17 La corde vibrante : ondes

Le but de cet exercice est d’étudier la propagation d’ondes dans une corde tendue. Nous allons étudier différentes configurations :

corde infinie,
corde fixée à ses extrémités,
propagation dans plusieurs cordes de masses linéiques différentes accrochées ensemble.

On s’intéresse au déplacement transverse de la corde $y(x,t)$ au point $x$ et à l’instant $t$. On note $T$ la tension et la $\mu$ masse linéique. Avec ces notations, le déplacement transverse satisfait à l’équation de d’Alembert : \[\frac{1}{c_0^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = 0\]

avec $c_0 = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$

On suppose que la corde est de longueur infinie. Montrer que la solution générale de l’équation des ondes est alors : \[y(x,t) = f(x-c_0 t) + g(x + c_0 t)\] où $f$ et $g$ sont deux fonctions scalaires.
Donner une interprétation physique des termes $f(x-c_0 t)$ et $g(x + c_0 t)$.
On suppose qu’à $t=0$, le profil de la corde est celui de la Figure 17.1, on suppose aussi que $\frac{\partial y}{\partial t}(x,t=0) = 0$. Tracer la forme de la corde pour $t>0$.

Figure 17.1: Profil de la corde à $t = 0$

On suppose maintenant que la corde est fixée à ses deux extrémités $x=0$ et $x=L$. On suppose que les ondes se propageant vers les $x>0$ se réfléchissent parfaitement en $x=L$ et que les ondes se propageant vers les $x<0$ se réfléchissent parfaitement en $x=0$. On a alors $f(\alpha) = g(\alpha) = A \sin(k_0 \alpha)$. Dans ce cas montrer que : \[y(x,t) = f(x) \phi(t)\] D’après la forme de la solution, de quel type de phénomène s’agit-il ?
On considère une situation dans laquelle, deux cordes de masses linéiques différentes $\mu_1$ et $\mu_2$ sont couplées en $x=0$ (cf Figure 17.2).

On suppose que le deplacement transverse $y(x,t)$ et la pente de la corde $\partial y / \partial x$ sont des grandeurs continues en $x=0$.

Un excitateur permet de générer une onde incidente dans la corde 1 de la forme : \[y_I(x,t) = A \exp(i(k_1 x - \omega t))\]

On observe qu’une partie de l’onde se réfléchit en $x=0$ et qu’une autre partie est transmise. On note $R$ et $T$ les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude. Déterminer ces coefficients en fonction des données physiques du problème.

Figure 17.2: Cordes de masses linéiques différentes assemblées en $x = 0$

On considère maintenant une situation avec 3 cordes de masses linéiques $\mu_1$, $\mu_2$ et $\mu_3$ (avec $\mu_1<\mu_2<\mu_3$) telle que la corde 2 soit comprise entre les abscisses $x=0$ et $x=L$ (la corde 1 est du côté des $x<0$). Comme pour la question précédente, on suppose qu’un excitateur permet de générer une onde incidente dans la corde 1 : \[y_I(x,t) = A \exp(i(k_1 x - \omega t))\] On note $R_1$ le coefficient de reflexion en amplitude dans la corde 1 et $R_2$ celui dans la corde 2. On note $T_2$ le coefficient de reflexion en amplitude dans la corde 2 et $T_3$ celui dans la corde 3.

Montrer qu’on peut choisir les propriétés physiques de la corde 2 ($L$ et $\mu_2$) pour qu’il n’y ait pas d’onde réfléchie à l’interface entre les cordes 1 et 2 :
- $R_1$ = 0
- $L = \lambda_2 / 4$
- $\mu_2 = \sqrt{\mu_1 \mu_3}$

17.1 Equation de dispersion de plusieurs types d’ondes

Pour chacune des équations ci-dessous calculer la relation de dispersion et la vitesse de phase.

la propagation des ondes dans une corde est modélisée par l’équation de d’Alembert : \[\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = 0\]
la propagation des ondes dans une corde avec amortissement peut être modélisée par l’équation de Klein-Gordon linéarisée : \[\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \beta^2 y= 0\]
la propagation d’ondes de grandes longueurs d’ondes en eau peu profonde peut être modélisée par l’équation de Korteweg de Vries linéarisée : \[\frac{\partial u}{\partial t} + \alpha \frac{\partial u}{\partial x} = \beta\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\]
la propagation d’ondes de flexion dans les poutres (selon Euler-Bernoulli) est donnée par:

\[ \frac{\partial^2 v}{\partial t^2} + c_0^2 \frac{\partial^4 v}{\partial x^4} = 0\]

Solution corde

Solution générale de l’équation de d’Alembert

On fait le changement de variable suivant : \[\begin{aligned} \xi & = x -c_0 t \\ \eta & = x + c_0 t. \end{aligned}\] On a donc : \[\begin{aligned} \frac{\partial y}{\partial t} & = \frac{\partial \xi}{\partial t}\frac{\partial y}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial t}\frac{\partial y}{\partial \eta} = -c_0 \frac{\partial y}{\partial \xi} + c_0 \frac{\partial y}{\partial \eta} \\ \frac{\partial y}{\partial x} & = \frac{\partial \xi}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial \eta} = \frac{\partial y}{\partial \xi} + \frac{\partial y}{\partial \eta} \end{aligned}\] on en déduit : \[\begin{aligned} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} & = c_0^2 \left( \frac{\partial^2 y}{\partial \xi^2} + \frac{\partial^2 y}{\partial \eta^2} - 2\frac{\partial^2 y}{\partial \eta \partial \xi} \right)\\ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} & = \left( \frac{\partial^2 y}{\partial \xi^2} + \frac{\partial^2 y}{\partial \eta^2} + 2\frac{\partial^2 y}{\partial \eta \partial \xi} \right) \end{aligned}\] En substituant dans l’équation des ondes, on obtient : \[\frac{\partial^2 y}{\partial \xi \partial \eta} = 0\] D’abord, intégrons cette relation par rapport à $\eta$ : \[\frac{\partial y}{\partial \xi} = h(\xi)\] Ensuite, intégrons par rapport à $\eta$ : \[y(\xi,\eta) = f(\xi) + g(\eta)\] avec $f(\xi)$ la primitive de $h(\xi)$.
Finalement, on a donc: \[y(x,t) = f(x-c_0 t) + g(x + c_0 t)\]

Interprétation physique

Onde progressive, onde rétrograde.

Conditions initiales

On note $y_0(x) = y(x,t=0)$. A $t=0$, on a : \[y(x,0) = y_0(x) = f(x)+g(x)\] et \[\frac{\partial y}{\partial t}(x,t=0) = 0\Leftrightarrow c_0(f'(x)-g'(x))=0\Leftrightarrow f(x) = g(x) + D\]

Par conséquent : \[y_0(x) = 2 g(x) + D\] et donc \[g(x) = \frac{y_0(x) - D}{2},\quad f(x) = \frac{y_0(x) + D}{2}\]

En remplaçant dans $y(x, t)$, on a \[\begin{aligned} y(x, t) & = f(x - c_0 t) + g(x + c_0 t) \\ & = \frac{y_0(x - c_0t) + D}{2} + \frac{y_0(x + c_0t) - D}{2} \\ & = \frac{1}{2}(y_0(x - c_0 t) + y_0(x + c_0t))\end{aligned}\]

Onde stationnaire

\[\begin{aligned} y(x,t) & = A \left( \sin(k_0(x-c_0t) + \sin(k_0(x+c_0t)\right)\\ & = A\left( \sin(k_0 x) \cos(k_0 c_0 t) - \cos(k_0 x) \sin(k_0 c_0 t) + \sin(k_0 x) \cos(k_0 c_0 t) + \cos(k_0 x) \sin(k_0 c t)\right)\\ & = 2A\left( \sin(k_0 x) \cos(\omega_0 t)\right) \end{aligned}\] La solution du problème est donc une solution à variables séparées. Cette solution est celle que nous avons utilisée en vibrations. Nous sommes en présence d’un phénomène de vibrations : le temps d’observation est plus grand que le temps de parcours des ondes dans la structure. On voit un exemple concrêt de transition entre ondes et vibrations.

Corde hétérogène

Dans ce problème, on a 2 cordes avec 2 vitesses de propagation différentes : $c_1=\sqrt{\frac{T}{\mu_1}}$ et $c_2=\sqrt{\frac{T}{\mu_2}}$ La solution dans la corde 1 s’écrit : \[y_1(x,t) = Y_I(x,t) + y_R(x,t) = A \exp(i(k_1 x - \omega t)) + AR \exp(i(-k_1 x - \omega t)\] La solution dans la corde 2 s’écrit : \[y_2(x,t) = Y_T(x,t) = AT \exp(i(k_2 x - \omega t))\] Le déplacement transverse est continu en $x=0$ : \[y_1(x=0,t) = y_2(x=0,t)\] par conséquent : \[\begin{aligned} A \exp(i( - \omega t)) + AR \exp(i( - \omega t)) & = AT \exp(i( - \omega t)) \\ 1 + R & = T \end{aligned}\] La pente est continue en $x=0$ : \[\frac{\partial y_1}{\partial x}(x=0,t) =\frac{\partial y_2}{\partial x}(x=0,t)\] par conséquent : \[\begin{aligned} ik_1 A \exp(i( - \omega t)) - ik_1 AR \exp(i( - \omega t)) & = ik_2 AT \exp(i( - \omega t)) \\ (1 - R) k_1 & = T k_2 \end{aligned}\] avec $k_1 = \omega / c_1$ et $k_2 = \omega / c_2$. On a donc deux équations et deux inconnues à résoudre : \[\begin{aligned} 1 + R & = T \\ (1-R)\frac{c_2}{c_1} & = T \end{aligned}\] Finalement on a : \[\begin{aligned} R & = \frac{c_2-c_1}{c_1 + c_2}\\ T & = \frac{2c_2}{c_1 + c_2} \end{aligned}\] On remarque que quand $c_1 = c_2$ il n’y a pas de réflexion et le coefficient de transmission en amplitude est égal à 1.

Corde triple

Les solutions dans les cordes 1, 2 et 3 sont : \[\begin{aligned} y_1(x,t) = Ae^{i(k_1 x-\omega t)} + AR_1 e^{i(-k_1 x-\omega t)} \\ y_2(x,t) = AT_2 e^{i(k_2 x-\omega t)} + AR_2 e^{i(-k_2 x-\omega t)} \\ y_3(x,t) = AT_3 e^{i(k_3 x-\omega t)} \end{aligned}\] La condition de continuité du déplacement et de la pente en $x=0$ permet de déterminer deux équations : \[\begin{aligned} 1 + R_1 & = T_2 + R_2 \\ (1-R_1) k_1 & = (T_2-R_2) k_2 \end{aligned}\]

La condition de continuité du déplacement et de la pente en $x=L$ permet de déterminer deux autres équations : \[\begin{aligned} T_2 e^{i k_2 L} + R_2 e^{-i k_2 L} & = T_3 e^{i k_3 L} \\ k_2 T_2 e^{i k_2 L} - k_2 R_2 e^{-i k_2 L} & = T_3 k_3 e^{i k_3 L} \end{aligned}\]

Après résolution de ces 4 équations à 4 inconnues ($R_1$, $R_2$, $T_2$ et $T_1$), on impose $R_1=0$. On trouve alors la condition : \[e^{i 2 k_2 L} = \frac{(c_1 - c_2)(c_3+c_2)}{(c_1+c_2)(c_3-c_2)}\] On remarque que l’hypothèse $\mu_1<\mu_2<\mu_3$ implique $c_1>c_2>c_3$, donc $\frac{(c_1 - c_2)(c_3+c_2)}{(c_1+c_2)(c_3-c_2)}<0$.

Une solution possible est de s’arranger pour que $\frac{(c_1 - c_2)(c_3+c_2)}{(c_1+c_2)(c_3-c_2)}=-1$. On a alors $e^{i2k_2L} = -1$. Les conséquences de ce choix sont :

$2 k_2 L = \pi$ donc $L = \lambda_2 / 4$ (rappel $\lambda_2 = \frac{2\pi}{k_2}$)
$\frac{(c_1 - c_2)(c_3+c_2)}{(c_1+c_2)(c_3-c_2)}=-1$ donc $c_2=\sqrt{c_1 c_3}$.

Corde au temps

Solution dispersion

Équation de d’Alembert

On cherche la solution sous la forme : \[y(x,t) = A e^{i(\omega t - kx)}\] \[\begin{aligned} \frac{1}{c_0^2} A (i \omega)^2 e^{i(\omega t - kx)} - A (-ik)^2e^{i(\omega t - kx)} & = 0\\ -\frac{1}{c_0^2} \omega^2 + k^2 & = 0 \end{aligned}\] La relation de dispersion associée à cette équation est donc : $-\frac{1}{c_0^2} \omega^2 + k^2 = 0$.
La vitesse de phase est $c_\phi = \frac{\omega}{k} = \pm c_0$. On constate que les ondes se propageant dans la corde le font à une vitesse constantes quelle que soit la fréquence. Elles ne sont pas dispersives.

Klein-Gordon linéarisée

On cherche la solution sous la forme : \[y(x,t) = A e^{i(\omega t - kx)}\] \[\begin{aligned} \frac{1}{c_0^2} A (i \omega)^2 e^{i(\omega t - kx)} - A (-ik)^2e^{i(\omega t - kx)} + A \beta^2 e^{i(\omega t - kx)} & = 0\\ -\frac{1}{c_0^2} \omega^2 + k^2 + \beta^2 & = 0 \end{aligned}\] La relation de dispersion associée à cette équation est donc : $-\frac{1}{c_0^2} \omega^2 + k^2 + \beta ^2= 0$ ou encore : $\omega =\pm c_0 \sqrt{ k^2 + \beta^2}$
La vitesse de phase est $c_\phi = \frac{\omega}{k} = \pm c_0 \frac{\sqrt{ k^2 + \beta^2}}{k} = \pm c_0 \sqrt{1+\beta^2 / k^2}$. Ces ondes sont dispersives. On rappelle que $k=2\pi/\lambda$, cela implique que les ondes de grandes longueurs d’ondes se propagent plus vite que les petites longueurs d’ondes (quand $k \rightarrow + \infty$, $\lambda \rightarrow 0$ et $c_\phi \rightarrow c_0$ et quand $k \rightarrow 0$, $\lambda \rightarrow \infty$ et $c_\phi > c_0$)

#### KdV

On cherche la solution sous la forme : \[u(x,t) = A e^{i(\omega t - kx)}\] \[\begin{aligned} A (i \omega) e^{i(\omega t - kx)} - A \alpha ik e^{i(\omega t - kx)} - A \beta (-ik)^3 e^{i(\omega t - kx)} & = 0\\ \omega - \alpha k - \beta k^3 & = 0 \end{aligned}\]

La relation de dispersion associée à cette équation est donc : $\omega = \alpha k + \beta k^3$.

La vitesse de phase est $c_\phi = \frac{\omega}{k} = \alpha + \beta k^2$.

On constate que les ondes ne se propagent que vers les $x$ croissants. Ces ondes sont dispersives.On rappelle que $k=2\pi/\lambda$, cela implique que les petites longueurs d’ondes (les vagues les plus rapprochées) se propagent plus vite que les grandes longueurs d’ondes

Poutre d’Euler-Bernoulli

On cherche $v(x, t) = A\exp(i(kx - \omega t))$, en injectant dans l’équation, on obtient:

\[\begin{aligned} -\omega^2 A\exp(i(kx - \omega t)) + c_0^2 k^4 A\exp(i(kx - \omega t)) & = 0\\ \Leftrightarrow \omega^2 & = c_0^2 k^4\\ \Leftrightarrow \omega = \pm c_0 k^2 \end{aligned}\]

On a alors :

\[\begin{aligned} c_\phi & = \frac{\omega}{k} = c_0 k\\ c_g & = \frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dk} = 2c_0 k \end{aligned}\]

# La corde vibrante : ondes Le but de cet exercice est d'étudier la propagation d'ondes dans une corde tendue. Nous allons étudier différentes configurations : - corde infinie, - corde fixée à ses extrémités, - propagation dans plusieurs cordes de masses linéiques différentes accrochées ensemble. On s'intéresse au déplacement transverse de la corde $y(x,t)$ au point $x$ et à l'instant $t$. On note $T$ la tension et la $\mu$ masse linéique. Avec ces notations, le déplacement transverse satisfait à l'équation de d'Alembert : $$\frac{1}{c_0^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = 0$$ avec $c_0 = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ (@) On suppose que la corde est de longueur infinie. Montrer que la solution générale de l'équation des ondes est alors : $$y(x,t) = f(x-c_0 t) + g(x + c_0 t)$$ où $f$ et $g$ sont deux fonctions scalaires. (@) Donner une interprétation physique des termes $f(x-c_0 t)$ et $g(x + c_0 t)$. (@) On suppose qu'à $t=0$, le profil de la corde est celui de la @fig-corde-rect, on suppose aussi que $\frac{\partial y}{\partial t}(x,t=0) = 0$. Tracer la forme de la corde pour $t>0$. ![Profil de la corde à $t = 0$](Figures/ft0.png){#fig-corde-rect} (@) On suppose maintenant que la corde est fixée à ses deux extrémités $x=0$ et $x=L$. On suppose que les ondes se propageant vers les $x>0$ se réfléchissent parfaitement en $x=L$ et que les ondes se propageant vers les $x<0$ se réfléchissent parfaitement en $x=0$. On a alors $f(\alpha) = g(\alpha) = A \sin(k_0 \alpha)$. Dans ce cas montrer que : $$y(x,t) = f(x) \phi(t)$$ D'après la forme de la solution, de quel type de phénomène s'agit-il ? (@) On considère une situation dans laquelle, deux cordes de masses linéiques différentes $\mu_1$ et $\mu_2$ sont couplées en $x=0$ (cf @fig-cordes). On suppose que le deplacement transverse $y(x,t)$ et la pente de la corde $\partial y / \partial x$ sont des grandeurs continues en $x=0$. Un excitateur permet de générer une onde incidente dans la corde 1 de la forme : $$y_I(x,t) = A \exp(i(k_1 x - \omega t))$$ On observe qu'une partie de l'onde se réfléchit en $x=0$ et qu'une autre partie est transmise. On note $R$ et $T$ les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude. Déterminer ces coefficients en fonction des données physiques du problème. ![Cordes de masses linéiques différentes assemblées en $x = 0$](Figures/cordes.png){#fig-cordes} (@) On considère maintenant une situation avec 3 cordes de masses linéiques $\mu_1$, $\mu_2$ et $\mu_3$ (avec $\mu_1<\mu_2<\mu_3$) telle que la corde 2 soit comprise entre les abscisses $x=0$ et $x=L$ (la corde 1 est du côté des $x<0$). Comme pour la question précédente, on suppose qu'un excitateur permet de générer une onde incidente dans la corde 1 : $$y_I(x,t) = A \exp(i(k_1 x - \omega t))$$ On note $R_1$ le coefficient de reflexion en amplitude dans la corde 1 et $R_2$ celui dans la corde 2. On note $T_2$ le coefficient de reflexion en amplitude dans la corde 2 et $T_3$ celui dans la corde 3. Montrer qu'on peut choisir les propriétés physiques de la corde 2 ($L$ et $\mu_2$) pour qu'il n'y ait pas d'onde réfléchie à l'interface entre les cordes 1 et 2 : - $R_1$ = 0 - $L = \lambda_2 / 4$ - $\mu_2 = \sqrt{\mu_1 \mu_3}$ ## Equation de dispersion de plusieurs types d'ondes Pour chacune des équations ci-dessous calculer la relation de dispersion et la vitesse de phase. ::: {} 1. la propagation des ondes dans une corde est modélisée par l'équation de d'Alembert : $$\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = 0$$ 1. la propagation des ondes dans une corde avec amortissement peut être modélisée par l'équation de Klein-Gordon linéarisée : $$\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \beta^2 y= 0$$ 1. la propagation d'ondes de grandes longueurs d'ondes en eau peu profonde peut être modélisée par l'équation de Korteweg de Vries linéarisée : $$\frac{\partial u}{\partial t} + \alpha \frac{\partial u}{\partial x} = \beta\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}$$ 1. la propagation d'ondes de flexion dans les poutres (selon Euler-Bernoulli) est donnée par: $$ \frac{\partial^2 v}{\partial t^2} + c_0^2 \frac{\partial^4 v}{\partial x^4} = 0$$ ::: ------------- :::{.callout-tip title="Solution corde" collapse=true} #### Solution générale de l'équation de d'Alembert On fait le changement de variable suivant : $$\begin{aligned} \xi & = x -c_0 t \\ \eta & = x + c_0 t. \end{aligned}$$ On a donc : $$\begin{aligned} \frac{\partial y}{\partial t} & = \frac{\partial \xi}{\partial t}\frac{\partial y}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial t}\frac{\partial y}{\partial \eta} = -c_0 \frac{\partial y}{\partial \xi} + c_0 \frac{\partial y}{\partial \eta} \\ \frac{\partial y}{\partial x} & = \frac{\partial \xi}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial \eta} = \frac{\partial y}{\partial \xi} + \frac{\partial y}{\partial \eta} \end{aligned}$$ on en déduit : $$\begin{aligned} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} & = c_0^2 \left( \frac{\partial^2 y}{\partial \xi^2} + \frac{\partial^2 y}{\partial \eta^2} - 2\frac{\partial^2 y}{\partial \eta \partial \xi} \right)\\ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} & = \left( \frac{\partial^2 y}{\partial \xi^2} + \frac{\partial^2 y}{\partial \eta^2} + 2\frac{\partial^2 y}{\partial \eta \partial \xi} \right) \end{aligned}$$ En substituant dans l'équation des ondes, on obtient : $$\frac{\partial^2 y}{\partial \xi \partial \eta} = 0$$ D'abord, intégrons cette relation par rapport à $\eta$ : $$\frac{\partial y}{\partial \xi} = h(\xi)$$ Ensuite, intégrons par rapport à $\eta$ : $$y(\xi,\eta) = f(\xi) + g(\eta)$$ avec $f(\xi)$ la primitive de $h(\xi)$.\ Finalement, on a donc: $$y(x,t) = f(x-c_0 t) + g(x + c_0 t)$$ ------------------------------------- #### Interprétation physique Onde progressive, onde rétrograde. ------------------------------------- #### Conditions initiales On note $y_0(x) = y(x,t=0)$. A $t=0$, on a : $$y(x,0) = y_0(x) = f(x)+g(x)$$ et $$\frac{\partial y}{\partial t}(x,t=0) = 0\Leftrightarrow c_0(f'(x)-g'(x))=0\Leftrightarrow f(x) = g(x) + D$$ Par conséquent : $$y_0(x) = 2 g(x) + D$$ et donc $$g(x) = \frac{y_0(x) - D}{2},\quad f(x) = \frac{y_0(x) + D}{2}$$ En remplaçant dans $y(x, t)$, on a $$\begin{aligned} y(x, t) & = f(x - c_0 t) + g(x + c_0 t) \\ & = \frac{y_0(x - c_0t) + D}{2} + \frac{y_0(x + c_0t) - D}{2} \\ & = \frac{1}{2}(y_0(x - c_0 t) + y_0(x + c_0t))\end{aligned}$$ ![Corde au temps $t$](Figures/ft.png){width="70%"} ------------------- #### Onde stationnaire $$\begin{aligned} y(x,t) & = A \left( \sin(k_0(x-c_0t) + \sin(k_0(x+c_0t)\right)\\ & = A\left( \sin(k_0 x) \cos(k_0 c_0 t) - \cos(k_0 x) \sin(k_0 c_0 t) + \sin(k_0 x) \cos(k_0 c_0 t) + \cos(k_0 x) \sin(k_0 c t)\right)\\ & = 2A\left( \sin(k_0 x) \cos(\omega_0 t)\right) \end{aligned}$$ La solution du problème est donc une solution à variables séparées. Cette solution est celle que nous avons utilisée en vibrations. Nous sommes en présence d'un phénomène de vibrations : le temps d'observation est plus grand que le temps de parcours des ondes dans la structure. On voit un exemple concrêt de transition entre ondes et vibrations. ---------------------- #### Corde hétérogène Dans ce problème, on a 2 cordes avec 2 vitesses de propagation différentes : $c_1=\sqrt{\frac{T}{\mu_1}}$ et $c_2=\sqrt{\frac{T}{\mu_2}}$ La solution dans la corde 1 s'écrit : $$y_1(x,t) = Y_I(x,t) + y_R(x,t) = A \exp(i(k_1 x - \omega t)) + AR \exp(i(-k_1 x - \omega t)$$ La solution dans la corde 2 s'écrit : $$y_2(x,t) = Y_T(x,t) = AT \exp(i(k_2 x - \omega t))$$ Le déplacement transverse est continu en $x=0$ : $$y_1(x=0,t) = y_2(x=0,t)$$ par conséquent : $$\begin{aligned} A \exp(i( - \omega t)) + AR \exp(i( - \omega t)) & = AT \exp(i( - \omega t)) \\ 1 + R & = T \end{aligned}$$ La pente est continue en $x=0$ : $$\frac{\partial y_1}{\partial x}(x=0,t) =\frac{\partial y_2}{\partial x}(x=0,t)$$ par conséquent : $$\begin{aligned} ik_1 A \exp(i( - \omega t)) - ik_1 AR \exp(i( - \omega t)) & = ik_2 AT \exp(i( - \omega t)) \\ (1 - R) k_1 & = T k_2 \end{aligned}$$ avec $k_1 = \omega / c_1$ et $k_2 = \omega / c_2$. On a donc deux équations et deux inconnues à résoudre : $$\begin{aligned} 1 + R & = T \\ (1-R)\frac{c_2}{c_1} & = T \end{aligned}$$ Finalement on a : $$\begin{aligned} R & = \frac{c_2-c_1}{c_1 + c_2}\\ T & = \frac{2c_2}{c_1 + c_2} \end{aligned}$$ On remarque que quand $c_1 = c_2$ il n'y a pas de réflexion et le coefficient de transmission en amplitude est égal à 1. ------------ #### Corde triple Les solutions dans les cordes 1, 2 et 3 sont : $$\begin{aligned} y_1(x,t) = Ae^{i(k_1 x-\omega t)} + AR_1 e^{i(-k_1 x-\omega t)} \\ y_2(x,t) = AT_2 e^{i(k_2 x-\omega t)} + AR_2 e^{i(-k_2 x-\omega t)} \\ y_3(x,t) = AT_3 e^{i(k_3 x-\omega t)} \end{aligned}$$ La condition de continuité du déplacement et de la pente en $x=0$ permet de déterminer deux équations : $$\begin{aligned} 1 + R_1 & = T_2 + R_2 \\ (1-R_1) k_1 & = (T_2-R_2) k_2 \end{aligned}$$ La condition de continuité du déplacement et de la pente en $x=L$ permet de déterminer deux autres équations : $$\begin{aligned} T_2 e^{i k_2 L} + R_2 e^{-i k_2 L} & = T_3 e^{i k_3 L} \\ k_2 T_2 e^{i k_2 L} - k_2 R_2 e^{-i k_2 L} & = T_3 k_3 e^{i k_3 L} \end{aligned}$$ Après résolution de ces 4 équations à 4 inconnues ($R_1$, $R_2$, $T_2$ et $T_1$), on impose $R_1=0$. On trouve alors la condition : $$e^{i 2 k_2 L} = \frac{(c_1 - c_2)(c_3+c_2)}{(c_1+c_2)(c_3-c_2)}$$ On remarque que l'hypothèse $\mu_1<\mu_2<\mu_3$ implique $c_1>c_2>c_3$, donc $\frac{(c_1 - c_2)(c_3+c_2)}{(c_1+c_2)(c_3-c_2)}<0$. Une solution possible est de s'arranger pour que $\frac{(c_1 - c_2)(c_3+c_2)}{(c_1+c_2)(c_3-c_2)}=-1$. On a alors $e^{i2k_2L} = -1$. Les conséquences de ce choix sont : - $2 k_2 L = \pi$ donc $L = \lambda_2 / 4$ (rappel $\lambda_2 = \frac{2\pi}{k_2}$) - $\frac{(c_1 - c_2)(c_3+c_2)}{(c_1+c_2)(c_3-c_2)}=-1$ donc $c_2=\sqrt{c_1 c_3}$. ::: :::{.callout-tip title="Solution dispersion" collapse=true} #### Équation de d'Alembert On cherche la solution sous la forme : $$y(x,t) = A e^{i(\omega t - kx)}$$ $$\begin{aligned} \frac{1}{c_0^2} A (i \omega)^2 e^{i(\omega t - kx)} - A (-ik)^2e^{i(\omega t - kx)} & = 0\\ -\frac{1}{c_0^2} \omega^2 + k^2 & = 0 \end{aligned}$$ La relation de dispersion associée à cette équation est donc : $-\frac{1}{c_0^2} \omega^2 + k^2 = 0$.\ La vitesse de phase est $c_\phi = \frac{\omega}{k} = \pm c_0$. On constate que les ondes se propageant dans la corde le font à une vitesse constantes quelle que soit la fréquence. Elles ne sont pas dispersives. -------- #### Klein-Gordon linéarisée On cherche la solution sous la forme : $$y(x,t) = A e^{i(\omega t - kx)}$$ $$\begin{aligned} \frac{1}{c_0^2} A (i \omega)^2 e^{i(\omega t - kx)} - A (-ik)^2e^{i(\omega t - kx)} + A \beta^2 e^{i(\omega t - kx)} & = 0\\ -\frac{1}{c_0^2} \omega^2 + k^2 + \beta^2 & = 0 \end{aligned}$$ La relation de dispersion associée à cette équation est donc : $-\frac{1}{c_0^2} \omega^2 + k^2 + \beta ^2= 0$ ou encore : $\omega =\pm c_0 \sqrt{ k^2 + \beta^2}$\ La vitesse de phase est $c_\phi = \frac{\omega}{k} = \pm c_0 \frac{\sqrt{ k^2 + \beta^2}}{k} = \pm c_0 \sqrt{1+\beta^2 / k^2}$. Ces ondes sont dispersives. On rappelle que $k=2\pi/\lambda$, cela implique que les ondes de grandes longueurs d'ondes se propagent plus vite que les petites longueurs d'ondes (quand $k \rightarrow + \infty$, $\lambda \rightarrow 0$ et $c_\phi \rightarrow c_0$ et quand $k \rightarrow 0$, $\lambda \rightarrow \infty$ et $c_\phi > c_0$) ------------------------ #### KdV On cherche la solution sous la forme : $$u(x,t) = A e^{i(\omega t - kx)}$$ $$\begin{aligned} A (i \omega) e^{i(\omega t - kx)} - A \alpha ik e^{i(\omega t - kx)} - A \beta (-ik)^3 e^{i(\omega t - kx)} & = 0\\ \omega - \alpha k - \beta k^3 & = 0 \end{aligned}$$ La relation de dispersion associée à cette équation est donc : $\omega = \alpha k + \beta k^3$. La vitesse de phase est $c_\phi = \frac{\omega}{k} = \alpha + \beta k^2$. On constate que les ondes ne se propagent que vers les $x$ croissants. Ces ondes sont dispersives.On rappelle que $k=2\pi/\lambda$, cela implique que les petites longueurs d'ondes (les vagues les plus rapprochées) se propagent plus vite que les grandes longueurs d'ondes ---------------- #### Poutre d'Euler-Bernoulli On cherche $v(x, t) = A\exp(i(kx - \omega t))$, en injectant dans l'équation, on obtient: $$\begin{aligned} -\omega^2 A\exp(i(kx - \omega t)) + c_0^2 k^4 A\exp(i(kx - \omega t)) & = 0\\ \Leftrightarrow \omega^2 & = c_0^2 k^4\\ \Leftrightarrow \omega = \pm c_0 k^2 \end{aligned}$$ On a alors : $$\begin{aligned} c_\phi & = \frac{\omega}{k} = c_0 k\\ c_g & = \frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dk} = 2c_0 k \end{aligned}$$ :::