$ \renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \renewcommand{\d}{\,\mathrm{d}} \renewcommand{\K}{\mathbf{K}} \renewcommand{\M}{\mathbf{M}} \renewcommand{\C}{\mathbf{C}} \renewcommand{\x}{\vec{x}} \renewcommand{\p}{\vec{p}} \renewcommand{\X}{\mathbf{X}} \renewcommand{\Q}{\vec{Q}} \renewcommand{\Z}{\vec{Z}} $

16 Modèle discret d’un pétrolier soumis à la houle

L’objectif du problème est de modéliser simplement les déformations dynamiques d’un pétrolier sous l’action des vagues. Le pétrolier est constitué d’une partie arrière hébergeant le château surmontant la salle des machines et d’une partie avant contenant les réservoirs à pétrole.

16.1 Modélisation

Inerties

Pour le modèle, le navire est décomposé en quatre compartiments : le compartiment arrière (machines et château) et trois réservoirs à pétrole. Lorsqu’elles ne sont pas chargées de pétrole, les cales sont généralement remplies d’eau de mer et un réservoir plein a une masse identique à celle du compartiment arrière. Ainsi, pour simplifier, les quatre compartiments sont supposés avoir la même masse $M$. Comme indiqué par le dessin ci-dessus, les quatre éléments du modèle ont des dimensions identiques et leur centres sont séparés d’une distance $L$. On suppose que leur déplacement est seulement vertical et on note les déplacements mesurés par rapport à la position d’équilibre statique $z_1$, $z_2$, $z_3$ et $z_4$. Le vecteur des coordonnées généralisées est noté $\mathbf{z}$.

Calculer l’énergie cinétique $T$ du pétrolier.

Solution

L’énergie cinétique du pétrolier a pour expression \[T = \dfrac{1}{2} M \left(\dot z_1^2 + \dot z_2^2 + \dot z_3^2 + \dot z_4^2\right).\]

En déduire la matrice d’inertie $\M$ du système.

Solution

La matrice d’inertie a pour expression \[\M = \begin{pmatrix} M & 0 & 0 & 0 \\ 0 & M & 0 & 0 \\ 0 & 0 & M & 0 \\ 0 & 0 & 0 & M \end{pmatrix}.\]

Raideurs

Les mécanismes qui rappellent le pétrolier à sa position d’équilibre sont de deux natures : la flottabilité et la raideur de la structure.

La flottabilité est liée à la combinaison de la poussée d’Archimède et du poids du navire pour ramener indépendamment les quatre compartiments à leur position d’équilibre ($z_i = 0$). Pour modéliser cet effort de rappel, on affecte à chaque compartiment une raideur notée $k$. La force de rappel s’écrit pour un compartiment: $F = (\rho_0 V - M)g$ avec :

$V = S (z + z_0)$ = volume immergé du compartiment ($z_0$= Position statique)
$S$ = section horizontale du compartiment.
$\rho_0$ = masse volumique de l’eau de mer.

Quelle est l’expression de $k$ ?

Solution

La force de rappel a pour expression \[F = (\rho_0S(z + z_0) - M)g,\] d’où $k = \rho_0 Sg$. Le terme de pesanteur disparaît lorsqu’on utilise la position $z$ mesurée par rapport à la position d’équilibre statique $z_0$

Écrire l’énergie potentielle de flottabilité des quatre compartiments en fonction de $k$.

Solution

L’énergie potentielle de flottabilité des quatre compartiments a pour expression \[U = \dfrac{k}{2}\left(z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^2\right).\]

Quelle est la matrice de raideur de flottabilité $\K_f$ ?

Solution

De la question précédente, on déduit rapidement l’expression de la matrice de raideur de flottabilité $\K_f$ : \[\K_f = \begin{pmatrix} k & 0 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 0 & k \end{pmatrix}.\]

Structure

Les caractéristiques élastiques de la structure du navire tendent à ramener l’ensemble dans un état non déformé ($z_i-z_{i+1} = 0$). Pour modéliser cet effort de rappel, on considère un ressort de torsion de raideur $K$ (Nm/rad).

Montrer que la force de rappel induite par un ressort de torsion pour une petite déformation $\Delta z$ est de la forme indiquée sur la figure ci contre :

Solution

Le couple de torsion est \[\Gamma = K\theta = K \dfrac{\Delta z}{L} = LF_K,\] d’où la force de rappel de structure \[F_K = K \dfrac{\Delta z}{L^2}.\]

Écrire l’énergie potentielle de structure associée aux ressorts $K$, selon la figure ci-dessous.

Position des ressorts de torsion sur une masse

Solution

L’énergie potentielle de structure associée aux ressorts $K$ a pour expression \[\begin{aligned} U & = \dfrac{K}{2L^2} \left[(z_1-z_2)^2 + (z_1-z_2)^2+(z_2-z_3)^2 + (z_3-z_2)^2+(z_3-z_4)^2 + (z_3-z_4)^2\right] \\ & = \dfrac{K}{2L^2} \left[2(z_1 - z_2)^2 + 2(z_2 - z_3)^2 + 2(z_3 - z_4)^2\right] \\ & = \dfrac{K}{2L^2} \left(2z_1^2 + 4z_2^2 + 4z_3^2 + 2z_4^2 - 4z_1z_2 - 4z_2z_3 - 4z_3z_4\right). \end{aligned}\]

Quelle est la matrice de raideur de structure $\K_s$ ?

Solution

De la question précédente, on déduit rapidement l’expression de la matrice de raideur de structure $\K_s$ : \[\K_s = \dfrac{K}{L^2} \begin{pmatrix} 2 & - 2 & 0 & 0 \\ - 2 & 4 &-2 & 0 \\ 0 & - 2 & 4 & - 2 \\ 0 & 0 &-2 & 2 \end{pmatrix}.\]

En l’absence d’amortissement, quelle équation matricielle décrit le mouvement libre du système ?

Solution

En l’absence d’amortissement, l’équation matricielle qui décrit le mouvement libre du système est \[\M\ddot{\z} + (\K_s + \K_f) \z = 0.\]

16.2 Mouvement libre : Modes et fréquences propres

Comment procède-t-on pour identifier les fréquences propres $f_j$?

Solution

On suppose que les solutions de l’équation du mouvement sont harmoniques: $z_i(t) = Z_i e^{j\omega t}$, conduisant au système \[((\K_s + \K_f) - \omega^2\M) \Z = 0.\] Il faut s’assurer que les solutions $\ z$ sont non nulles en résolvant l’équation aux valeurs propres en $\omega^4$ : \[\left| (\K_s + \K_f) - \omega^2\M \right| = 0.\] On obtient 4 valeurs propres, les pulsations propres $\omega_j$. Les fréquence propres sont les fréquences telles que $f_j = \tfrac{\omega_j}{2\pi}$.

Comment procède-t-on pour identifier les modes propres associés $\Z_j$?

Solution

Pour chacune des racines obtenues $\omega_j$ on obtient le vecteur propre associé $\Z_j$ en résolvant l’équation : \[(\K_s + \K_f) - \omega_j^2\M) \Z_j = 0.\]

Si on considère un pétrolier de 200 000 tonnes, large de 60m et long de 300m, et qu’on donne à la structure une raideur de flexion $K= 10^{11}$ Nm/rad, une résolution numérique du système précédent donne les résultats suivants :

Mode	1	2	3	4
Fréquence propre (Hz)	0.12	0.21	0.34	0.43
	$\mathbf{Z_1}$	$\mathbf{Z_2}$	$\mathbf{Z_3}$	$\mathbf{Z_4}$
	1	1	1	-0.4
	1	0.4	-1	1
	1	-0.4	-1	-1
	1	-1	1	0.4

Représenter les 4 modes propres.

Solution

image

Commenter ces modes en fonction de la fréquence associée et des risques vis à vis de la sécurité du navire.

Solution

Le mode 1 est un mode de corps rigide (sans déformation élastique), c’est le pompage. Il n’est en rien nuisible au navire. En revanche il est nuisible aux marins sujets au mal de mer !
Le mode deux induit une petite déformation, mais il ressemble beaucoup au mode de corps rigide de tangage. Il est peu nuisible au navire, mais beaucoup au marin d’eau douce.
Pour le mode 3, on a une déformation importante, les compartiments centraux vibrant en opposition de phase avec les extrémités. 2 points de rupture possibles. Une houle de 0.34Hz est à éviter. Il faut régler la vitesse du navire pour cela.
Pour le mode 4, on a une déformation importante, tous les compartiments vibrant en opposition de phase . 3 points de rupture possibles. Une houle de 0.4Hz est à éviter. Il faut régler la vitesse du navire pour cela.

Quelle propriété mathématique vérifient les vecteurs propres ?

Solution

Les vecteurs propres sont orthogonaux.

Mettre en évidence cette propriété pour les vecteurs $\mathbf{Z_1}$ et $\mathbf{Z_2}$.

Solution

\[\Z_1^t \M \Z_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} M & 0 & 0 & 0 \\ 0 & M & 0 & 0 \\ 0 & 0 & M & 0 \\ 0 & 0 & 0 & M \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0.4 \\ -0.4 \\ -1 \end{pmatrix} = M (1 \times 1 + 1 \times 0.4 + 1 \times - 0.4 + 1 \times -1) = 0.\]

16.3 Mouvement forcé : Réponse au passage d’un train de houle

La houle est une onde de déplacement engendrée par le vent et se propageant à la surface de la mer sur des très grandes distances. Au passage d’un train de houle, les 4 compartiments subissent chacun un effort vertical $F_i$.

Calculer la puissance des efforts extérieurs.

Solution

La puissance des efforts extérieurs a pour expression \[\mathcal P = \sum_{i = 1}^4 F_i \dot z_i.\]

En déduire le vecteur des efforts généralisés $\mathbf{Q}$ en fonction des $F_i$.

Solution

Le vecteur des efforts généralisés a pour expression \[\Q = \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \\ F_3 \\ F_4 \end{pmatrix}.\]

Écrire l’équation matricielle du mouvement forcé.

Solution

L’équation matricielle du mouvement forcé a pour expression \[\M\ddot z + (\K_s + \K_f) z = \Q.\]

Montrer comment on peut découpler le système dans la base des coordonnées modales notées $\mathbf{p}$.

Solution

On substitue aux coordonnées généralisées $\mathbf z$ les coordonnées modales $\p$ telles que $\mathbf z = \mathbf Z \mathbf p$. L’équation du mouvement forcé devient : \[\begin{aligned} &\mathbf{M Z\ddot p + K Zp} &= \mathbf{Q}\\ \times \mathbf{Z^t} \Leftrightarrow &\mathbf{Z^t MZ \ddot p + Z^t K Z p}&=\mathbf{Z^t Q}\\ \Leftrightarrow &\mathbf{M_p\ddot p + K_p p}&=\mathbf{Z^t Q}\\ \Leftrightarrow &\mathbf{\ddot p} + \boldsymbol\Delta \mathbf{p}&=\mathbf{M_p^{-1}Z^t Q} \end{aligned}\] où $\boldsymbol \Delta$ est la matrice diagonale des valeurs propres.

L’action de la houle est due aux variations locales de la poussée d’Archimède. C’est un phénomène harmonique d’amplitude et de longueur d’onde métriques. Pour une houle de longueur d’onde $\lambda_H$, de vitesse relative $v_r$ par rapport au navire, les forces verticales sur chaque compartiment ont une pulsation $\Omega =2\pi v_r/\lambda_H$ et elles diffèrent seulement par un déphasage $\varphi_i$. Pour le compartiment $i$, situé à la position $\ell_i$ de l’extrémité du navire, la force due à la houle s’écrit : \[F_i(t) = F_H e^{2j\pi \frac{\ell_i}{\lambda_H}}e^{j\Omega t} = F_H e^{j(\Omega t + \varphi_i)}.\] Cette expression est donnée pour information; le seul élément à prendre en compte est que la houle est harmonique de pulsation $\Omega$.

Pour ce cas particulier d’excitation, écrire sous forme matricielle, le système découplé qui donne les coordonnées modales $\p$ en fonction du vecteur des efforts généralisés $\Q$.

Solution

Dans le cas d’une excitation harmonique, la réponse est harmonique de même pulsation $\Omega$. La résolution de l’équation du mouvement dans la base modale conduit à l’expression \[\p = (\Delta - \Omega^2 \I)^{-1} \M_p^{-1} \Z^t \Q.\]

Quelle opération matricielle écrit-on pour obtenir les mouvements réels $\ z$ du navire en fonction de la pulsation $\Omega$ ?

Solution

On a \[\ z(t) = \Z \p(t).\]

Si on introduit de l’amortissement dans le système, à quelle condition la base modale $\Z$ permet-elle toujours une résolution simple du système ?

Solution

Il faut que la matrice de dissipation vérifie la relation de Caughey : $\C\M^{-1}\K = \K\M^{-1}\C$. C’est le cas par exemple de l’amortissement proportionnel, lorsque $\C =\alpha \M + \beta\K$. On conserve alors des équations découplées dans la base modale.

Pour ce type d’amortissement et pour les excitations harmoniques, écrire l’expression matricielle qui donne les coordonnées modales $\p$ en fonction du vecteur des efforts généralisés $\Q$.

Solution

Un matrice de ce type procure une matrice principale de dissipation diagonale $\mathbf{C_p}$. Dans le cas de l’excitation harmonique, les coordonnées modales sont alors obtenues par l’opération : \[\p =(\K_p + j\Omega \C_p - \Omega^2 \M_p)^{-1} \Z^t \Q.\]

--- format: html: include-before-body: ../mathjax_defines.sty --- # Modèle discret d'un pétrolier soumis à la houle ![Petrolier](./figs/PetrolierProfil.jpg) ![Modèle](./figs/PetrolierModele.png) L'objectif du problème est de modéliser simplement les déformations dynamiques d'un pétrolier sous l'action des vagues. Le pétrolier est constitué d'une partie arrière hébergeant le château surmontant la salle des machines et d'une partie avant contenant les réservoirs à pétrole. ## Modélisation ### Inerties {#inerties .unnumbered} Pour le modèle, le navire est décomposé en quatre compartiments : le compartiment arrière (machines et château) et trois réservoirs à pétrole. Lorsqu'elles ne sont pas chargées de pétrole, les cales sont généralement remplies d'eau de mer et un réservoir plein a une masse identique à celle du compartiment arrière. Ainsi, pour simplifier, les quatre compartiments sont supposés avoir la même masse $M$. Comme indiqué par le dessin ci-dessus, les quatre éléments du modèle ont des dimensions identiques et leur centres sont séparés d'une distance $L$. On suppose que **leur déplacement est seulement vertical** et on note les déplacements mesurés par rapport à la position d'équilibre statique $z_1$, $z_2$, $z_3$ et $z_4$. Le vecteur des coordonnées généralisées est noté $\mathbf{z}$. :::{} Calculer l'énergie cinétique $T$ du pétrolier. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} L'énergie cinétique du pétrolier a pour expression $$T = \dfrac{1}{2} M \left(\dot z_1^2 + \dot z_2^2 + \dot z_3^2 + \dot z_4^2\right).$$ ::: En déduire la matrice d'inertie $\M$ du système. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} La matrice d'inertie a pour expression $$\M = \begin{pmatrix} M & 0 & 0 & 0 \\ 0 & M & 0 & 0 \\ 0 & 0 & M & 0 \\ 0 & 0 & 0 & M \end{pmatrix}.$$ ::: ### Raideurs {#raideurs .unnumbered} Les mécanismes qui rappellent le pétrolier à sa position d'équilibre sont de deux natures : la flottabilité et la raideur de la structure. La flottabilité est liée à la combinaison de la poussée d'Archimède et du poids du navire pour ramener indépendamment les quatre compartiments à leur position d'équilibre ($z_i = 0$). Pour modéliser cet effort de rappel, on affecte à chaque compartiment une raideur notée $k$. La force de rappel s'écrit pour un compartiment: $F = (\rho_0 V - M)g$ avec : - $V = S (z + z_0)$ = volume immergé du compartiment ($z_0$= Position statique) - $S$ = section horizontale du compartiment. - $\rho_0$ = masse volumique de l'eau de mer. Quelle est l'expression de $k$ ? ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} La force de rappel a pour expression $$F = (\rho_0S(z + z_0) - M)g,$$ d'où $k = \rho_0 Sg$. Le terme de pesanteur disparaît lorsqu'on utilise la position $z$ mesurée par rapport à la position d'équilibre statique $z_0$ ::: Écrire l'énergie potentielle de flottabilité des quatre compartiments en fonction de $k$. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} L'énergie potentielle de flottabilité des quatre compartiments a pour expression $$U = \dfrac{k}{2}\left(z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^2\right).$$ ::: Quelle est la matrice de raideur de flottabilité $\K_f$ ? ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} De la question précédente, on déduit rapidement l'expression de la matrice de raideur de flottabilité $\K_f$ : $$\K_f = \begin{pmatrix} k & 0 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 0 & k \end{pmatrix}.$$ ::: ### Structure {#structure .unnumbered} Les caractéristiques élastiques de la structure du navire tendent à ramener l'ensemble dans un état non déformé ($z_i-z_{i+1} = 0$). Pour modéliser cet effort de rappel, on considère un ressort de torsion de raideur $K$ (Nm/rad).\ Montrer que la force de rappel induite par un ressort de torsion pour une petite déformation $\Delta z$ est de la forme indiquée sur la figure ci contre : ![](figs/StructureModele.png){width="0.8\\linewidth"} ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} Le couple de torsion est $$\Gamma = K\theta = K \dfrac{\Delta z}{L} = LF_K,$$ d'où la force de rappel de structure $$F_K = K \dfrac{\Delta z}{L^2}.$$ ::: Écrire l'énergie potentielle de structure associée aux ressorts $K$, selon la figure ci-dessous. ![Position des ressorts de torsion sur une masse](figs/petrolier_energie_pot.svg) ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} L'énergie potentielle de structure associée aux ressorts $K$ a pour expression $$\begin{aligned} U & = \dfrac{K}{2L^2} \left[(z_1-z_2)^2 + (z_1-z_2)^2+(z_2-z_3)^2 + (z_3-z_2)^2+(z_3-z_4)^2 + (z_3-z_4)^2\right] \\ & = \dfrac{K}{2L^2} \left[2(z_1 - z_2)^2 + 2(z_2 - z_3)^2 + 2(z_3 - z_4)^2\right] \\ & = \dfrac{K}{2L^2} \left(2z_1^2 + 4z_2^2 + 4z_3^2 + 2z_4^2 - 4z_1z_2 - 4z_2z_3 - 4z_3z_4\right). \end{aligned}$$ ::: Quelle est la matrice de raideur de structure $\K_s$ ? ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} De la question précédente, on déduit rapidement l'expression de la matrice de raideur de structure $\K_s$ : $$\K_s = \dfrac{K}{L^2} \begin{pmatrix} 2 & - 2 & 0 & 0 \\ - 2 & 4 &-2 & 0 \\ 0 & - 2 & 4 & - 2 \\ 0 & 0 &-2 & 2 \end{pmatrix}.$$ ::: En l'absence d'amortissement, quelle équation matricielle décrit le mouvement libre du système ? ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} En l'absence d'amortissement, l'équation matricielle qui décrit le mouvement libre du système est $$\M\ddot{\z} + (\K_s + \K_f) \z = 0.$$ ::: ## Mouvement libre : Modes et fréquences propres Comment procède-t-on pour identifier les fréquences propres $f_j$? ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} On suppose que les solutions de l'équation du mouvement sont harmoniques : $z_i(t) = Z_i e^{j\omega t}$, conduisant au système $$((\K_s + \K_f) - \omega^2\M) \Z = 0.$$ Il faut s'assurer que les solutions $\ z$ sont non nulles en résolvant l'équation aux valeurs propres en $\omega^4$ : $$\left| (\K_s + \K_f) - \omega^2\M \right| = 0.$$ On obtient 4 valeurs propres, les pulsations propres $\omega_j$. Les fréquence propres sont les fréquences telles que $f_j = \tfrac{\omega_j}{2\pi}$. ::: Comment procède-t-on pour identifier les modes propres associés $\Z_j$? ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} Pour chacune des racines obtenues $\omega_j$ on obtient le vecteur propre associé $\Z_j$ en résolvant l'équation : $$(\K_s + \K_f) - \omega_j^2\M) \Z_j = 0.$$ ::: Si on considère un pétrolier de 200 000 tonnes, large de 60m et long de 300m, et qu'on donne à la structure une raideur de flexion $K= 10^{11}$ Nm/rad, une résolution numérique du système précédent donne les résultats suivants : | Mode | 1 | 2 | 3 | 4 | |------|---|---|---|---| |Fréquence propre (Hz)| 0.12|0.21| 0.34 |0.43| | |$\mathbf{Z_1}$ |$\mathbf{Z_2}$ |$\mathbf{Z_3}$ |$\mathbf{Z_4}$| | |1 | 1 | 1 |-0.4| | | 1| 0.4 |-1 |1| | |1 | -0.4 | -1 | -1| | |1 | -1 | 1| 0.4| Représenter les 4 modes propres. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} ![image](figs/PetrolierModes.png) ::: Commenter ces modes en fonction de la fréquence associée et des risques vis à vis de la sécurité du navire. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} - Le mode 1 est un mode de corps rigide (sans déformation élastique), c'est le pompage. Il n'est en rien nuisible au navire. En revanche il est nuisible aux marins sujets au mal de mer ! - Le mode deux induit une petite déformation, mais il ressemble beaucoup au mode de corps rigide de tangage. Il est peu nuisible au navire, mais beaucoup au marin d'eau douce. - Pour le mode 3, on a une déformation importante, les compartiments centraux vibrant en opposition de phase avec les extrémités. 2 points de rupture possibles. Une houle de 0.34Hz est à éviter. Il faut régler la vitesse du navire pour cela. - Pour le mode 4, on a une déformation importante, tous les compartiments vibrant en opposition de phase . 3 points de rupture possibles. Une houle de 0.4Hz est à éviter. Il faut régler la vitesse du navire pour cela. ::: Quelle propriété mathématique vérifient les vecteurs propres ? ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} Les vecteurs propres sont orthogonaux. ::: Mettre en évidence cette propriété pour les vecteurs $\mathbf{Z_1}$ et $\mathbf{Z_2}$. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} $$\Z_1^t \M \Z_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} M & 0 & 0 & 0 \\ 0 & M & 0 & 0 \\ 0 & 0 & M & 0 \\ 0 & 0 & 0 & M \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0.4 \\ -0.4 \\ -1 \end{pmatrix} = M (1 \times 1 + 1 \times 0.4 + 1 \times - 0.4 + 1 \times -1) = 0.$$ ::: ## Mouvement forcé : Réponse au passage d'un train de houle La houle est une onde de déplacement engendrée par le vent et se propageant à la surface de la mer sur des très grandes distances. Au passage d'un train de houle, les 4 compartiments subissent chacun un effort vertical $F_i$. Calculer la puissance des efforts extérieurs. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} La puissance des efforts extérieurs a pour expression $$\mathcal P = \sum_{i = 1}^4 F_i \dot z_i.$$ ::: En déduire le vecteur des efforts généralisés $\mathbf{Q}$ en fonction des $F_i$. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} Le vecteur des efforts généralisés a pour expression $$\Q = \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \\ F_3 \\ F_4 \end{pmatrix}.$$ ::: Écrire l'équation matricielle du mouvement forcé. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} L'équation matricielle du mouvement forcé a pour expression $$\M\ddot z + (\K_s + \K_f) z = \Q.$$ ::: Montrer comment on peut découpler le système dans la base des coordonnées modales notées $\mathbf{p}$. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} On substitue aux coordonnées généralisées $\mathbf z$ les coordonnées modales $\p$ telles que $\mathbf z = \mathbf Z \mathbf p$. L'équation du mouvement forcé devient : $$\begin{aligned} &\mathbf{M Z\ddot p + K Zp} &= \mathbf{Q}\\ \times \mathbf{Z^t} \Leftrightarrow &\mathbf{Z^t MZ \ddot p + Z^t K Z p}&=\mathbf{Z^t Q}\\ \Leftrightarrow &\mathbf{M_p\ddot p + K_p p}&=\mathbf{Z^t Q}\\ \Leftrightarrow &\mathbf{\ddot p} + \boldsymbol\Delta \mathbf{p}&=\mathbf{M_p^{-1}Z^t Q} \end{aligned}$$ où $\boldsymbol \Delta$ est la matrice diagonale des valeurs propres.\ ::: L'action de la houle est due aux variations locales de la poussée d'Archimède. C'est un phénomène harmonique d'amplitude et de longueur d'onde métriques. Pour une houle de longueur d'onde $\lambda_H$, de vitesse relative $v_r$ par rapport au navire, les forces verticales sur chaque compartiment ont une pulsation $\Omega =2\pi v_r/\lambda_H$ et elles diffèrent seulement par un déphasage $\varphi_i$. Pour le compartiment $i$, situé à la position $\ell_i$ de l'extrémité du navire, la force due à la houle s'écrit : $$F_i(t) = F_H e^{2j\pi \frac{\ell_i}{\lambda_H}}e^{j\Omega t} = F_H e^{j(\Omega t + \varphi_i)}.$$ Cette expression est donnée pour information; le seul élément à prendre en compte est que la houle est harmonique de pulsation $\Omega$. Pour ce cas particulier d'excitation, écrire sous forme matricielle, le système découplé qui donne les coordonnées modales $\p$ en fonction du vecteur des efforts généralisés $\Q$. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} Dans le cas d'une excitation harmonique, la réponse est harmonique de même pulsation $\Omega$. La résolution de l'équation du mouvement dans la base modale conduit à l'expression $$\p = (\Delta - \Omega^2 \I)^{-1} \M_p^{-1} \Z^t \Q.$$ ::: Quelle opération matricielle écrit-on pour obtenir les mouvements réels $\ z$ du navire en fonction de la pulsation $\Omega$ ? ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} On a $$\ z(t) = \Z \p(t).$$ ::: Si on introduit de l'amortissement dans le système, à quelle condition la base modale $\Z$ permet-elle toujours une résolution simple du système ? ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} Il faut que la matrice de dissipation vérifie la relation de Caughey : $\C\M^{-1}\K = \K\M^{-1}\C$. C'est le cas par exemple de l'amortissement proportionnel, lorsque $\C =\alpha \M + \beta\K$. On conserve alors des équations découplées dans la base modale. ::: Pour ce type d'amortissement et pour les excitations harmoniques, écrire l'expression matricielle qui donne les coordonnées modales $\p$ en fonction du vecteur des efforts généralisés $\Q$. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} Un matrice de ce type procure une matrice principale de dissipation diagonale $\mathbf{C_p}$. Dans le cas de l'excitation harmonique, les coordonnées modales sont alors obtenues par l'opération : $$\p =(\K_p + j\Omega \C_p - \Omega^2 \M_p)^{-1} \Z^t \Q.$$ ::: :::