\ell\left(1 - \cos\left(\frac{2\pi x}{\ell}\right)\right)\,\mathrm dx\\ & = \frac{1}{2} \frac{\pi^4EI}{\ell^3}A^2 \end{align*} On peut vérifier l'homogénéité de cette énergie en vérifiant que $EI / \ell^3$ est bien homogène à une raideur ($\mathrm{Force} / \mathrm{Longueur}$)^[Rappel: $E$ est homogène à une pression et $I$ à $\mathrm{Longueur}^4$]. ![Travaux virtuels pour le système D](figs/1DDL_D_TV.svg) Pour calculer le travail de $F(t)$ sur un déplacement virtuel $\delta A$, on note que le point d'application de $F(t)$ se déplace verticalement (vers le haut) de $\delta A\sin(\pi / 3) = \sqrt{3}\delta A / 2$. Puisque $F(t)$ agit vers le bas, le travail est: $$ \delta W = -F(t)\frac{\sqrt{3}}{2}\delta A, $$ d'où l'on déduit $Q = -\frac{\sqrt{3}}{2}F(t)$, et l'équation du mouvement s'établit aisément: $$ m\ddot A + \frac{\pi^4 EI}{\ell^3} A = -\frac{\sqrt{3}}{2}F(t) $$ :::