19 Principe de fonctionnement de la sismique réfraction

L’objectif du problème est de poser les bases d’une méthode très utilisée en sismologie : la sismique réfraction. Cette méthode permet de retrouver les vitesses de propagation des ondes longitudinales et l’épaisseur des couches d’un sol composé de plusieurs couches de matériaux homogènes (supposés être des solides élastiques homogènes et isotropes caractérisés par leur masse volumique $\rho_i$ et leurs coefficients de Lamé $\lambda_i$ et $\mu_i$ avec $i$ l’indice de la couche).

Figure 19.1: (A gauche) Illustration des principaux chemins de propagation entre une source et un réseau de capteurs sismiques pour une onde longitudinale dans une configuration à 2 couches pour la technique de sismique réfraction. (A droite) signaux sismiques reçus par les capteurs.

La Figure 19.1 présente 3 chemins de propagation pour une onde longitudinale émise par une source et reçue par un réseau de capteurs dans une configuration à 2 couches ($e$ est l’épaisseur de la première couche) :

A le chemin de l’onde directe qui va directement de la source au capteur en se propageant en ligne droite dans le solide 1,
B le chemin de l’onde réfléchie qui est l’onde émise par la source qui s’est propagée dans le solide 1 puis s’est réfléchie sur l’interface solide 1/ solide 2 et s’est ensuite propagée jusqu’aux capteurs,
C le chemin de l’onde dite de réfraction qui correspond à l’onde émise à l’angle critique qui se propage d’abord dans le solide 1 puis à la surface du solide 2 avant de rayonner à nouveau dans le solide 1 jusqu’aux capteurs.

La sismique réfraction est basée sur la mesure du temps de propagation du premier signal reçu par chaque capteur. Dans le problème, nous allons montrer que suivant la position du capteur (notée $x$) la première onde reçue peut avoir suivi le chemin A, B ou C.

Etablir l’équation de Lamé-Navier : \[\rho \frac{\partial^2 \underline{u}}{\partial t^2} = (\lambda + \mu) \underline{\nabla} \left( \underline{\nabla} \cdot \underline{u} \right) + \mu \underline{\nabla^2}\underline{u}\] avec $\underline{u}(\underline{x},t)$ le vecteur déplacement au point $x$ à l’instant $t$.
Etablir l’équation de dispersion de l’équation de Lamé-Navier : \[\left( \underline{U}\cdot\underline{k} \right) \left( \rho \omega^2 - (\lambda + 2\mu)|\underline{k}|^2 \right) =0\] où $\underline{U}$ est l’amplitude du vecteur déplacement, $\underline{k}$ est le vecteur d’onde et $\omega$ est la pulsation.
En déduire que dans les solides, il existe deux polarisations : les ondes longitudinales et les ondes transverses et exprimer leurs vitesses de phase $c_L$ et $c_T$ en fonction des paramètres $\rho$, $\lambda$ et $\mu$.
Quel est le temps de propagation noté $t_A(x)$ d’une onde longitudinale entre la source et un capteur en fonction de $x$ par le trajet direct (trajet A Figure 19.1) ?
On considère deux solides en contact. Une source placée dans le solide 1 émet des ondes longitudinales et transverses avec un angle $\theta_i$ par rapport à la verticale (cf Figure 19.2). Rappeler les lois de Snell-Descartes et compléter la Figure 19.2 dans les cas où $c_{L1}>c_{L2}$ et $c_{L1}<c_{L2}$ en prenant soin de faire apparaître les polarisations.

Figure 19.2: Réflexion et transmission entre deux solides
Lorsqu’il existe, quel est le temps de propagation noté $t_B(x)$ d’une onde longitudinale entre la source et un capteur en fonction de $x$ par le trajet B (une seule réflexion sur l’interface solide/solide) ?
Dans le cas où $c_{L1}<c_{L2}$, il existe un angle d’incidence, appelé angle critique, pour lequel la réflexion est totale. Calculer $\theta_{cr}$ en fonction de $c_{L1}$ et $c_{L2}$.
On se place dans le cas de l’incidence critique. La composante suivant $\underline{e_x}$ du champ de déplacement transmis dans le solide 2 est alors : \[u_2(x,z,t) = A e^{i(k_{L2} x - \omega t)} e^{-\alpha (z-e)} \tag{19.1}\] avec $\alpha \in \mathcal{R}^+$, et $e$ l’épaisseur du solide 1 (cf Figure 19.1). De quel type d’onde s’agit-il ? Quelle est sa vitesse de propagation ?
En se propageant l’onde décrite par l’Équation 19.1 rayonne dans le solide 1 comme l’illustre la Figure 19.1. Quelle est la valeur de $\theta$ l’angle de l’onde rayonnée dans le solide 1 ? Justifier.
Montrer que lorsqu’il existe, le temps de propagation noté $t_C(x)$ d’une onde longitudinale entre la source et un capteur par le trajet $C$ s’écrit : \[t_C(x) = \frac{x}{c_{L2}} + \frac{2e}{c_{L1}}\cos{\theta_{cr}}\]
Montrer que cette expression peut se mettre sous la forme : \[t_C(x) = \frac{x}{c_{L2}} + 2e \sqrt{\frac{1}{c^2_{L1}}-\frac{1}{c^2_{L2}}} \label{eq:refractee}\]
La Figure 19.3 présente l’évolution du temps d’arrivée théorique en fonction de la distance du capteur pour les trois chemins de propagation : $t_A(x)$, $t_B(x)$ et $t_C(x)$. Ce type de tracé est appelé courbes dromochroniques. Identifier les paramètres $V_1$, $V_2$, $V_3$ et $t_0$ en fonction des données du problème.

Figure 19.3: Courbes dromochroniques
Pourquoi seule les ondes longitudinales passant par les chemins A et C ont un intérêt dans cette méthode ?
Montrer que le point $x_c$ de la Figure 19.3 appelé distance de croisement a pour expression : \[x_C = 2 e \sqrt{\frac{c_{L1}+c_{L2}}{c_{L2}-c_{L1}}} \label{eq:croisement}\]
On dispose de 7 capteurs pour mesurer les signaux sismiques. Un traitement adapté (non précisé ici) permet d’extraire de chaque signal le premier temps d’arrivée. La position des capteurs et le premier temps d’arrivée sont donnés dans le tableau 1. Tracer les courbes dromochroniques correspondantes.

Positions et temps d’arrivée sur les capteurs sismiques
Capteur	position (m)	temps 1ère arrivée (s)
1	10	0.01
2	20	0.02
3	30	0.03
4	40	0.034
5	50	0.038
6	60	0.042
7	70	0.046

A partir des courbes dromochroniques estimer les vitesses de propagation des ondes longitudinales dans les deux couches $c_{L1}$ et $c_{L2}$ et l’épaisseur de la première couche $e$.
Pour ce type de géométrie quelle limitation est prévisible ?

Solution

Équation de Lamé–Navier

On obtient l’équation de Lamé Navier en combinant l’équation de bilan de la quantité de mouvement : \[\rho \frac{\partial^2 \underline{u}}{\partial t^2} = \underline{div}\underline{\underline{\sigma}}\] la relation de Hooke : \[\underline{\underline{\sigma}}=\lambda tr(\underline{\underline{\epsilon}})\underline{\underline{I}} + 2 \mu \underline{\underline{\epsilon}}\] et la définition du tenseur des déformations linéarisées : \[\underline{\underline{\epsilon}} = \frac{1}{2}\left( \underline{{\underline{\nabla}}} \underline{u} + \underline{{\underline{\nabla}}}^T \underline{u} \right)\] Soit en notation indicielle : \[\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} = \lambda \delta_{ij} \frac{\partial \epsilon_{kk}}{\partial x_j} + 2 \mu \frac{\partial \epsilon_{ij}}{\partial x_j}\] et donc : \[\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} = \lambda \delta_{ij} \frac{\partial^2 u_k}{\partial x_j \partial x_k} + \mu \frac{\partial }{\partial x_j} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)\] En regroupant les différents termes, on obtient : \[\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} = (\lambda+\mu) \frac{\partial^2 u_k}{\partial x_i \partial x_k} + \mu \frac{\partial^2 u_i }{\partial x_j^2}\] Soit sous forme intrinsèque : \[\rho \frac{\partial^2 \underline{u}}{\partial t^2} = (\lambda + \mu) \underline{\nabla} \left( \underline{\nabla} . \underline{u} \right) + \mu \underline{\nabla^2}\underline{u}\]

Équation de dispersion

On cherche la solution sous la forme d’une onde plane progressive harmonique : \[\underline{u} = \underline{U} e^{i(\underline{k}\cdot\underline{x}-\omega t)}\] En injectant cette solution dans l’équation de Lamé-Navier, on trouve : \[\rho \omega^2 \underline{U} e^{i(\underline{k}\cdot\underline{x}-\omega t)} = (\lambda + \mu) (\underline{U}\cdot\underline{k}) \underline{k} e^{i(\underline{k}\cdot\underline{x}-\omega t)} + \mu |\underline{k}|^2 \underline{U} e^{i(\underline{k}\cdot\underline{x}-\omega t)}\] En simplifiant d’abord, puis en multipliant par $\cdot\underline{k}$, on trouve : \[\left( \underline{U}\cdot\underline{k} \right) \left( \rho \omega^2 - (\lambda + 2\mu)|\underline{k}|^2 \right) =0\]

Types d’ondes

Pour satisfaire la relation de dispersion, il y a deux possibilités :

$\rho \omega^2 = (\lambda + 2 \mu) |\underline{k}|^2$,
$\underline{U} \cdot \underline{k} = 0$.

Les solutions de l’équation $\rho \omega^2 = (\lambda + 2 \mu) |\underline{k}|^2$, sont : \[\omega = \pm \sqrt{(\lambda + 2 \mu)/\rho} |\underline{k}|\]

Les solutions associées à $\underline{U} . \underline{k} = 0$, se trouvent en injectant cette relation dans la relation de dispersion : \[\rho \omega^2 \underline{U} = \mu |\underline{k}|^2 \underline{U}\] soit : \[\omega = \pm \sqrt{\mu/ \rho} |\underline{k}|\]

On voit qu’il y a plusieurs vitesses de phase ($c_\phi=\omega/k$) associées à la propagation d’ondes dans un solide élastique isotrope :

$c_{\phi_1} = \sqrt{(\lambda + 2 \mu)/\rho}$
$c_{\phi_2}= \sqrt{\mu/ \rho}$

Les ondes ayant une vitesse de phase $c_{\phi_1}= \sqrt{(\lambda + 2 \mu)/\rho}$ doivent vérifier l’égalité $\underline{U} = (\underline{U}. \underline{k})\underline{k}/|\underline{k}|^2$, donc la direction du déplacement $\underline{U}$ est colinéaire à la direction de l’onde $\underline{k}$ : ce sont des ondes longitudinales, on notera $c_{\phi_1} = c_L$.

Les ondes ayant une vitesse de phase $c_{\phi_2}= \sqrt{\mu/ \rho}$ doivent vérifier l’égalité $\underline{U} . \underline{k} = 0$, donc la direction du déplacement $\underline{U}$ est perpendiculaire à la direction de l’onde $\underline{k}$ :
ce sont des ondes transverses, on notera $c_{\phi_2} = c_T$.

Par conséquent, dans les solides élastiques, les ondes peuvent être longitudinales ou transverses. Généralement, on a la superposition des deux types d’ondes. Il est important de remarquer que les ondes longitudinales se propagent toujours plus vite que les ondes transverses puisque $c_L > c_T$.

Temps de propagation

\[t_A =\frac{x}{c_{L1}}\]

Reflexion-transmission

Temps de propagation avec reflexion

\[t_B(x) = \frac{2\sqrt{e^2 + (x/2)^2}}{c_{L1}}\]

Angle critique

L’angle critique est l’angle incident correspondant à un angle transmis égal à $\pi/2$. D’après les lois de Snell-Descartes : \[\frac{\sin \theta_{cr}}{c_{L1}} = \frac{\sin(\pi/2)}{c_{L2}}\] Par conséquent : \[\sin \theta_{cr} = \frac{c_{L1}}{c_{L2}}\]

Onde évanescente

Il s’agit d’une onde progressive dans la direction des $x$ croissants. Elle est exponentiellement atténuée dans la direction $z$. La vitesse de propagation est : \[V = \frac{\omega}{k_{L2}}\] or $k_{L2} = \omega/c_{L2}$ donc : \[V = c_{L2}\]

Angle rayonné

D’après les lois de Snell-Descartes, la valeur est $\theta = \theta_{cr}$

Temps de propagation C

On commence par un peu de géométrie : le trajet C est constitué de 3 segments:

le segment reliant la source à l’interface. Ce segment fait un angle $\theta_{cr}$ avec la verticale, sa longueur est donc : $L = \frac{e}{\cos \theta_{cr}}$
le segment symétrique reliant l’onde rasante à la surface. Il a la même longueur $L$ que le premier segment.
le segment constitué par l’onde rasante, sa longueur dépend de $x$ moins la projection des 2 premiers segments : $x-2 e\tan\theta_{cr}$ ou $x-2\sqrt{L^2-e^2}$

Par conséquent le temps de propagation est : \[t_C(x) = \frac{e}{c_{L1} \cos \theta_{cr}} + \frac{e}{c_{L1} \cos \theta_{cr}} + \frac{x-2 e\tan\theta_{cr}}{c_{L2}}\]

\[t_C(x) = \frac{2 e}{c_{L1} \cos \theta_{cr}} + \frac{x-2 e\tan\theta_{cr}}{c_{L2}}\]

\[t_C(x) = \frac{x}{c_{L2}} + \frac{2 e }{c_{L1}} \left(\frac{1}{\cos \theta_{cr}} - \frac{ c_{L1} \tan\theta_{cr}}{c_{L2}} \right)\]

\[t_C(x) = \frac{x}{c_{L2}} + \frac{2 e }{c_{L1}} \left( \frac{1- \sin^2 \theta_{cr}}{\cos \theta_{cr}} \right)\]

\[t_C(x) = \frac{x}{c_{L2}} + \frac{2e}{c_{L1}}\cos{\theta_{cr}}\]

On trouve la forme demandée en remarquant que : \[\begin{aligned} \cos \theta_{cr} &= \sqrt{1-\sin^2 \theta_{cr}} \\ &= \sqrt{1-\frac{c^2_{L1}}{c^2_{L2}}} \\ &= \sqrt{\frac{c^2_{L2}- c^2_{L1}}{c^2_{L2}}} \end{aligned}\]

Courbes dromochroniques

La figure présente 3 courbes

la parabole correspond à $t_B(x)$, et donc $V_1=c_{L1}$,
la courbe 2 à une ordonnée à l’origine nulle, elle correspond à la propagation directe $t_A(x)$ : $V_2 = c_{L1}$
la courbe 3 correspond donc à l’onde réfracté $t_C(x)$. D’après l’équation [eq:refractee] on a $V_3 = c_{L2}$ et $t_0 = 2e \sqrt{\frac{1}{c^2_{L1}}-\frac{1}{c^2_{L2}}}$

Vitesse des ondes

La méthode utilisée repose sur la détection des premières arrivées. Les ondes longitudinales passant par les chemins A et C sont les ondes les plus rapides et aucune autre onde ne pourra arriver avant et donc seules ces ondes seront détectées. Il est donc inutile de les prendre en compte.

Courbes expérimentales

Vitesses de propagation

La pente de la courbe bleue est : \[\frac{1}{c_{L1}} \approx \frac{0.07}{70} \approx 1e-3\] Par conséquent : $c_{L1}\approx 1000$m/s

La pente de la courbe verte est : \[\frac{1}{c_{L2}} \approx \frac{0.046-0.019}{70} \approx \frac{0.028}{70} \approx 4e-3\] Par conséquent : $c_{L2}\approx 2500$m/s

La distance de croisement est $xc \approx 30$s. D’après la formule [eq:croisement] : \[x_C = 2 e \sqrt{\frac{c_{L1}+c_{L2}}{c_{L2}-c_{L1}}}\] donc \[e = \frac{x_C}{2}\sqrt{\frac{c_{L2}-c_{L1}}{c_{L2}+c_{L1}}}\] et donc \[e \approx \frac{30}{2}\sqrt{\frac{2500-1000}{2500+1000}}\approx 15 \sqrt{\frac{1500}{3500}}\approx 15 \sqrt{0.4} \approx 10 m\]

Limitations géométriques

La méthode ne fonctionne que si $c_{L2} > c_{L1}$ sinon il n’y a pas d’onde réfractée mais seulement une onde réfléchie. L’onde la plus rapide étant l’onde directe, seule la vitesse de la première couche pourra être estimée à partir des premiers temps d’arrivée.

# Principe de fonctionnement de la sismique réfraction L'objectif du problème est de poser les bases d'une méthode très utilisée en sismologie : la sismique réfraction. Cette méthode permet de retrouver les vitesses de propagation des ondes longitudinales et l'épaisseur des couches d'un sol composé de plusieurs couches de matériaux homogènes (supposés être des solides élastiques homogènes et isotropes caractérisés par leur masse volumique $\rho_i$ et leurs coefficients de Lamé $\lambda_i$ et $\mu_i$ avec $i$ l'indice de la couche). ::: {#fig-illustration layout-ncol=2} ![](Figures/sismique_refraction_illustration.png){width="49%"} ![](Figures/illustrations_signaux.png){width="49%"} (A gauche) Illustration des principaux chemins de propagation entre une source et un réseau de capteurs sismiques pour une onde longitudinale dans une configuration à 2 couches pour la technique de sismique réfraction. (A droite) signaux sismiques reçus par les capteurs. ::: La @fig-illustration présente 3 chemins de propagation pour une onde longitudinale émise par une source et reçue par un réseau de capteurs dans une configuration à 2 couches ($e$ est l'épaisseur de la première couche) : - A le chemin de l'onde directe qui va directement de la source au capteur en se propageant en ligne droite dans le solide 1, - B le chemin de l'onde réfléchie qui est l'onde émise par la source qui s'est propagée dans le solide 1 puis s'est réfléchie sur l'interface solide 1/ solide 2 et s'est ensuite propagée jusqu'aux capteurs, - C le chemin de l'onde dite de réfraction qui correspond à l'onde émise à l'angle critique qui se propage d'abord dans le solide 1 puis à la surface du solide 2 avant de rayonner à nouveau dans le solide 1 jusqu'aux capteurs. La sismique réfraction est basée sur la mesure du temps de propagation du premier signal reçu par chaque capteur. Dans le problème, nous allons montrer que suivant la position du capteur (notée $x$) la première onde reçue peut avoir suivi le chemin A, B ou C. 1. Etablir l'équation de Lamé-Navier : $$\rho \frac{\partial^2 \underline{u}}{\partial t^2} = (\lambda + \mu) \underline{\nabla} \left( \underline{\nabla} \cdot \underline{u} \right) + \mu \underline{\nabla^2}\underline{u}$$ avec $\underline{u}(\underline{x},t)$ le vecteur déplacement au point $x$ à l'instant $t$. 2. Etablir l'équation de dispersion de l'équation de Lamé-Navier : $$\left( \underline{U}\cdot\underline{k} \right) \left( \rho \omega^2 - (\lambda + 2\mu)|\underline{k}|^2 \right) =0$$ où $\underline{U}$ est l'amplitude du vecteur déplacement, $\underline{k}$ est le vecteur d'onde et $\omega$ est la pulsation. 3. En déduire que dans les solides, il existe deux polarisations : les ondes longitudinales et les ondes transverses et exprimer leurs vitesses de phase $c_L$ et $c_T$ en fonction des paramètres $\rho$, $\lambda$ et $\mu$. 4. Quel est le temps de propagation noté $t_A(x)$ d'une onde longitudinale entre la source et un capteur en fonction de $x$ par le trajet direct (trajet A @fig-illustration) ? 5. On considère deux solides en contact. Une source placée dans le solide 1 émet des ondes longitudinales et transverses avec un angle $\theta_i$ par rapport à la verticale (cf @fig-snell-descartes). Rappeler les lois de Snell-Descartes et compléter la @fig-snell-descartes dans les cas où $c_{L1}>c_{L2}$ et $c_{L1}<c_{L2}$ en prenant soin de faire apparaître les polarisations. ![Réflexion et transmission entre deux solides](Figures/snell_descartes.png){#fig-snell-descartes} 6. Lorsqu'il existe, quel est le temps de propagation noté $t_B(x)$ d'une onde longitudinale entre la source et un capteur en fonction de $x$ par le trajet B (une seule réflexion sur l'interface solide/solide) ? 7. Dans le cas où $c_{L1}<c_{L2}$, il existe un angle d'incidence, appelé angle critique, pour lequel la réflexion est totale. Calculer $\theta_{cr}$ en fonction de $c_{L1}$ et $c_{L2}$. 8. On se place dans le cas de l'incidence critique. La composante suivant $\underline{e_x}$ du champ de déplacement transmis dans le solide 2 est alors : $$u_2(x,z,t) = A e^{i(k_{L2} x - \omega t)} e^{-\alpha (z-e)}$${#eq-onde-inhomogene} avec $\alpha \in \mathcal{R}^+$, et $e$ l'épaisseur du solide 1 (cf @fig-illustration). De quel type d'onde s'agit-il ? Quelle est sa vitesse de propagation ? 9. En se propageant l'onde décrite par l'@eq-onde-inhomogene rayonne dans le solide 1 comme l'illustre la @fig-illustration. Quelle est la valeur de $\theta$ l'angle de l'onde rayonnée dans le solide 1 ? Justifier. 10. Montrer que lorsqu'il existe, le temps de propagation noté $t_C(x)$ d'une onde longitudinale entre la source et un capteur par le trajet $C$ s'écrit : $$t_C(x) = \frac{x}{c_{L2}} + \frac{2e}{c_{L1}}\cos{\theta_{cr}}$$ 11. Montrer que cette expression peut se mettre sous la forme : $$t_C(x) = \frac{x}{c_{L2}} + 2e \sqrt{\frac{1}{c^2_{L1}}-\frac{1}{c^2_{L2}}} \label{eq:refractee}$$ 12. La @fig-dromochronique-theorique présente l'évolution du temps d'arrivée théorique en fonction de la distance du capteur pour les trois chemins de propagation : $t_A(x)$, $t_B(x)$ et $t_C(x)$. Ce type de tracé est appelé courbes **dromochroniques**. Identifier les paramètres $V_1$, $V_2$, $V_3$ et $t_0$ en fonction des données du problème. ![Courbes dromochroniques](Figures/dromochronique_theorique.png){#fig-dromochronique-theorique} 13. Pourquoi seule les ondes longitudinales passant par les chemins A et C ont un intérêt dans cette méthode ? 14. Montrer que le point $x_c$ de la @fig-dromochronique-theorique appelé distance de croisement a pour expression : $$x_C = 2 e \sqrt{\frac{c_{L1}+c_{L2}}{c_{L2}-c_{L1}}} \label{eq:croisement}$$ 15. On dispose de 7 capteurs pour mesurer les signaux sismiques. Un traitement adapté (non précisé ici) permet d'extraire de chaque signal le premier temps d'arrivée. La position des capteurs et le premier temps d'arrivée sont donnés dans le tableau [1](#table:temps){reference-type="ref" reference="table:temps"}. Tracer les courbes dromochroniques correspondantes. ::: center ::: {#table:temps} Capteur position (m) temps 1ère arrivée (s) --------- -------------- ------------------------ 1 10 0.01 2 20 0.02 3 30 0.03 4 40 0.034 5 50 0.038 6 60 0.042 7 70 0.046 : Positions et temps d'arrivée sur les capteurs sismiques ::: ::: 16. A partir des courbes dromochroniques estimer les vitesses de propagation des ondes longitudinales dans les deux couches $c_{L1}$ et $c_{L2}$ et l'épaisseur de la première couche $e$. 17. Pour ce type de géométrie quelle limitation est prévisible ? --------------------------------------------------------- :::{.callout-tip title="Solution" collapse=true} #### Équation de Lamé--Navier On obtient l'équation de Lamé Navier en combinant l'équation de bilan de la quantité de mouvement : $$\rho \frac{\partial^2 \underline{u}}{\partial t^2} = \underline{div}\underline{\underline{\sigma}}$$ la relation de Hooke : $$\underline{\underline{\sigma}}=\lambda tr(\underline{\underline{\epsilon}})\underline{\underline{I}} + 2 \mu \underline{\underline{\epsilon}}$$ et la définition du tenseur des déformations linéarisées : $$\underline{\underline{\epsilon}} = \frac{1}{2}\left( \underline{{\underline{\nabla}}} \underline{u} + \underline{{\underline{\nabla}}}^T \underline{u} \right)$$ Soit en notation indicielle : $$\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} = \lambda \delta_{ij} \frac{\partial \epsilon_{kk}}{\partial x_j} + 2 \mu \frac{\partial \epsilon_{ij}}{\partial x_j}$$ et donc : $$\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} = \lambda \delta_{ij} \frac{\partial^2 u_k}{\partial x_j \partial x_k} + \mu \frac{\partial }{\partial x_j} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$$ En regroupant les différents termes, on obtient : $$\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} = (\lambda+\mu) \frac{\partial^2 u_k}{\partial x_i \partial x_k} + \mu \frac{\partial^2 u_i }{\partial x_j^2}$$ Soit sous forme intrinsèque : $$\rho \frac{\partial^2 \underline{u}}{\partial t^2} = (\lambda + \mu) \underline{\nabla} \left( \underline{\nabla} . \underline{u} \right) + \mu \underline{\nabla^2}\underline{u}$$ --------------------------------------------- #### Équation de dispersion On cherche la solution sous la forme d'une onde plane progressive harmonique : $$\underline{u} = \underline{U} e^{i(\underline{k}\cdot\underline{x}-\omega t)}$$ En injectant cette solution dans l'équation de Lamé-Navier, on trouve : $$\rho \omega^2 \underline{U} e^{i(\underline{k}\cdot\underline{x}-\omega t)} = (\lambda + \mu) (\underline{U}\cdot\underline{k}) \underline{k} e^{i(\underline{k}\cdot\underline{x}-\omega t)} + \mu |\underline{k}|^2 \underline{U} e^{i(\underline{k}\cdot\underline{x}-\omega t)}$$ En simplifiant d'abord, puis en multipliant par $\cdot\underline{k}$, on trouve : $$\left( \underline{U}\cdot\underline{k} \right) \left( \rho \omega^2 - (\lambda + 2\mu)|\underline{k}|^2 \right) =0$$ ------------------------------------------------- #### Types d'ondes Pour satisfaire la relation de dispersion, il y a deux possibilités : 1. $\rho \omega^2 = (\lambda + 2 \mu) |\underline{k}|^2$, 2. $\underline{U} \cdot \underline{k} = 0$. Les solutions de l'équation $\rho \omega^2 = (\lambda + 2 \mu) |\underline{k}|^2$, sont : $$\omega = \pm \sqrt{(\lambda + 2 \mu)/\rho} |\underline{k}|$$ Les solutions associées à $\underline{U} . \underline{k} = 0$, se trouvent en injectant cette relation dans la relation de dispersion : $$\rho \omega^2 \underline{U} = \mu |\underline{k}|^2 \underline{U}$$ soit : $$\omega = \pm \sqrt{\mu/ \rho} |\underline{k}|$$ On voit qu'il y a plusieurs vitesses de phase ($c_\phi=\omega/k$) associées à la propagation d'ondes dans un solide élastique isotrope : - $c_{\phi_1} = \sqrt{(\lambda + 2 \mu)/\rho}$ - $c_{\phi_2}= \sqrt{\mu/ \rho}$ Les ondes ayant une vitesse de phase $c_{\phi_1}= \sqrt{(\lambda + 2 \mu)/\rho}$ doivent vérifier l'égalité $\underline{U} = (\underline{U}. \underline{k})\underline{k}/|\underline{k}|^2$, donc la direction du déplacement $\underline{U}$ est colinéaire à la direction de l'onde $\underline{k}$ : ce sont des **ondes longitudinales**, on notera $c_{\phi_1} = c_L$. Les ondes ayant une vitesse de phase $c_{\phi_2}= \sqrt{\mu/ \rho}$ doivent vérifier l'égalité $\underline{U} . \underline{k} = 0$, donc la direction du déplacement $\underline{U}$ est perpendiculaire à la direction de l'onde $\underline{k}$ :\ ce sont des **ondes transverses**, on notera $c_{\phi_2} = c_T$. Par conséquent, dans les solides élastiques, les ondes peuvent être longitudinales ou transverses. Généralement, on a la superposition des deux types d'ondes. Il est important de remarquer que les ondes longitudinales se propagent toujours plus vite que les ondes transverses puisque $c_L > c_T$. ------------------------------------------------ #### Temps de propagation $$t_A =\frac{x}{c_{L1}}$$ ------------------------------------------------- #### Reflexion-transmission ![](Figures/snell_descartes_correction.png){width="70%"} ------------------------------------------------- #### Temps de propagation avec reflexion $$t_B(x) = \frac{2\sqrt{e^2 + (x/2)^2}}{c_{L1}}$$ ---------------------------------------------- #### Angle critique L'angle critique est l'angle incident correspondant à un angle transmis égal à $\pi/2$. D'après les lois de Snell-Descartes : $$\frac{\sin \theta_{cr}}{c_{L1}} = \frac{\sin(\pi/2)}{c_{L2}}$$ Par conséquent : $$\sin \theta_{cr} = \frac{c_{L1}}{c_{L2}}$$ --------------------------------------------- #### Onde évanescente Il s'agit d'une onde progressive dans la direction des $x$ croissants. Elle est exponentiellement atténuée dans la direction $z$. La vitesse de propagation est : $$V = \frac{\omega}{k_{L2}}$$ or $k_{L2} = \omega/c_{L2}$ donc : $$V = c_{L2}$$ ----------------------------------------------- #### Angle rayonné D'après les lois de Snell-Descartes, la valeur est $\theta = \theta_{cr}$ ---------------------------------------------- #### Temps de propagation C On commence par un peu de géométrie : le trajet C est constitué de 3 segments: 1. le segment reliant la source à l'interface. Ce segment fait un angle $\theta_{cr}$ avec la verticale, sa longueur est donc : $L = \frac{e}{\cos \theta_{cr}}$ 2. le segment symétrique reliant l'onde rasante à la surface. Il a la même longueur $L$ que le premier segment. 3. le segment constitué par l'onde rasante, sa longueur dépend de $x$ moins la projection des 2 premiers segments : $x-2 e\tan\theta_{cr}$ ou $x-2\sqrt{L^2-e^2}$ Par conséquent le temps de propagation est : $$t_C(x) = \frac{e}{c_{L1} \cos \theta_{cr}} + \frac{e}{c_{L1} \cos \theta_{cr}} + \frac{x-2 e\tan\theta_{cr}}{c_{L2}}$$ $$t_C(x) = \frac{2 e}{c_{L1} \cos \theta_{cr}} + \frac{x-2 e\tan\theta_{cr}}{c_{L2}}$$ $$t_C(x) = \frac{x}{c_{L2}} + \frac{2 e }{c_{L1}} \left(\frac{1}{\cos \theta_{cr}} - \frac{ c_{L1} \tan\theta_{cr}}{c_{L2}} \right)$$ $$t_C(x) = \frac{x}{c_{L2}} + \frac{2 e }{c_{L1}} \left( \frac{1- \sin^2 \theta_{cr}}{\cos \theta_{cr}} \right)$$ $$t_C(x) = \frac{x}{c_{L2}} + \frac{2e}{c_{L1}}\cos{\theta_{cr}}$$ On trouve la forme demandée en remarquant que : $$\begin{aligned} \cos \theta_{cr} &= \sqrt{1-\sin^2 \theta_{cr}} \\ &= \sqrt{1-\frac{c^2_{L1}}{c^2_{L2}}} \\ &= \sqrt{\frac{c^2_{L2}- c^2_{L1}}{c^2_{L2}}} \end{aligned}$$ ------------------------------------------------------- #### Courbes dromochroniques La figure présente 3 courbes 1. la parabole correspond à $t_B(x)$, et donc $V_1=c_{L1}$, 2. la courbe 2 à une ordonnée à l'origine nulle, elle correspond à la propagation directe $t_A(x)$ : $V_2 = c_{L1}$ 3. la courbe 3 correspond donc à l'onde réfracté $t_C(x)$. D'après l'équation [\[eq:refractee\]](#eq:refractee){reference-type="ref" reference="eq:refractee"} on a $V_3 = c_{L2}$ et $t_0 = 2e \sqrt{\frac{1}{c^2_{L1}}-\frac{1}{c^2_{L2}}}$ ------------------------------------------------------ #### Vitesse des ondes La méthode utilisée repose sur la détection des premières arrivées. Les ondes longitudinales passant par les chemins A et C sont les ondes les plus rapides et aucune autre onde ne pourra arriver avant et donc seules ces ondes seront détectées. Il est donc inutile de les prendre en compte. ------------------------------------------------------ #### Courbes expérimentales ![](Figures/dromochronique_exp.png){width="70%"} ------------------------------------------------------ #### Vitesses de propagation La pente de la courbe bleue est : $$\frac{1}{c_{L1}} \approx \frac{0.07}{70} \approx 1e-3$$ Par conséquent : $c_{L1}\approx 1000$m/s La pente de la courbe verte est : $$\frac{1}{c_{L2}} \approx \frac{0.046-0.019}{70} \approx \frac{0.028}{70} \approx 4e-3$$ Par conséquent : $c_{L2}\approx 2500$m/s La distance de croisement est $xc \approx 30$s. D'après la formule [\[eq:croisement\]](#eq:croisement){reference-type="ref" reference="eq:croisement"} : $$x_C = 2 e \sqrt{\frac{c_{L1}+c_{L2}}{c_{L2}-c_{L1}}}$$ donc $$e = \frac{x_C}{2}\sqrt{\frac{c_{L2}-c_{L1}}{c_{L2}+c_{L1}}}$$ et donc $$e \approx \frac{30}{2}\sqrt{\frac{2500-1000}{2500+1000}}\approx 15 \sqrt{\frac{1500}{3500}}\approx 15 \sqrt{0.4} \approx 10 m$$ ----------------------------------------------------- #### Limitations géométriques La méthode ne fonctionne que si $c_{L2} > c_{L1}$ sinon il n'y a pas d'onde réfractée mais seulement une onde réfléchie. L'onde la plus rapide étant l'onde directe, seule la vitesse de la première couche pourra être estimée à partir des premiers temps d'arrivée. :::