1 Rappels sur l’oscillateur élémentaire

Différents modèles pour les systèmes vibrants à 1 degré de liberté

Une structure qui vibre présente généralement une déformation complexe impliquant des déplacements globaux et/ou locaux qui sont combinaisons de translations et de rotations, chaque élément mobile de la structure pouvant présenter jusqu’à 6 degrés de liberté (3 translations perpendiculaires, 3 rotations d’axes perpendiculaires). Mais en première approximation, il est souvent possible de réduire une vibration complexe à un seul degré de liberté du système. On pourra par exemple étudier les vibrations d’un pont en limitant le déplacement observé à la translation verticale du tablier en son centre. Les vibrations d’une perceuse se ressentent à la poignée dans toutes les directions, mais il est possible de modéliser le système de manière à considérer seulement la vibration en rotation du corps l’outil en considérant comme négligeables les amplitudes des vibrations dans les autres dimensions.

De fait, toute structure vibrante peut faire l’objet d’un modèle impliquant un seul degré de liberté (DDL). S’il s’agit d’une translation, il sera noté $x$, s’il s’agit d’un rotation on choisit de l’appeler $\theta$.

L’apparition d’une vibration nécessite, par ailleurs, d’associer à ce déplacement les caractéristiques dynamique et structurelles du système :

Une caractéristique élastique qui s’oppose au déplacement. On l’appelle raideur et on la note $k$ lorsqu’elle exerce un effort en traction/compression, $K$ lorsqu’elle exerce un couple.
Une caractéristique inertielle qui recueille l’énergie cinétique. En translation, on considère la masse en mouvement, notée $M$. En rotation on considère plutôt le moment d’inertie noté $I$.
Une action extérieure qui met la structure hors d’équilibre. Il s’agit d’une force $F$ parallèle au déplacement en translation ou d’un couple $\Gamma$ dans l’axe de la rotation.

Dans les systèmes réels il faut prendre en compte la dissipation de l’énergie vibratoire qui étouffe le mouvement de la structure libre, en introduisant un coefficient d’amortissement structurel noté $c$.

La figure 1 fait l’inventaire des représentations schématiques qu’on pourra rencontrer par la suite pour les modèle de systèmes vibrants à 1 DDL

La modélisation peut avoir comme objectif :

la prédiction des variations du déplacement lorsque les caractéristiques dynamiques sont connues
l’identification des caractéristiques dynamiques lorsqu’on connait les variations temporelles ou fréquentielles du déplacement, généralement grâce à la mesure.

Une fois décrits les paramètres structurels et dynamiques du système à 1 DDL, ainsi que l’action extérieure, il faut traduire mathématiquement les équilibres qui relient les mouvements du système aux efforts qu’il subit.

1.1 Equation du mouvement du système vibrant élémentaire

L’équilibre dynamique du système de la figure 2 peut s’exprimer de plusieurs manières :

Équilibre des forces dans un système à 1DDL en translation

Par application du principe fondamental de la dynamique : la somme des forces subies par le mobile est égale à la quantité d’accélération, produit de sa masse et de son accélération $m \ddot x$.

Les forces en jeu sont :
- la force $F$ qui excite le système
- la force de rappel élastique proportionnelle au déplacement et à la raideur: $-kx$
- la force amortissante dont on suppose ici qu’il s’agit d’une force visqueuse proportionnelle à la vitesse avec un coefficient constant: $-c \dot x$

et l’équilibre s’écrit finalement : \[m \ddot x = F -k x - c \dot x\] On peut réunir les termes impliquant le déplacement et ses dérivées pour obtenir une expression homogène de l’équation différentielle du mouvement : \[m \ddot x + c \dot x +k x = F \tag{1.1}\]

Par le principe de conservation de l’énergie qui établit que la variation de l’énergie totale du système est égale à la puissance de la force excitatrice moins la puissance dissipée dans les liaisons. Les termes à considérer dans cet équilibre sont :
- la variation de l’énergie potentielle de déformation élastique: $\partial_t(\tfrac{1}{2}kx^2) = kx\dot x$
- la variation de l’énergie cinétique : $\partial_t(\tfrac{1}{2}m\dot x^2) = m\dot x\ddot x$
- la puissance positive de la force $F$ qui excite le système : $F \dot x$
- la puissance négative de la force amortissante : $-c \dot x^2$
On a donc la relation d’équilibre suivante : \[m\dot x\ddot x+ kx\dot x = F \dot x -c \dot x^2\Leftrightarrow m\ddot x+ k x = F -c \dot x\] et on retrouve bien l’équation du mouvement (1.1).
Par l’équation de Lagrange dont on admet l’expression suivante qui introduit le lagrangien $\mathcal L$ comme la différence entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle. et la fonction de dissipation $\mathcal D$ dont dérive la force d’amortissement

\[ \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x} - \frac{\partial \mathcal L}{\partial x}+\frac{\partial \mathcal D}{\partial \dot x} = F \tag{1.2}\] Avec $\mathcal L = \tfrac{1}{2}m\dot x^2 -\tfrac{1}{2}k x^2$ et $\mathcal D = \tfrac{1}{2}c\dot x^2$, le développement de l’équation de Lagrange (1.2) donne l’équation du mouvement (1.1)

1.2 Mouvement libre

Le mouvement libre du système est celui qu’on peut observer, lorsqu’après avoir été mis hors de son équilibre statique, soit par un déplacement, soit par une impulsion de force plus ou moins brève, le système ne subisssant plus aucune action extérieure, évolue librement.

Cette situation de mouvement libre est traduite par l’équation (1.1) avec $F = 0$:

\[m \ddot x + c \dot x +k x = 0 \tag{1.3}\]

La solution de cette équation différentielle du second ordre est connue et de forme générale $x(t) = X e^{st}$ ou $s \in \mathbb{C}$.

Substituer cette forme dans l’équation (1.3) permet d’obtenir l’équation caractéristique suivante :

\[m s^2 + c s + k = 0 \tag{1.4}\]

Les racines $s$ de Équation 1.4 s’écrivent : \[s_{1,2} = -\frac{c}{2m} \pm \frac{\sqrt{c^2-4mk}}{2m} = -\frac{c}{2m} \pm \sqrt{\left(\frac{c}{2m}\right)^2-\frac{k}{m}} = -\lambda\pm\sqrt{\lambda^2-\mu^2}\] avec $\mu^2 = \frac{k}{m}$ et $\lambda = \frac{c}{2m}$.

Elles déterminent la forme générale de l’équation du mouvement libre $x(t)$ comme combinaison linéaire des solutions possibles issues de l’équation caractéristique: \[x(t) = X_1 e^{\left(-\lambda+\sqrt{\lambda^2-\mu^2}\right)t} + X_2 e^{\left(-\lambda-\sqrt{\lambda^2-\mu^2}\right)t} = e^{-\lambda t}\left(X_1 e^{\sqrt{\lambda^2-\mu^2}t} + X_2 e^{-\sqrt{\lambda^2-\mu^2}t}\right)\]

On peut ici tenter de faire le lien entre le phénomène observé et ce modèle mathématique.

D’abord la solution trouvée est modulée par une exponentielle décroissante dont l’argument est directement proportionnel au coefficient d’amortissement $c$. Ce premier terme est bien cohérent avec l’observation d’un étouffement du mouvement. On remarque aussi que plus la masse $m$ du mobile est grande, plus le temps caractéristique d’amortissement $\tau = \lambda^{-1}$ est grand. ce qui correspond à l’observation.

En revanche, le second terme doit faire apparaître le caractère oscillant du mouvement. Pour cela, il faut nécessairement que les arguments des deux exponentielles soient des nombres imaginaires purs et conjugués. On doit donc avoir $\lambda^2 <\mu^2$. Alors : \[x(t) = e^{-\lambda t}\left(X_1 e^{j\sqrt{\mu^2-\lambda^2}t} + X_2 e^{-j\sqrt{\mu^2-\lambda^2}t}\right)\] Cette expression est bien celle d’une oscillation amortie de pulsation $\omega_d = \sqrt{\mu^2-\lambda^2}$. On peut l’écrire de manière à faire apparaître plus explicitement l’oscillation : \[x(t) = e^{-\lambda t}\left(X_a \cos \omega_d t + X_b \sin \omega_d t\right)\] ou encore \[x(t) = e^{-\lambda t}X \cos(\omega_d t + \phi)\]

L’analyse de ces 3 expressions équivalentes du mouvement de l’oscillateur à 1ddl libre de toute action extérieure amène 2 remarques importantes :

La pulsation de l’oscillation dépend de la masse $m$, de la raideur $k$ et du coefficient d’amortissement $c$, c’est à dire des 3 éléments structurels qui régissent l’équilibre dynamique.
L’amplitude et la phase de l’oscillation sont uniquement déterminées par les conditions de ce mouvement à un instant donné. Si on considère l’instant initial $t = 0$, par exemple, on constate que les éléments structurels ne sont pas présents dans les expressions de la position et de la vitesse initiales.

On a vu plus haut que l’amortissement doit demeurer sous un certain seuil critique pour que le mouvement soit vibratoire. Il convient de mener une étude suivant les variations de ce paramètre.

1.2.1 En l’absence d’amortissement

A la limite où le système en oscillation ne dissipe aucune énergie dans ses liaisons, on a un oscillateur élémentaire parfait dont le mouvement ne s’arrête jamais. Cela est traduit par l’expression de la position pour $\lambda = 0$ et $\omega_0 = \omega_d(\lambda = 0) = \mu = \sqrt{\frac{k}{m}}$ : \[x(t) = X \cos(\omega_0 t + \phi)\] Le mouvement décrit par cette expression est le mouvement naturel de la structure sans amortissement.

La pulsation qui le caractérise est appelée pulsation naturelle ou pulsation propre. Elle dépend uniquement des propriétés élastique et inertielle du système, et elle vaut : \[\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\]

1.2.2 En amortissement sous-critique

Tant que $\lambda^2 \le \mu^2$, soit $\xi =\frac{\lambda}{\mu}=\frac{c}{2m\omega_0} < 1$, le mouvement est oscillant amorti et le déplacement s’écrit :

\[x(t) = X e^{-\xi \omega_0 t} \cos(\omega_d t + \phi)\] où $\omega_d$ est la pulsation du système amorti ou pseudo pulsation : \[\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\xi^2}\]

Les constantes d’amplitude et de phase s’identifient en considérant la position et la vitesse du système à un instant donné, par exemple à l’instant initial $t=0$ : \[\begin{aligned} x(t=0) &= x_0 = X \cos \phi \\ \dot x(t=0) &= v_0 = X\left(-\xi\omega_0 \cos \phi-\omega_d\sin\phi\right) \end{aligned}\] d’où l’on tire \[X = \sqrt{x_o^2 + \left(\frac{v_o+\xi \omega_o x_o}{\omega_d}\right)^2}\qquad\qquad \phi = \arctan \left(\frac{v_o+\xi \omega_o x_o}{x_o\omega_d}\right)\]

De façon équivalente, on peut exprimer le déplacement comme suit : \[x(t) = \left(X_a\cos\omega_d t + X_b\sin\omega_d t \right)e^{-\xi \omega_0 t}\] on trouve alors les coefficients d’amplitude $X_a$ et $X_b$ en considérant les conditions initiales comme précédemment.

1.2.3 En amortissement surcritique

Lorsque $\xi \ge 1$, aux fonctions harmoniques se substituent des fonctions hyperboliques. Le mouvement reste amorti, mais il n’est pas oscillant et le déplacement s’écrit :

\[x(t) = e^{-\lambda t}\left(X_1 e^{\alpha t} + X_2 e^{-\alpha t}\right)\] ou encore \[x(t) = e^{-\lambda t}\left(X_a \cosh\alpha t + X_b \sinh \alpha t\right)\] avec $\alpha = \omega_o\sqrt{\xi^2-1}$.

Comme précédemment, les constantes d’amplitude sont dépendantes de l’état initial du système en position et en vitesse.

Mais les vibrations apparaissent et s’établissent souvent sous l’effet d’actions extérieures plus ou moins durables. Ces vibrations dites forcées ont des caractéristiques différentes des vibrations libres. On obtient leur modèle analytique en considérant l’équation du mouvement forcé.

1.2.4 Mouvement forcé

On considère ici Équation 1.1 qui fait apparaître la force extérieure $F(t)$ dépendant du temps: \[m \ddot x(t) + c \dot x(t) +k x(t) = F(t)\] Pour résoudre cette équation quelle que soit la forme temporelle de la force appliquée, on utilise le théorème de Fourier qui exprime que toute fonction continue $f(t)$ du temps peut s’écrire comme une somme continue de fonctions harmoniques pondérées par une fonction de la fréquence $\hat f(\Omega)$ appelée le spectre. \[f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\Omega) e^{j\Omega t} d\Omega \] où le spectre $\hat f(\Omega)$ est une fonction complexe de la pulsation $\Omega$, indépendante du temps $t$.

En appliquant le théorème de Fourier à l’équation du mouvement forcé, on arrive à l’égalité suivante :

\[\int_{-\infty}^{\infty} -m\Omega^2\hat{x}(\Omega) e^{j\Omega t}+j\Omega c \hat{x}(\Omega)e^{j\Omega t}+ k \hat{x}(\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{F}(\Omega) e^{j\Omega t} d\Omega\] et pour chaque valeur de $\Omega$ on obtient l’équation suivante :

\[(-m\Omega^2+j\Omega c + k) \hat{x}(\Omega) = \hat{F}(\Omega)\]

Finalement l’amplitude $\hat x(\Omega)$ de la réponse du système à la force harmonique d’amplitude $\hat F(\Omega)$ s’écrit :

\[\hat{x}(\Omega) = \frac{\hat{F}(\Omega)}{k-m\Omega^2+j\Omega c} \tag{1.5}\]

Et la réponse forcée $x(t)$ du système à la force quelconque $F(t)$ s’obtient par transformée de Fourier :

\[x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{x}(\Omega) e^{j\Omega t} d\Omega\]

La plupart du temps, l’ingénieur s’intéresse à l’amplitude $\hat x(\Omega)$ de la réponse en fonction de la fréquence de la force appliquée $\hat F(\Omega)$ et des paramètres propres à la structure: $\omega_0, \xi$.

On part donc de l’équation (1.5) pour écrire l’amplitude du déplacement en fonction de la fréquence de la façon suivante : \[\hat{x}(\Omega) = \frac{\hat{F}(\Omega)/m}{\omega_0^2-\Omega^2+2j\xi\omega_o\Omega} \]

Cette amplitude est complexe, $\hat x(\Omega) = Xe^{j\Phi}$. Il faut donc considérer :

l’amplitude réelle du déplacement qui est le module de l’amplitude complexe :

\[X(\Omega) = \frac{\hat{F}(\Omega)/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\Omega^2)^2+4\xi^2\omega_o^2\Omega^2}} = \frac{\hat F(\Omega)/k}{\sqrt{\left(1-\left(\frac{\Omega}{\omega_0}\right)^2\right)^2 + \left(2\xi\frac{\Omega}{\omega_0}\right)^2}} \]
la phase du déplacement qui est l’argument de l’amplitude complexe : \[\Phi(\Omega) = \arctan\left(\frac{-2\xi\omega_o\Omega}{\omega_0^2-\Omega^2}\right) \] La phase traduit le retard de la réponse par rapport à la l’excitation à la fréquence $\Omega$. Ce retard est d’autant plus grand que l’amortissement est fort et vaut : $\Phi(\Omega)/\Omega$.

Figure 1.1: Réponse en fréquence en fonction de l’amortissement

Les courbes issues de ces modèles analytiques de l’amplitude et de la phase du déplacement en fonction de la fréquence sont présentées à la Figure 1.1 et pour différentes valeurs de l’amortissement $\xi$. Leur analyse met en évidence un comportement de filtre passe-bas et fait apparaître 3 domaines de fonctionnement caractéristiques:

en basse fréquence les effets inertiels sont très faibles, et la structure a un mouvement quasi-statique d’amplitude $\hat F(0) / k$.
la fréquence augmentant, les effets inertiels s’intensifient et l’amplitude du mouvement augmente (pour un amortissement relativement faible).
au voisinage de la fréquence propre ($\Omega\approx\omega_0$), l’amplitude du déplacement est maximum et d’autant plus grand que l’amortissement est faible : \[X(\Omega=\omega_0) = \frac{F(\omega_0)}{2\xi k}\]. Le pic d’amplitude caractérise la résonance entre le système et l’excitation. On note parallèlement, autour de la résonance, que la phase entre la force appliquée et le déplacement varie de $\pi$ et ce d’autant plus rapidement que l’amortissement est faible.
Pour les plus hautes fréquences, l’amplitude de la vibration forcée du système diminue jusqu’à disparaître. \[X(\Omega \longrightarrow \infty) = 0\] L’énergie apportée par la force est absorbée par sa structure élastique et ses liaisons sans qu’elle soit mise en mouvement.

1.3 Méthodes fréquentielles

On doit considérer ici la réponse du système en fonction de la fréquence de l’excitation. Cette fonction appelée fonction de transfert vibratoire (Frequency Response Function (FRF)), est mesurée généralement en appliquant au système une force de spectre étendu, comme précédemment une impulsion de Dirac ou encore un bruit blanc, et en calculant sa transformée de Fourier. Pour un système linéaire, en notation complexe, le modèle mathématique de cette réponse s’écrit : \[H(\Omega) = \frac{X(\Omega)}{F(\Omega)} = \frac{1}{m}\frac{1}{\omega_0^2-\Omega^2+2j\xi \omega_0\Omega}\] Le module de la fonction de transfert suit donc : \[|H(\Omega)| = \frac{|X(\Omega)|}{|F(\Omega)|} = \frac{1}{m}\sqrt{\frac{1}{(\omega_0^2-\Omega^2)^2 + 4\xi^2 \omega_0^2\Omega^2}}\] Ces fonctions sont représentées sur la Figure 1.1 où l’on voit bien que l’amortissement $\xi$ détermine la forme de la courbe en termes d’amplitude du pic de résonance d’une part, de largeur du même pic d’autre part mais aussi de diamètre du cercle et position du centre dans la représentation dans le plan complexe (Nyquist). Il s’agit donc de trouver un modèle mathématique de ces caractéristiques qui dépend de l’amortissement $\xi$ afin de l’identifier.

1.3.1 Méthode du facteur de qualité

A fréquence nulle l’amplitude de la FRF de la structure dépend seulement de la raideur $k$ : $H(0) = \frac{1}{m\omega_0^2} = \frac{1}{k}$. A la résonance, $\Omega = \omega_0$ et $|H(\omega_0)| = \frac{1}{2\xi\omega_0^2m} = \frac{1}{2\xi k}$. On appelle "facteur de qualité" $Q$ le rapport entre ces deux valeurs mesurées : \[Q = \frac{H(\omega_0)}{H(0)} = \frac{1}{2\xi}\] et par conséquent : \[\xi = \frac{1}{2Q}\]

1.3.2 Méthode de la bande passante à $-3dB$

La largeur du pic de résonance est une fonction croissante de l’amortissement. Pour déterminer cette fonction, on choisit arbitrairement de mesurer la largeur du pic à la moitié de sa hauteur en représentation linéaire de l’énergie normalisée par sa valeur maximale. Pour plus de précision on mesure plutôt cette largeur sur un tracé logarithmique et une échelle verticale en décibels (dB). La mi-hauteur du pic correspond alors à $3dB$ sous le maximum. On doit donc chercher, en fonction de $\xi$, les expressions mathématiques de $\Omega$ telles que \[\frac{|H(\Omega)|^2}{|H(\omega_0)|^2} = \frac{1}{2}\] Ces expressions sont les racines de l’équation suivante : \[\frac{4\xi^2 \omega_0^4}{(\omega_0^2-\Omega^2)^2+4\xi^2\omega_0^2\Omega^2} = \frac{1}{2}\] On identifie les racines : \[\Omega_{1,2}^2 = \omega_0^2(1-2\xi^2\pm4\xi\sqrt{1-\xi^2})\] Dans le cas où l’amortissement est faible ($\xi\ll1$), on obtient : \[\Omega_{1,2} \approx \omega_0(1\pm\xi)\] la largeur à $-3dB$ du pic de résonance est \[\Delta\Omega_{-3dB}=\Omega_1-\Omega_2 = 2\xi\omega_0\] D’où le facteur d’amortissement : \[\xi =\frac{\Delta\Omega_{-3dB}}{2\omega_0}\]

1.4 Ce qu’il faut retenir sur l’oscillateur élémentaire

A ce stade, on a établi le modèle mathématique d’un système vibrant dissipatif décrit avec un seul degré de liberté. On a déterminé l’équation différentielle linéaire qui traduit l’équilibre dynamique entre inertie, élasticité et amortissement.

Il faut considérer deux types de solutions de cette équation d’équilibre qui sont :

la vibration libre résultant simplement d’un état initial hors d’équilibre en position et/ou en vitesse,
la vibration forcée qui est engendrée par l’application d’une force extérieure variant dans le temps.

Finalement on retiendra qu’un système à 1 degré de liberté peut vibrer librement si

il est caractérisé par une masse $m$
sa structure est élastique et caractérisée par une raideur $k$

Ces deux paramètres définissent la fréquence de sa vibration naturelle ou fréquence propre: \[\omega_o = \sqrt{\frac{k}{m}}\]
Si son amortissement structurel est tel que $\xi<1\Leftrightarrow c<2\sqrt{mk}$, alors sa vibration libre présente une fréquence d’oscillation \[\omega_d = \omega_o\sqrt{1-\xi^2}\] et l’amplitude de l’oscillation décroît exponentiellement avec une constante de temps \[\tau_a = \frac{1}{\xi \omega_o}= \frac{2m}{c}\]
Par ailleurs l’amplitude et la phase de l’oscillation libre sont déterminées par l’état initial du système en position et en vitesse.

On peut réduire l’étude de la réponse à un effort extérieur durable et de forme quelconque à la superposition de forces harmoniques. C’est pourquoi on étudie le comportement vibratoire des structures en fonction de la fréquence de l’effort appliqué.

Le système vibrant dissipatif élémentaire se comporte vis à vis des efforts extérieurs dynamiques comme un filtre passe-bas. Le mouvement vibratoire résultant présente les caractéristiques suivantes :

Aux fréquences inférieures à la fréquence propre,
- la force harmonique appliquée est convertie intégralement en une vibration harmonique de même fréquence.
- L’amplitude du mouvement croît avec la fréquence.
- La force et la vibration sont en phase
Autour de la fréquence propre :
- la force harmonique appliquée est convertie intégralement en une vibration harmonique de même fréquence.
- la structure entre en résonance : la vibration est fortement amplifiée. L’amplitude du mouvement atteint un pic de résonance quand la fréquence de l’excitation approche la fréquence propre
- La phase entre force et vibration s’inverse
pour les excitations aux fréquences supérieures :
- la vibration tend à disparaître
- la structure élastique absorbe l’énergie de la force appliquée

# Rappels sur l'oscillateur élémentaire ![Différents modèles pour les systèmes vibrants à 1 degré de liberté](FiguresDiscret/Modeles1DDL.png){#fig:Models1D width="\\textwidth"} Une structure qui vibre présente généralement une déformation complexe impliquant des déplacements globaux et/ou locaux qui sont combinaisons de translations et de rotations, chaque élément mobile de la structure pouvant présenter jusqu'à 6 degrés de liberté (3 translations perpendiculaires, 3 rotations d'axes perpendiculaires). Mais en première approximation, il est souvent possible de réduire une vibration complexe à un seul degré de liberté du système. On pourra par exemple étudier les vibrations d'un pont en limitant le déplacement observé à la translation verticale du tablier en son centre. Les vibrations d'une perceuse se ressentent à la poignée dans toutes les directions, mais il est possible de modéliser le système de manière à considérer seulement la vibration en rotation du corps l'outil en considérant comme négligeables les amplitudes des vibrations dans les autres dimensions. De fait, toute structure vibrante peut faire l'objet d'un modèle impliquant un seul degré de liberté (DDL). S'il s'agit d'une translation, il sera noté $x$, s'il s'agit d'un rotation on choisit de l'appeler $\theta$. L'apparition d'une vibration nécessite, par ailleurs, d'associer à ce déplacement les caractéristiques dynamique et structurelles du système : - Une caractéristique élastique qui s'oppose au déplacement. On l'appelle raideur et on la note $k$ lorsqu'elle exerce un effort en traction/compression, $K$ lorsqu'elle exerce un couple. - Une caractéristique inertielle qui recueille l'énergie cinétique. En translation, on considère la masse en mouvement, notée $M$. En rotation on considère plutôt le moment d'inertie noté $I$. - Une action extérieure qui met la structure hors d'équilibre. Il s'agit d'une force $F$ parallèle au déplacement en translation ou d'un couple $\Gamma$ dans l'axe de la rotation. Dans les systèmes réels il faut prendre en compte la dissipation de l'énergie vibratoire qui étouffe le mouvement de la structure libre, en introduisant un coefficient d'amortissement structurel noté $c$. La figure [1](#fig:Models1D){reference-type="ref" reference="fig:Models1D"} fait l'inventaire des représentations schématiques qu'on pourra rencontrer par la suite pour les modèle de systèmes vibrants à 1 DDL La modélisation peut avoir comme objectif : - la prédiction des variations du déplacement lorsque les caractéristiques dynamiques sont connues - l'identification des caractéristiques dynamiques lorsqu'on connait les variations temporelles ou fréquentielles du déplacement, généralement grâce à la mesure. Une fois décrits les paramètres structurels et dynamiques du système à 1 DDL, ainsi que l'action extérieure, il faut traduire mathématiquement les équilibres qui relient les mouvements du système aux efforts qu'il subit. ## Equation du mouvement du système vibrant élémentaire L'équilibre dynamique du système de la figure [2](#fig:Equilibre1DDL){reference-type="ref" reference="fig:Equilibre1DDL"} peut s'exprimer de plusieurs manières : <figure id="fig:Equilibre1DDL"> <div class="center"> <img src="FiguresDiscret/Bilan1DDL.png" style="width:48.0%" /> </div> <figcaption>Équilibre des forces dans un système à 1DDL en translation</figcaption> </figure> - Par application du **principe fondamental de la dynamique** : la somme des forces subies par le mobile est égale à la quantité d'accélération, produit de sa masse et de son accélération $m \ddot x$. Les forces en jeu sont : - la force $F$ qui excite le système - la force de rappel élastique proportionnelle au déplacement et à la raideur: $-kx$ - la force amortissante dont on suppose ici qu'il s'agit d'une force visqueuse proportionnelle à la vitesse avec un coefficient constant: $-c \dot x$ et l'équilibre s'écrit finalement : $$m \ddot x = F -k x - c \dot x$$ On peut réunir les termes impliquant le déplacement et ses dérivées pour obtenir une expression homogène de l'équation différentielle du mouvement : $$m \ddot x + c \dot x +k x = F $${#eq-equilibre1ddl} - Par le **principe de conservation de l'énergie** qui établit que la variation de l'énergie totale du système est égale à la puissance de la force excitatrice moins la puissance dissipée dans les liaisons. Les termes à considérer dans cet équilibre sont : - la variation de l'énergie potentielle de déformation élastique: $\partial_t(\tfrac{1}{2}kx^2) = kx\dot x$ - la variation de l'énergie cinétique : $\partial_t(\tfrac{1}{2}m\dot x^2) = m\dot x\ddot x$ - la puissance positive de la force $F$ qui excite le système : $F \dot x$ - la puissance négative de la force amortissante : $-c \dot x^2$ On a donc la relation d'équilibre suivante : $$m\dot x\ddot x+ kx\dot x = F \dot x -c \dot x^2\Leftrightarrow m\ddot x+ k x = F -c \dot x$$ et on retrouve bien l'équation du mouvement ([-@eq-equilibre1ddl]). - Par **l'équation de Lagrange** dont on admet l'expression suivante qui introduit le lagrangien $\mathcal L$ comme la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. et la fonction de dissipation $\mathcal D$ dont dérive la force d'amortissement $$ \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x} - \frac{\partial \mathcal L}{\partial x}+\frac{\partial \mathcal D}{\partial \dot x} = F$${#eq-lagrange1ddl} Avec $\mathcal L = \tfrac{1}{2}m\dot x^2 -\tfrac{1}{2}k x^2$ et $\mathcal D = \tfrac{1}{2}c\dot x^2$, le développement de l'équation de Lagrange ([-@eq-lagrange1ddl]) donne l'équation du mouvement ([-@eq-equilibre1ddl]) ## Mouvement libre Le mouvement libre du système est celui qu'on peut observer, lorsqu'après avoir été mis hors de son équilibre statique, soit par un déplacement, soit par une impulsion de force plus ou moins brève, le système ne subisssant plus aucune action extérieure, évolue librement. Cette situation de mouvement libre est traduite par l'équation ([-@eq-equilibre1ddl]) avec $F = 0$: $$m \ddot x + c \dot x +k x = 0 $${#eq-equilibre1ddllibre} La solution de cette équation différentielle du second ordre est connue et de forme générale $x(t) = X e^{st}$ ou $s \in \mathbb{C}$. Substituer cette forme dans l'équation ([-@eq-equilibre1ddllibre]) permet d'obtenir l'équation caractéristique suivante : $$m s^2 + c s + k = 0 $${#eq-caracteristique} Les racines $s$ de @eq-caracteristique s'écrivent : $$s_{1,2} = -\frac{c}{2m} \pm \frac{\sqrt{c^2-4mk}}{2m} = -\frac{c}{2m} \pm \sqrt{\left(\frac{c}{2m}\right)^2-\frac{k}{m}} = -\lambda\pm\sqrt{\lambda^2-\mu^2}$$ avec $\mu^2 = \frac{k}{m}$ et $\lambda = \frac{c}{2m}$. Elles déterminent la forme générale de l'équation du mouvement libre $x(t)$ comme combinaison linéaire des solutions possibles issues de l'équation caractéristique: $$x(t) = X_1 e^{\left(-\lambda+\sqrt{\lambda^2-\mu^2}\right)t} + X_2 e^{\left(-\lambda-\sqrt{\lambda^2-\mu^2}\right)t} = e^{-\lambda t}\left(X_1 e^{\sqrt{\lambda^2-\mu^2}t} + X_2 e^{-\sqrt{\lambda^2-\mu^2}t}\right)$$ On peut ici tenter de faire le lien entre le phénomène observé et ce modèle mathématique. D'abord la solution trouvée est modulée par une exponentielle décroissante dont l'argument est directement proportionnel au coefficient d'amortissement $c$. Ce premier terme est bien cohérent avec l'observation d'un étouffement du mouvement. On remarque aussi que plus la masse $m$ du mobile est grande, plus le temps caractéristique d'amortissement $\tau = \lambda^{-1}$ est grand. ce qui correspond à l'observation. En revanche, le second terme doit faire apparaître le caractère oscillant du mouvement. Pour cela, il faut nécessairement que les arguments des deux exponentielles soient des nombres imaginaires purs et conjugués. On doit donc avoir $\lambda^2 <\mu^2$. Alors : $$x(t) = e^{-\lambda t}\left(X_1 e^{j\sqrt{\mu^2-\lambda^2}t} + X_2 e^{-j\sqrt{\mu^2-\lambda^2}t}\right)$$ Cette expression est bien celle d'une oscillation amortie de pulsation $\omega_d = \sqrt{\mu^2-\lambda^2}$. On peut l'écrire de manière à faire apparaître plus explicitement l'oscillation : $$x(t) = e^{-\lambda t}\left(X_a \cos \omega_d t + X_b \sin \omega_d t\right)$$ ou encore $$x(t) = e^{-\lambda t}X \cos(\omega_d t + \phi)$$ L'analyse de ces 3 expressions équivalentes du mouvement de l'oscillateur à 1ddl libre de toute action extérieure amène 2 remarques importantes : - La pulsation de l'oscillation dépend de la masse $m$, de la raideur $k$ et du coefficient d'amortissement $c$, c'est à dire des 3 éléments structurels qui régissent l'équilibre dynamique. - L'amplitude et la phase de l'oscillation sont uniquement déterminées par les conditions de ce mouvement à un instant donné. Si on considère l'instant initial $t = 0$, par exemple, on constate que les éléments structurels ne sont pas présents dans les expressions de la position et de la vitesse initiales. On a vu plus haut que l'amortissement doit demeurer sous un certain seuil critique pour que le mouvement soit vibratoire. Il convient de mener une étude suivant les variations de ce paramètre. ### En l'absence d'amortissement A la limite où le système en oscillation ne dissipe aucune énergie dans ses liaisons, on a un oscillateur élémentaire parfait dont le mouvement ne s'arrête jamais. Cela est traduit par l'expression de la position pour $\lambda = 0$ et $\omega_0 = \omega_d(\lambda = 0) = \mu = \sqrt{\frac{k}{m}}$ : $$x(t) = X \cos(\omega_0 t + \phi)$$ Le mouvement décrit par cette expression est le mouvement naturel de la structure sans amortissement. La pulsation qui le caractérise est appelée **pulsation naturelle ou pulsation propre**. Elle dépend uniquement des propriétés élastique et inertielle du système, et elle vaut : $$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$$ ### En amortissement sous-critique Tant que $\lambda^2 \le \mu^2$, soit $\xi =\frac{\lambda}{\mu}=\frac{c}{2m\omega_0} < 1$, le mouvement est oscillant amorti et le déplacement s'écrit : $$x(t) = X e^{-\xi \omega_0 t} \cos(\omega_d t + \phi)$$ où $\omega_d$ est la pulsation du système amorti ou pseudo pulsation : $$\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\xi^2}$$ Les constantes d'amplitude et de phase s'identifient en considérant la position et la vitesse du système à un instant donné, par exemple à l'instant initial $t=0$ : $$\begin{aligned} x(t=0) &= x_0 = X \cos \phi \\ \dot x(t=0) &= v_0 = X\left(-\xi\omega_0 \cos \phi-\omega_d\sin\phi\right) \end{aligned}$$ d'où l'on tire $$X = \sqrt{x_o^2 + \left(\frac{v_o+\xi \omega_o x_o}{\omega_d}\right)^2}\qquad\qquad \phi = \arctan \left(\frac{v_o+\xi \omega_o x_o}{x_o\omega_d}\right)$$ De façon équivalente, on peut exprimer le déplacement comme suit : $$x(t) = \left(X_a\cos\omega_d t + X_b\sin\omega_d t \right)e^{-\xi \omega_0 t}$$ on trouve alors les coefficients d'amplitude $X_a$ et $X_b$ en considérant les conditions initiales comme précédemment. ### En amortissement surcritique Lorsque $\xi \ge 1$, aux fonctions harmoniques se substituent des fonctions hyperboliques. Le mouvement reste amorti, mais il n'est pas oscillant et le déplacement s'écrit : $$x(t) = e^{-\lambda t}\left(X_1 e^{\alpha t} + X_2 e^{-\alpha t}\right)$$ ou encore $$x(t) = e^{-\lambda t}\left(X_a \cosh\alpha t + X_b \sinh \alpha t\right)$$ avec $\alpha = \omega_o\sqrt{\xi^2-1}$. Comme précédemment, les constantes d'amplitude sont dépendantes de l'état initial du système en position et en vitesse. ![Réponse libre d'un système sous-amorti](FiguresDiscret/ReponseLibreSsAmortie.png){#fig:reponselibressamortie} Mais les vibrations apparaissent et s'établissent souvent sous l'effet d'actions extérieures plus ou moins durables. Ces vibrations dites forcées ont des caractéristiques différentes des vibrations libres. On obtient leur modèle analytique en considérant l'équation du mouvement forcé. ### Mouvement forcé On considère ici @eq-equilibre1ddl qui fait apparaître la force extérieure $F(t)$ dépendant du temps: $$m \ddot x(t) + c \dot x(t) +k x(t) = F(t)$$ Pour résoudre cette équation quelle que soit la forme temporelle de la force appliquée, on utilise le théorème de Fourier qui exprime que toute fonction continue $f(t)$ du temps peut s'écrire comme une somme continue de fonctions harmoniques pondérées par une fonction de la fréquence $\hat f(\Omega)$ appelée le spectre. $$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\Omega) e^{j\Omega t} d\Omega $$ où le spectre $\hat f(\Omega)$ est une fonction complexe de la pulsation $\Omega$, indépendante du temps $t$. En appliquant le théorème de Fourier à l'équation du mouvement forcé, on arrive à l'égalité suivante : $$\int_{-\infty}^{\infty} -m\Omega^2\hat{x}(\Omega) e^{j\Omega t}+j\Omega c \hat{x}(\Omega)e^{j\Omega t}+ k \hat{x}(\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{F}(\Omega) e^{j\Omega t} d\Omega$$ et pour chaque valeur de $\Omega$ on obtient l'équation suivante : $$(-m\Omega^2+j\Omega c + k) \hat{x}(\Omega) = \hat{F}(\Omega)$$ Finalement l'amplitude $\hat x(\Omega)$ de la réponse du système à la force harmonique d'amplitude $\hat F(\Omega)$ s'écrit : $$\hat{x}(\Omega) = \frac{\hat{F}(\Omega)}{k-m\Omega^2+j\Omega c} $${#eq-frf0} Et la réponse forcée $x(t)$ du système à la force quelconque $F(t)$ s'obtient par transformée de Fourier : $$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{x}(\Omega) e^{j\Omega t} d\Omega$$ La plupart du temps, l'ingénieur s'intéresse à l'amplitude $\hat x(\Omega)$ de la réponse en fonction de la fréquence de la force appliquée $\hat F(\Omega)$ et des paramètres propres à la structure: $\omega_0, \xi$. On part donc de l'équation ([-@eq-frf0]) pour écrire l'amplitude du déplacement en fonction de la fréquence de la façon suivante : $$\hat{x}(\Omega) = \frac{\hat{F}(\Omega)/m}{\omega_0^2-\Omega^2+2j\xi\omega_o\Omega} $$ Cette amplitude est complexe, $\hat x(\Omega) = Xe^{j\Phi}$. Il faut donc considérer : - l'amplitude réelle du déplacement qui est le module de l'amplitude complexe : $$X(\Omega) = \frac{\hat{F}(\Omega)/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\Omega^2)^2+4\xi^2\omega_o^2\Omega^2}} = \frac{\hat F(\Omega)/k}{\sqrt{\left(1-\left(\frac{\Omega}{\omega_0}\right)^2\right)^2 + \left(2\xi\frac{\Omega}{\omega_0}\right)^2}} $$ - la phase du déplacement qui est l'argument de l'amplitude complexe : $$\Phi(\Omega) = \arctan\left(\frac{-2\xi\omega_o\Omega}{\omega_0^2-\Omega^2}\right) $$ La phase traduit le retard de la réponse par rapport à la l'excitation à la fréquence $\Omega$. Ce retard est d'autant plus grand que l'amortissement est fort et vaut : $\Phi(\Omega)/\Omega$. ![Réponse en fréquence en fonction de l'amortissement](FiguresDiscret/Rep1DDL_Toutes.png){#fig-rep1ddltoutes width="100%"} Les courbes issues de ces modèles analytiques de l'amplitude et de la phase du déplacement en fonction de la fréquence sont présentées à la @fig-rep1ddltoutes et pour différentes valeurs de l'amortissement $\xi$. Leur analyse met en évidence un comportement de filtre passe-bas et fait apparaître 3 domaines de fonctionnement caractéristiques: - en basse fréquence les effets inertiels sont très faibles, et la structure a un mouvement quasi-statique d'amplitude $\hat F(0) / k$. - la fréquence augmentant, les effets inertiels s'intensifient et l'amplitude du mouvement augmente (pour un amortissement relativement faible). - au voisinage de la fréquence propre ($\Omega\approx\omega_0$), l'amplitude du déplacement est maximum et d'autant plus grand que l'amortissement est faible : $$X(\Omega=\omega_0) = \frac{F(\omega_0)}{2\xi k}$$. Le pic d'amplitude caractérise la résonance entre le système et l'excitation. On note parallèlement, autour de la résonance, que la phase entre la force appliquée et le déplacement varie de $\pi$ et ce d'autant plus rapidement que l'amortissement est faible. - Pour les plus hautes fréquences, l'amplitude de la vibration forcée du système diminue jusqu'à disparaître. $$X(\Omega \longrightarrow \infty) = 0$$ L'énergie apportée par la force est absorbée par sa structure élastique et ses liaisons sans qu'elle soit mise en mouvement. ## Méthodes fréquentielles On doit considérer ici la réponse du système en fonction de la fréquence de l'excitation. Cette fonction appelée fonction de transfert vibratoire (*Frequency Response Function (FRF))*, est mesurée généralement en appliquant au système une force de spectre étendu, comme précédemment une impulsion de Dirac ou encore un bruit blanc, et en calculant sa transformée de Fourier. Pour un système linéaire, en notation complexe, le modèle mathématique de cette réponse s'écrit : $$H(\Omega) = \frac{X(\Omega)}{F(\Omega)} = \frac{1}{m}\frac{1}{\omega_0^2-\Omega^2+2j\xi \omega_0\Omega}$$ Le module de la fonction de transfert suit donc : $$|H(\Omega)| = \frac{|X(\Omega)|}{|F(\Omega)|} = \frac{1}{m}\sqrt{\frac{1}{(\omega_0^2-\Omega^2)^2 + 4\xi^2 \omega_0^2\Omega^2}}$$ Ces fonctions sont représentées sur la @fig-rep1ddltoutes où l'on voit bien que l'amortissement $\xi$ détermine la forme de la courbe en termes d'amplitude du pic de résonance d'une part, de largeur du même pic d'autre part mais aussi de diamètre du cercle et position du centre dans la représentation dans le plan complexe (Nyquist). Il s'agit donc de trouver un modèle mathématique de ces caractéristiques qui dépend de l'amortissement $\xi$ afin de l'identifier. ### Méthode du facteur de qualité A fréquence nulle l'amplitude de la FRF de la structure dépend seulement de la raideur $k$ : $H(0) = \frac{1}{m\omega_0^2} = \frac{1}{k}$. A la résonance, $\Omega = \omega_0$ et $|H(\omega_0)| = \frac{1}{2\xi\omega_0^2m} = \frac{1}{2\xi k}$. On appelle \"facteur de qualité\" $Q$ le rapport entre ces deux valeurs mesurées : $$Q = \frac{H(\omega_0)}{H(0)} = \frac{1}{2\xi}$$ et par conséquent : $$\xi = \frac{1}{2Q}$$ ### Méthode de la bande passante à $-3dB$ La largeur du pic de résonance est une fonction croissante de l'amortissement. Pour déterminer cette fonction, on choisit arbitrairement de mesurer la largeur du pic à la moitié de sa hauteur en représentation linéaire de l'énergie normalisée par sa valeur maximale. Pour plus de précision on mesure plutôt cette largeur sur un tracé logarithmique et une échelle verticale en décibels (dB). La mi-hauteur du pic correspond alors à $3dB$ sous le maximum. On doit donc chercher, en fonction de $\xi$, les expressions mathématiques de $\Omega$ telles que $$\frac{|H(\Omega)|^2}{|H(\omega_0)|^2} = \frac{1}{2}$$ Ces expressions sont les racines de l'équation suivante : $$\frac{4\xi^2 \omega_0^4}{(\omega_0^2-\Omega^2)^2+4\xi^2\omega_0^2\Omega^2} = \frac{1}{2}$$ On identifie les racines : $$\Omega_{1,2}^2 = \omega_0^2(1-2\xi^2\pm4\xi\sqrt{1-\xi^2})$$ Dans le cas où l'amortissement est faible ($\xi\ll1$), on obtient : $$\Omega_{1,2} \approx \omega_0(1\pm\xi)$$ la largeur à $-3dB$ du pic de résonance est $$\Delta\Omega_{-3dB}=\Omega_1-\Omega_2 = 2\xi\omega_0$$ D'où le facteur d'amortissement : $$\xi =\frac{\Delta\Omega_{-3dB}}{2\omega_0}$$ ## Ce qu'il faut retenir sur l'oscillateur élémentaire A ce stade, on a établi le modèle mathématique d'un système vibrant dissipatif décrit avec un seul degré de liberté. On a déterminé l'équation différentielle linéaire qui traduit l'équilibre dynamique entre inertie, élasticité et amortissement. Il faut considérer deux types de solutions de cette équation d'équilibre qui sont : - la **vibration libre** résultant simplement d'un état initial hors d'équilibre en position et/ou en vitesse, - la **vibration forcée** qui est engendrée par l'application d'une force extérieure variant dans le temps. Finalement on retiendra qu'un système à 1 degré de liberté peut vibrer librement si - il est caractérisé par une masse $m$ - sa structure est élastique et caractérisée par une raideur $k$ Ces deux paramètres définissent la fréquence de sa vibration naturelle ou **fréquence propre**: $$\omega_o = \sqrt{\frac{k}{m}}$$ - Si son amortissement structurel est tel que $\xi<1\Leftrightarrow c<2\sqrt{mk}$, alors sa vibration libre présente une fréquence d'oscillation $$\omega_d = \omega_o\sqrt{1-\xi^2}$$ et l'amplitude de l'oscillation décroît exponentiellement avec une constante de temps $$\tau_a = \frac{1}{\xi \omega_o}= \frac{2m}{c}$$ - Par ailleurs l'amplitude et la phase de l'oscillation libre sont déterminées par l'état initial du système en position et en vitesse. On peut réduire l'étude de la réponse à un effort extérieur durable et de forme quelconque à la superposition de forces harmoniques. C'est pourquoi on étudie le comportement vibratoire des structures en fonction de la fréquence de l'effort appliqué. Le système vibrant dissipatif élémentaire se comporte vis à vis des efforts extérieurs dynamiques comme un filtre passe-bas. Le mouvement vibratoire résultant présente les caractéristiques suivantes : - Aux fréquences inférieures à la fréquence propre, - la force harmonique appliquée est convertie intégralement en une vibration harmonique de même fréquence. - L'amplitude du mouvement croît avec la fréquence. - La force et la vibration sont en phase - Autour de la fréquence propre : - la force harmonique appliquée est convertie intégralement en une vibration harmonique de même fréquence. - la structure entre en résonance : la vibration est fortement amplifiée. L'amplitude du mouvement atteint un pic de résonance quand la fréquence de l'excitation approche la fréquence propre - La phase entre force et vibration s'inverse - pour les excitations aux fréquences supérieures : - la vibration tend à disparaître - la structure élastique absorbe l'énergie de la force appliquée