4 Vibrations des poutres en flexion

Le second mode de vibration étudié dans ce cours est le mode de flexion ou mode de vibration transverse. On limite notre étude à la vibration des poutres droites élancées, qui subissent des efforts dynamiques transverses.

On notera les caractéristiques géométriques et constitutives suivantes : la section constante est notée $S$, les dimensions transverses sont petites devant la longueur $L$, le moment quadratique de la section suivant l’axe transverse est noté $I$, le matériau est isotrope et homogène de constantes élastiques $(E, \nu)$ et de masse volumique $\rho$.

Le poutre est soumise à une action extérieure $f(x,t)$ transverse et répartie sur sa longueur. Cette action extérieure dynamique engendre des petites perturbations de l’équilibre statique qui se traduisent par un déplacement transverse local (flèche locale) noté $v(x,t)$.

Hypothèse d’Euler–Bernoulli

En première approximation, on suppose que le déplacement transverse de la poutre est dominé par la flexion, et que la déformation due au cisaillement est négligeable. Cela implique que les sections perpendiculaire à la fibre neutre (l’axe de la poutre) restent perpendiculaire à celle-ci après la déformation de flexion, cf. Figure 4.1. Mathématiquement, la rotation des sections $\theta(x, t)$, supposée faible, est donnée par:

\[ \theta(x, t) = \frac{\partial v}{\partial x}(x, t). \]

Figure 4.1: Hypothèse d’Euler-Bernoulli

4.1 Équation des vibrations transverses dans les poutres

Comme on a procédé dans le cas des vibrations longitudinales, on écrit l’équilibre dynamique d’un tronçon de poutre entre les points $x_1$ et $x_2$, soumis à une force répartie transverse $f(x, t)$. Comme on isole un tronçon, l’effet du reste de la poutre sur la partie isolée est représenté par des efforts internes, montrés sur la Figure 4.2:

l’effort de cisaillement $V(x_1)$ (et $V(x_2)$), aussi appelé effort tranchant
un moment de flexion $M(x_1)$ (et $M(x_2)$).

Figure 4.2: Efforts internes sur un tronçon de poutre

On applique le principe fondamental de la dynamique pour ce tronçon de poutre : comme on a une translation et une rotation possible, il faut établir la conservation de la quantité de mouvement du tronçon $p$ et la conservation du moment cinétique $L$ par rapport à $x_1$. On a :

\[\begin{align*} p(t) & = \int_{x_1}^{x_2}\mathrm{d}m \dot v = \int_{x_1}^{x_2}\rho S\dot v\,\mathrm dx\\ L(t) & = \int_{x_1}^{x_2}(x - x_1)\mathrm dm \dot v = \int_{x_1}^{x_2} (x-x_1) \rho S \dot v\,\mathrm dx \end{align*}\]

En posant la conservation de la quantité de mouvement, on a :

\[\begin{align*} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm dt} & = \sum F_\mathrm{ext} \\ \Leftrightarrow \int_{x_1}^{x_2}\rho S\ddot v\,\mathrm dx & = -V(x_1) + V(x_2) + \int_{x_1}^{x_2}f\mathrm dx\\ \Leftrightarrow \int_{x_1}^{x_2}\rho S\ddot v\mathrm dx & = \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial V}{\partial x}\,\mathrm dx + \int_{x_1}^{x_2}f\,\mathrm dx & \text{(thm. fondamental de l'analyse)}\\ \Leftrightarrow \int_{x_1}^{x_2}\left(\rho S\ddot v - \frac{\partial V}{\partial x} - f\right)\mathrm dx & = 0 \end{align*}\]

Puisque le choix de $x_1$ et $x_2$ est arbitraire, on a nécessairement :

\[ \rho S \ddot v = \frac{\partial V}{\partial x} + f \tag{4.1}\]

On applique le même principe au moment cinétique par rapport au point $x_1$:

\[\begin{align*} \frac{\mathrm dL}{\mathrm dt} & = \sum M_{\mathrm{ext},x_1}\\ \Leftrightarrow \int_{x_1}^{x_2} (x-x_1) \rho S \ddot v\,\mathrm dx & = -M(x_1) + M(x_2) + V(x_2)(x_2 - x_1) + \int_{x_1}^{x_2}(x-x_1)f\,\mathrm dx\\ \Leftrightarrow \int_{x_1}^{x_2} (x-x_1) (\rho S \ddot v - f)\,\mathrm dx & = \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial M}{\partial x}\,\mathrm dx + V(x_2)(x_2 - x_1) \end{align*}\]

Ici, on utilise Équation 4.1 pour remplacer le terme $\rho S\ddot v - f = \frac{\partial V}{\partial x}$:

\[\begin{align*} \Leftrightarrow \int_{x_1}^{x_2} (x-x_1) \frac{\partial V}{\partial x}\,\mathrm dx & = \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial M}{\partial x}\,\mathrm dx + V(x_2)(x_2 - x_1) & \\ \Leftrightarrow \left[(x-x_1)V(x, t)\right]_{x_1}^{x_2} - \int_{x_1}^{x_2} V\,\mathrm dx & = \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial M}{\partial x}\,\mathrm dx + V(x_2)(x_2 - x_1) & \mathrm{(IPP)} \\ (x_2 - x_1)V(x_2) & = \int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial M}{\partial x} + V\right)\,\mathrm dx + (x_2 - x_1)V(x_2) & \\ \int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial M}{\partial x} + V\right)\,\mathrm dx & = 0 & \end{align*}\]

Puisque le choix de $x_1$ et $x_2$ est arbitraire, on a nécessairement :

\[ \frac{\partial M}{\partial x} + V = 0 \tag{4.2}\]

D’après la théorie des poutres la courbure de flexion est proportionnelle au moment de flexion et inversement proportionnel à la raideur à la flexion:

\[\begin{align*} \frac {\partial \theta}{\partial x} & = \frac{M(x, t)}{EI}\\ \frac{\partial v}{\partial x} & = \theta(x, t) \end{align*}\]

En remplaçant $M$ dans Équation 4.2, on a :

\[ V = - \frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial \theta}{\partial x}\right) = - \frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right).\]

En remplaçant $V$ dans Équation 4.1, on a :

\[\rho S \frac{\partial^2 v}{\partial t^2} + \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(EI\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right) = f. \]

On peut donc définir les applications linéaires $M(\dot v)$ et $K(v)$:

\[\begin{align*} M(\dot v) & = \rho S \dot v,\\ K(v) & = \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(EI\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right), \end{align*}\]

et l’on obtient l’équation du mouvement que l’on connaît :

\[ M(\ddot v) + K(v) = f. \tag{4.3}\]

4.2 Modes de vibrations des poutres en flexion

On suppose que le produit $EI$ est constant le long de la poutre. Il s’agit de résoudre l’équation du mouvement (4.3) en l’absence du terme de forçage ($f(x,t)=0$), soit

\[\rho S\frac {\partial ^2 v}{\partial t^2} + EI\frac{\partial^4 v}{\partial x^4}= 0\quad\Leftrightarrow\quad M(\ddot v) + K(v) = 0.\]

Comme pour les vibrations longitudinales, on cherche une solution de la forme :

\[ v(x, t) = X(x)p(t) \quad\text{(onde stationnaire)}. \]

En remplaçant dans Équation 4.3, on peut trouver des conditions identiques aux vibrations longitudinales (Équation 3.6), c’est-à-dire:

\[\left\{\begin{aligned} \ddot p + \omega^2 p & = 0\\K(X) & = \omega^2 M(X)\end{aligned}\right.\]

La résolution de la deuxième équation donne la forme des modes. C’est également une équation différentielle ordinaire, mais contrairement aux vibrations longitudinales, elle est d’ordre 4.

\[ EI X'''' - \omega^2\rho S X = 0 \quad \Leftrightarrow \quad X'''' - \gamma^4 X = 0, \tag{4.4}\]

où l’on a introduit le nombre d’onde $\gamma$:

\[\begin{aligned} \gamma^4 & = \frac{\omega^2}{c^2}\quad\Leftrightarrow\quad \omega = c \gamma^2 & \text{(relation de dispersion)}\\ c & = \sqrt{\frac{EI}{\rho S}} = \sqrt{\frac{E}{\rho}}\cdot \sqrt{\frac{I}{S}} = c_\mathrm{L} r_g. \end{aligned} \tag{4.5}\]

La constante $c_\mathrm{L}$ est la vitesse de propagation des ondes longitudinales et $r_g$ est le rayon de giration selon l’axe de flexion, qui est une propriété géométrique de la section.

Avertissement

Contrairement aux ondes longitudinales, $c$ n’est pas une vitesse !

Note

Contrairement aux ondes longitudinales, la relation de dispersion est non-linéaire, ce qui aura son importance quand on abordera la propagation d’ondes.

Pour en trouver la solution de l’Équation 4.4, on suppose qu’elle prend la forme générale $X(x) = X_0 e^{rt}$. L’introduction de cette forme dans l’équation précédente amène à l’équation caractéristique d’ordre 4: \[r^4-\gamma^4 = 0\Leftrightarrow r^2 = \pm \gamma^2\]

Des quatre racines possibles 2 sont réelles et engendreront des fonctions hyperboliques, les deux autres sont purement imaginaires et donneront des fonctions sinusoïdales : $r = {-\gamma ,\quad +\gamma ,\quad -i\gamma,\quad+i\gamma}$

La solution générale à l’Équation 4.4 est l’ensemble des combinaisons linéaires des solutions possibles :

\[ X(x) = C e^{\gamma x}+ D e^{-\gamma x}+ G e^{i\gamma x}+ H e^{-i\gamma x}\]

qu’on peut écrire :

\[X(x) = C_1 \cos \gamma x+ C_2 \sin\gamma x+ C_3 \cosh\gamma x+ C_4 \sinh\gamma x\]

ou encore : \[\begin{split} X(x) = & D_1 (\cos \gamma x+\cosh \gamma x)+ D_2 (\cos \gamma x-\cosh \gamma x)\\ + &D_3(\sin \gamma x+\sinh \gamma x) +D_4(\sin \gamma x-\sinh \gamma x) \end{split}\]

Cette forme générale, ne permet pas de savoir la déformée de la poutre. Il faut en effet déterminer les contributions respectives des différents termes de la combinaison linéaire.

4.3 Identification des modes propres transverses

Les déformations que la structure adopte naturellement pendant ses vibrations libres en flexion diffèrent selon les conditions de liaison à son support.

On commence par faire l’inventaire des modes possibles de liaison au support et de les traduire mathématiquement comme conditions imposées à $X(x)$. Dans les mouvements de flexion, il y a 3 types de liaison au bâti simplement modélisable avec chacun 2 paramètres connus :

le bord libre (Figure 4.3) ne subit aucun effort de flexion:
- L’effort tranchant est nul au bord : \[T(\text{bord libre}, t) =0\Leftrightarrow EI\frac{\partial^3 v}{\partial x^3} = 0, \forall t\Leftrightarrow\] \[X'''(\text{bord libre}) =0\]
- le moment de flexion est nul au bord \[M(\text{bord libre}, t) =0\Leftrightarrow EI\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} = 0, \forall t\Leftrightarrow\] \[X''(\text{bord libre}) =0\]
- les déplacements sont indéterminés \[v=? \text{ et }\frac{\partial v}{\partial x}=?\]
A l’appui simple (Figure 4.4), un effort tranchant inconnu interdit le déplacement transverse au bord, mais aucun moment fléchissant n’interdit la rotation
- La flèche est nulle au bord \[v(\text{appui simple},t) =0, \quad\forall t \Leftrightarrow\] \[X(\text{appui simple}) =0\]
- Le moment de flexion est nul au bord \[M(\text{appui simple},t) =0\Leftrightarrow EI\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}(\text{appui simple},t) = 0, \quad \forall t\Leftrightarrow\] \[X''(\text{appui simple}) =0\]
- La rotation et l’effort tranchant sont indéterminés
A l’encastrement (Figure 4.5), toute déformation est interdite
- la flèche est nulle au bord
  
  \[v(\text{encastrement}, t) =0, \quad \forall t\Leftrightarrow\] \[X(\text{encastrement}) =0\]
- la rotation est nulle au bord
  
  \[\theta(\text{encastrement}, t) =0\Leftrightarrow \frac{\partial v}{\partial x}(\text{encastrement}, t) = 0, \quad \forall t\Leftrightarrow\] \[X'(\text{encastrement}) =0\]
- le torseur des efforts au bord est indéterminé

Le tableau (3) synthétise les conditions sur la déformation de la poutre en flexion pour les 3 types de liaison standard.

Conditions aux limites pour les vibrations de poutres en flexion
Condition de liaison	Bord Libre	Appui simple

$v \rightarrow X$	?	0 0
$\theta \rightarrow X'$	?	? 0
$M \rightarrow X''$	0	0 ?
$T \rightarrow X'''$	0	? ?

La figure 22 présente les différentes combinaisons de liaisons qui peuvent être traités simplement pour une poutre en vibration transverse.

Combinaisons possibles des conditions aux limites pour les vibrations transverses

Les paragraphes suivants développent le calcul des modes propres pour quelques-uns de ces cas.

4.3.1 Modes propres de la poutre simplement appuyée aux deux extrémités.

Dans ce cas le déplacement et le moment fléchissant sont nuls en $x = 0$ et $x = L$, c’est à dire : \[X(0) = X''(0) = X(L) = X''(L) = 0\]

On choisit l’expression ([eqn:FormeXT3]) comme forme générale de la déformée de la poutre : \[\begin{split} X(x) = &D_1 (\cos \gamma x+\cosh \gamma x)+ D_2 (\cos \gamma x-\cosh \gamma x)\\ + &D_3(\sin \gamma x+\sinh \gamma x) +D_4(\sin \gamma x-\sinh \gamma x)\\ \end{split}\] La dérivée seconde s’écrit : \[\begin{split} X''(x) = \gamma^2(&D_1 (-\cos \gamma x+\cosh \gamma x)+ D_2 (-\cos \gamma x-\cosh \gamma x)\\ +& D_3(-\sin \gamma x+\sinh \gamma x) +D_4(-\sin \gamma x-\sinh \gamma x)) \end{split}\] On a donc $X(0) = 0\Rightarrow D_1 = 0$ et $X''(0) = 0\Rightarrow D_2 = 0$

De plus $X(L) = 0\quad\text{et}\quad X''(L) = 0$ soit $D_3 = D_4$

et \[\sin\gamma L = 0\] Les valeurs possibles de $\gamma$ sont données par: $\gamma_n = \frac{n\pi}{L}$

Les modes propres ont donc pour expression \[X_n(x) = \sin \frac{n\pi x}{L}\] et les fréquences propres associées: $\omega_n = \gamma_n^2c$

\[\omega_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2\sqrt{\frac{EI}{\rho S}}\]

Trois premiers modes de flexion de la poutre appuyée aux deux bords

4.3.2 Modes propres de la poutre libre aux deux extrémités.

Ce cas correspond à la situation ou les appuis sont soit inexistants, soit de raideur assez faible devant celle de la poutre pour être négligés.

On écrit ici que l’effort tranchant et le moment fléchissant sont nuls aux deux bords :

En $x = 0$: \[X''(0) = 0\Rightarrow D_2 = 0\qquad\text{et}\qquad X'''(0) = 0\Rightarrow D_4 = 0\] On a donc \[ X(x) = D_1(\cos\gamma x +\cosh\gamma x) + D_3(\sin\gamma x +\sinh\gamma x) \tag{4.6}\] Par ailleurs en $X''(L) = 0\quad\text{et}\quad X'''(L) = 0$ donnent le système suivant :

\[(S) \left\lbrace\begin{array} {rl} D_1 (-\cos\gamma L +\cosh\gamma L) + D_3(-\sin\gamma L +\sinh\gamma L) = 0 \\ D_1 (\sin \gamma L + \sinh\gamma L) + D_3(-\cos\gamma L +\cosh\gamma L) = 0 \end{array}\right.\]

Pour avoir des solutions $D_1$ et $D_3$ non trivialement nulles, le déterminant de $(S)$ doit être nul.

L’équation obtenue donne une condition nécessaire sur $\gamma$ pour avoir l’existence de solutions non-nulles: \[\cos\gamma L\cosh \gamma L = 1\]

On peut visualiser graphiquement cette équation:

Équation non-linéaire pour le nombre d’onde

Les racines de cette équation sont données dans le tableau (4) sont trouvées numériquement:

Cinq premières racines de l’équation du nombre d’onde pour la poutre libre-libre
Solutions de $\cos\gamma L\cosh \gamma L = 1$
$\gamma_1 L$	$\gamma_2 L$	$\gamma_3 L$	$\gamma_4 L$	$\gamma_5 L$	...
4.73	7.85	11	14.13	17.28	...

Les fréquences propres sont obtenues en calculant : $\omega_n =c\gamma_n^2$

\[f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\left(\frac{\gamma_nL}{L}\right)^2\sqrt{\frac{EI}{\rho S}} \label{eqn:freqTLL}\]

La forme des modes propres est obtenue en substituant les racines $\gamma_nL$ successivement dans le système $(S)$, ce qui donne les rapports $\left(\frac{D_1}{D_3}\right)_n$ qui expriment la contribution relative des deux termes de l’expression (4.6).

Pour le 1er mode, par exemple, on injecte la première racine dans $(S)$ et on obtient : \[\left(\frac{D_3}{D_1}\right)_1 \approx 0.98\]

L’expression analytique de la déformée modale est donc :

\[ X(x) = (\cos\gamma_1 x +\cosh\gamma_1 x) + 0.98 (\sin\gamma_1 x +\sinh\gamma_1 x)\]

Les déformées modales obtenues de cette manière pour les 3 premières racines de l’équation de dispersion sont représentés Figure 4.6.

Figure 4.6: Trois premiers modes de flexion de la poutre libre-libre

4.3.3 Modes propres de la poutre bi-encastrée

On écrit ici que la flèche et la rotation sont nulles aux deux extrémités. Ce qui abouti à :

\[X(x) = D_2(\cos\gamma x -\cosh\gamma x) + D_4(\sin\gamma x -\sinh\gamma x)\] On obtient aussi la même équation de dispersion que dans le cas libre-libre. On a donc les mêmes racines $\gamma_nL$ et les mêmes fréquences propres. Mais les modes ont des formes différentes qui sont représentées sur la Figure 4.7.

Figure 4.7: Trous premiers modes transverses de la poutre bi-encastrée

4.3.4 Modes propres de la poutre encastrée-libre

Le cas de la poutre encastrée-libre donne lieu à une solution de la forme :

\[X(x) = D_2(\cos\gamma x -\cosh\gamma x) + D_4(\sin\gamma x -\sinh\gamma x)\] et à l’équation suivante pour le nombre d’onde : \[\cos \gamma L\cosh \gamma L = -1\] A partir des racines de cette équation données dans le tableau(5), on identifie les modes propres de la Figure 4.8. Les fréquences propres associées sont données par l’Équation 4.5.

Cinq premières racines de l’équation de dispersion pour la poutre encastrée-libre
Solutions de $\cos\gamma L\cosh \gamma L = -1$
$\gamma_1 L$	$\gamma_2 L$	$\gamma_3 L$	$\gamma_4 L$	$\gamma_5 L$	...
1.88	4.69	7.86	11	14.14	...

Figure 4.8: Modes propres transverses de la poutre encastrée-libre

4.3.5 Modes propres de la poutre encastrée - appuyée

Le cas de la poutre encastrée- appuyée donne lieu à une solution de la forme :

\[X(x) = D_2(\cos\gamma x -\cosh\gamma x) + D_4(\sin\gamma x -\sinh\gamma x)\]

On obtient aussi l’équation suivante pour le nombre d’onde :

\[\tan \gamma L = \tanh \gamma L\]

Cinq premières racines de l’équation de dispersion pour la poutre encastrée-appuyée
Solutions de $\tan\gamma L=\tanh \gamma L$
$\gamma_1 L$	$\gamma_2 L$	$\gamma_3 L$	$\gamma_4 L$	$\gamma_5 L$	...
3.93	7.07	10.21	13.35	16.49	...

A partir des racines de cette équations données dans le tableau ci-dessus, on identifie les modes propres de la Figure 4.9. Les fréquences propres associées sont données par l’Équation 4.5.

Figure 4.9: Modes propres transverses de la poutre encastrée-libre

4.4 Énergies cinétique et potentielle

Comme pour le cas longitudinal, les énergies s’écrivent sous la forme:

\[\begin{align*} T(\dot v) & = \frac{1}{2}\langle \dot v, M(\dot v)\rangle = \frac{1}{2}\int_0^L \rho S(\dot v)^2\,\mathrm dx\\ U(v) & = \frac{1}{2}\langle v, K(v)\rangle = \frac{1}{2}\int_0^L \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(EI\frac{\partial^2 v}{\partial x}\right)\cdot v\,\mathrm dx\\ \end{align*}\]

On peut écrire une forme alternative de l’énergie potentielle en intégrant par partie:

\[\begin{align*} 2U(v) & = \langle v, K(v)\rangle = \int_0^L \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(EI\frac{\partial^2 v}{\partial x}\right)\cdot v\,\mathrm dx \\ & = \left[v \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial^2 v}{\partial x}\right)\right]_{0}^{L} - \int_0^L\frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial^2 v}{\partial x}\right)\cdot \frac{\partial v}{\partial x}\,\mathrm dx\\ & = \left[v\cdot V\right]_{0}^L - \left[\frac{\partial v}{\partial x}\cdot EI\left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right)\right]_0^L + \int_0^LEI\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\,\mathrm dx\\ & = \left[v\cdot V\right]_{0}^L - \left[\theta\cdot M\right]_0^L + \int_0^L EI\left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right)^2\,\mathrm dx \end{align*}\]

Les termes aux bords $[v\cdot V]_0^L$ et $[\theta \cdot M]_0^L$ sont nuls puisque:

soit $v = 0$ (appui simple ou encastrement), soit $V = 0$ (bord libre)
soit $\theta = 0$ (encastrement), soit $M = 0$ (appui simple ou bord libre)

Donc :

\[ U(v) = \frac{1}{2}\int_0^L EI\left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right)^2\,\mathrm dx. \]

4.5 Comparaison des fréquences propres des modes longitudinaux et transverses

Figure 4.10: Fréquence de modes propres longitudinaux et transverses d’une poutre en acier$(L = 1m, e = 3mm$)

La Figure 4.10 présente les fréquences des premiers modes propres des vibrations longitudinales et transverses d’une poutre en acier de longueur $L=1m$ pour les différentes conditions de liaison.

On constate que les vibrations de traction compression se manifestent à des fréquences 2 ordres de grandeur plus haut que les vibrations de flexion.

Ces dernières varient de la dizaine de Hertz à quelques centaines de Hertz, dans une gamme de fréquences où il sera possible de les observer visuellement ou encore au toucher.

Les vibrations longitudinale évoluent dans une gamme de l’ordre de plusieurs milliers de Hertz et peuvent dans certaines conditions être entendues.

4.6 Orthogonalité, conditions initiales et régime forcé

Les propriétés des modes vues Section 3.2.5 sont rigoureusement identique pour la vibration transverse des poutres. Le calcul des conditions initiales et de la réponse en régime forcé est également inchangé identique. On donne ci-dessous un exemple de calcul en régime forcé avec une force ponctuelle.

Réponse à une force harmonique ponctuelle appliquée en $x_0$

Poutre soumise à une force transverse harmonique ponctuelle appliquée en $x_0$

Dans ce cas particulier, illustré figure (28), la force s’écrit: \[f(x,t) = F_0 \delta(x-x_0) \cos\Omega t\]

La contribution de la force à l’excitation de chaque mode s’écrit : \[\int_0^L X_n(x)F_0\delta(x-x_0)dx = F_0X_n(x)(x_0)\] C’est la force $F_0$ multipliée par l’amplitude du mode au point $X_0$.

Autrement dit, si la force est appliquée à un noeud du mode, celui-ci ne sera pas excité. Si au contraire elle est appliquée à un ventre le mode sera pleinement mobilisé.

Finalement : \[v(x,t) = \sum_nX_n(x)\phi_n(t) = F_0\sum_n\frac{X_n(x)(x_0)X_n(x)}{m_n(\omega_n^2 -\Omega^2)} \cos\Omega t\]

A titre d’exemple, on traite le cas de la poutre appuyée à ses deux bouts.

On rappelle les paramètres modaux de cette configuration :

\[X_n(x) = sin\frac{n\pi x}{L}\qquad m_n = \rho S\int_0^L\left(sin\frac{n\pi x}{L}\right)^2 dx = \frac{\rho SL}{2}\qquad \omega_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2\sqrt{\frac{EI}{\rho S}}\]

Excitation ponctuelle transverse de la poutre simplement appuyée

La réponse forcée de la poutre s’écrit: \[v(x,t) = \frac{2F_0}{\rho SL}\sum_{n=1}^\infty\frac{sin\frac{n\pi x_0}{L}sin\frac{n\pi x}{L}}{\omega_n^2 -\Omega^2} \cos\Omega t\] Si $F_0$ est appliquée au centre de la poutre $x_0 = L/2$, la déformation de la poutre au cours du temps s’écrit \[v(x,t) = \frac{2F_0}{\rho SL}\sum_{n=1}^\infty\frac{sin\frac{n\pi }{2}sin\frac{n\pi x}{L}}{\omega_n^2 -\Omega^2} \cos\Omega t\] soit : \[v(x,t) = \frac{2F_0}{\rho SL}\sum_{p=0}^\infty\frac{(-1)^p \sin\frac{(2p+1)\pi x}{L}}{\omega_{2p+1}^2 -\Omega^2} \cos\Omega t\] ou encore : \[v(x,t)= \frac{2F_0}{\rho SL}\left( \frac{\sin\frac{\pi x}{L}}{\omega_1^2 -\Omega^2} -\frac{\sin\frac{3\pi x}{L}}{\omega_3^2 -\Omega^2}+\frac{\sin\frac{5\pi x}{L}}{\omega_5^2 -\Omega^2}-\frac{\sin\frac{7\pi x}{L}}{\omega_7^2 -\Omega^2}...\right)\cos\Omega t\] On peut remarquer que, la force étant appliquée à un noeud de tous les modes pairs leur contribution est nulle.

Les amplitudes de la réponse dans les cas d’application de la force à un point choisi arbitrairement et au point central sont données en fonction de la fréquence figure (29). On y observe la disparition des résonances des modes pairs lorsque la force est appliquée au centre.

Réponse en fréquence de la poutre simplement appuyée à une force ponctuelle

4.7 Approximation des vibrations des structures complexes

Pour des systèmes continus de constitution géométrique ou structurelle plus complexe que celles étudiées précédemment, c’est à dire qui ne vérifient pas les hypothèses de matériau homogène et isotrope ou de section constante, les résultats précédents ne s’appliquent plus. Il peut cependant être souhaitable d’en estimer les fréquences de résonance et les modes de déformation sans recourir à des outils numériques complexes. Pour cela, moyennant des hypothèses raisonnables sur la déformation de la structure, on peut mettre en œuvre deux méthodes. La méthode de Rayleigh, en imposant à la structure une déformée vibratoire cinématiquement admissible, permet d’obtenir une valeur approchée de la fréquence à laquelle elle est susceptible de se manifester. La méthode de Rayleigh-Ritz, un peu plus complexe, considérant un ensemble réduit de déformées possibles comme des degrés de liberté vibratoire, fait appel aux outils servant pour l’étude des systèmes discrets et permet d’obtenir les formes et les fréquences approchées des premiers modes propres de la structure. Les deux méthodes nécessitent d’écrire les énergies cinétique et potentielle associées aux déformations possibles ou supposées qu’on rappelle ici dans le cas général :

Pour une structure $\Omega$ dont la déformée vibratoire est décrite par la fonction $f(x,t)$, l’énergie cinétique s’écrit à chaque instant : \[T(t)= \frac{1}{2} \int_\Omega \rho(x)\left(\frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial t^2}\right)^2 dx\] Pour l’énergie potentielle de déformation, on a : \[U(t)= \int_\Omega e_d(x,t) dx\] où $e_d$ est l’énergie locale de déformation qui dépend de la loi de comportement à considérer

4.7.1 Méthode de Rayleigh

Dans le cas d’un système conservatif, cette méthode considère le théorème de conservation de l’énergie qui établit que les maxima d’énergie potentielle et cinétique sont égaux : \[E = U+T = U_{max} = T_{max} \Leftrightarrow\frac{U_{max}}{T_{max}} = 1\] Lorsque le mouvement du système est décrit par une fonction $f(x,t) = \phi(t)X_n(x)$, on peut écrire ces énergies sous les formes suivantes : \[T = \frac{1}{2} m_n\dot \phi^2(t) \qquad \text{et}\qquad U = \frac{1}{2} k_n \phi^2(t)\] où $m_n$ et $k_n$ sont respectivement les masse et raideur dynamiques du système en vibration suivant le mode $X_n(x)$.

Dans le cas particulier d’un mode propre, le mouvement naturel est harmonique à la fréquence $\omega$ et on a : \[\phi(t) = A \cos(\omega t) \qquad \dot \phi(t) = A \omega\sin(\omega t)\] On a donc : \[T = \frac{1}{2} m_n\omega_n^2 \sin^2\omega t \qquad \text{et}\qquad U = \frac{1}{2} k_n \cos^2 \omega t\] d’où \[T_{max} = \frac{1}{2} m_n\omega_n^2 \qquad \text{et}\qquad U_{max} = \frac{1}{2} k_n\] Avec $T_{max} = U_{max}$, on peut finalement écrire : \[\omega_n^2 = \frac{ k_n}{m_n}\]

Application à la poutre encastrée libre en flexion

Dans cet exemple, déjà résolu par la méthode exacte, on considère une poutre de longueur L encastrée en $x=0$ et libre en $x=L$. La vibration est stationnaire, si bien qu’on peut écrire $f(x,t) = \phi(t)X(x)$. Par ailleurs, on suppose a priori que la poutre se déforme selon la courbe pointillée de la figure 30. Cette déformée doit respecter les conditions cinématiquement admissibles : un déplacement et une flèche nuls à l’encastrement et un déplacement maximum au bord libre.

Poutre encastrée libre dans son 1er mode de flexion

Il faut associer à cette forme un modèle mathématique et parmi ceux possibles, on choisit, le modèle polynomial correspondant à la déformée statique de la poutre soumise à une force transverse à son extrémité, soit :

\[X(x)= 3\left(\frac{x}{L}\right)^2-\left(\frac{x}{L}\right)^3\]

On vérifie à chaque instant $X(0) = 0$ et $\partial_x X (0) = 0$ et $X(L) = \max(X(x))$.

A l’aide de ce modèle, on peut estimer les énergies cinétique et potentielle de la structure pour cette vibration particulière : \[\begin{aligned} T & = \frac{1}{2}\dot \phi^2(t) \int_0^L \rho S X(x)^2 && = \frac{1}{2}\dot \phi^2(t) \int_0^L \rho S \left[3\left(\frac{x}{L}\right)^2-\left(\frac{x}{L}\right)^3\right]^2dx && = \frac{1}{2} 0.942 \rho S L \dot \phi^2(t) \\ U & = \frac{1}{2} \phi^2(t)\int_0^L EIX''(x)^2dx && = \frac{1}{2} \phi^2(t)\int_0^L EI\left[\frac{6}{L^2}-\frac{6x}{L^3}\right]^2dx && = \frac{1}{2} \frac{12EI}{L^3} \phi^2(t) \end{aligned}\]

On obtient ainsi une valeur approchée de la pulsation du mode décrit par la fonction $X(x)$ \[\omega_{approx} = \sqrt{\frac{12}{0.942L^4}\frac{EI}{\rho S}} = \frac{3.567}{L^2}\sqrt{\frac{EI}{\rho S}}\] On rappelle la valeur exacte de la fréquence fondamentale de la poutre encastrée libre : \[\omega_{exacte} = \frac{(\gamma_1L)^2}{L^2} \sqrt{\frac{EI}{\rho S}}= \frac{3.534}{L^2}\sqrt{\frac{EI}{\rho S}}\]

l’erreur relative pour cette estimation est $\frac{\Delta \omega}{\omega} <2\%$.

4.7.2 Méthode de Rayleigh-Ritz

Cette méthode dérivée de la précédente est employée pour réduire le nombre de degrés de liberté d’un système complexe (à N ddl, N pouvant être infini) et pour en estimer le premiers modes et leur fréquence. Comme précédemment, on commence faire des hypothèses acceptables sur la déformation du système. Ritz a suggéré que la déformation soit approchée par une combinaison linéaire de fonctions de base, combinaison devant satisfaire aux conditions aux limites cinématiques du système. Soient $X_i(x), i = 1...n<<N$ ces fonctions de base et $\phi_i$ leurs contributions respectives au mouvement. On pose que la déformée du système s’écrit sous forme explicite ou en notation matricielle : \[f(x,t) = \sum_{i=1}^n \phi_i(t)X_i(x)=\mathbf{X^t \Phi}\] On peut alors exprimer les énergies cinétique et potentielle sous la forme : \[T = \frac{1}{2}\mathbf{\dot\Phi^t X^t M X\dot\Phi}\qquad\text{et} \qquad U = \frac{1}{2}\mathbf{\Phi^t X^t M X\Phi}\] et identifier une matrice de masse $\textbf{M}$ et une matrice de raideur $\textbf{K}$. Finalement, on tire de ces matrices des valeurs approchées de fréquences propres et une forme approchée des modes propres correspondants par les méthodes mises en œuvre pour un système discret.

Application aux vibrations longitudinales d’une poutre E-L

On considère la même poutre encastrée-libre que précédemment, mais on cherche cette fois-ci à obtenir une valeur approchée de ses 4 premières fréquences propres ainsi qu’une forme approximative du mode de vibration associé. On fait l’hypothèse que les déformées modales jusqu’au quatrième mode peuvent être réduites en une combinaison de 4 fonctions polynomiales respectant les conditions aux limites cinématiques : \[u(x,t) = \frac{x}{L}\phi_1(t)+\left(\frac{x}{L}\right)^2\phi_2(t)+\left(\frac{x}{L}\right)^3\phi_3(t)+\left(\frac{x}{L}\right)^4\phi_4(t) \label{eqn:RayRitz_approx}\]

Base de 4 fonctions polynomiales pour l’approximation des vibrations longitudinales de la poutre encastrée libre

Les fonctions de base choisies sont présentées figure 31. On peut remarquer qu’elles ne sont pas orthogonales.

Partant de l’expression [eqn:RayRitz_approx], on calcule les énergies cinétique et potentielle afin d’identifier des matrice $\textbf M$ et $\textbf K$ \[\begin{aligned} T &= \frac{1}{2}\int_0^L \rho S\left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\right)^2dx \\ &=\frac{1}{2}\rho S \int_0^L \left( \dot \phi_1(t) \frac{x}{L} + \dot \phi_2(t) \left(\frac{x}{L}\right)^2 + \dot \phi_3(t) \left(\frac{x}{L}\right)^3 + \dot \phi_4(t) \left(\frac{x}{L}\right)^4 \right)^2dx\\ &= \frac{1}{2}\rho S L \left( \frac{1}{3} \dot \phi_1\dot \phi_1 + \frac{2}{4}\dot \phi_1\dot \phi_2 + \frac{2}{5}\dot \phi_1\dot \phi_3 + \frac{2}{6}\dot \phi_1\dot \phi_4 + \frac{1}{5}\dot \phi_2\dot \phi_2 + \frac{2}{6}\dot \phi_2\dot \phi_3 + \frac{2}{7}\dot \phi_2\dot \phi_4 + \frac{1}{7}\dot \phi_3\dot \phi_3 + \frac{2}{8}\dot \phi_3\dot \phi_4 + \frac{1}{9}\dot \phi_4\dot \phi_4 \right) \\ \\ U &= \frac{1}{2}\int_0^L ES \left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right)^2dx \nonumber\\ &=\frac{1}{2}E S \int_0^L \left( \phi_1(t) \frac{1}{L} + \phi_2(t) \frac{2x}{L^2} + \phi_3(t) \frac{3x^2}{L^3} + \phi_4(t) \frac{4x^3}{L^4} \right)^2dx \\&= \frac{1}{2}\frac{ES}{L} \left( \phi_1 \phi_1 + \phi_1 \phi_2 + \phi_1 \phi_3 + \phi_1 \phi_4 + \frac{4}{3} \phi_2 \phi_2 + \frac{6}{2} \phi_2 \phi_3 + \frac{16}{5} \phi_2 \phi_4 + \frac{9}{5} \phi_3 \phi_3 + 4 \phi_3 \phi_4 + \frac{16}{7} \phi_4 \phi_4 \right) \end{aligned}\] d’où \[\textbf{M} = \rho SL \begin{pmatrix} 1/3&1/4&1/5&1/6\\ 1/4&1/5&1/6&1/7\\ 1/5&1/6&1/7&1/8\\ 1/6&1/7&1/8&1/9 \end{pmatrix}\qquad \textbf{K} = \tfrac{ES}{L} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 4/3 & 3/2 & 8/5\\ 1 & 3/2 & 9/5 & 2\\ 1 & 8/5 & 2 & 16/7 \end{pmatrix}\]

La diagonalisation de ces matrices procure les fréquences et vecteurs propres approchés. Les deux premiers couples approchés sont à comparer à ceux obtenus par la méthode exacte :

Mode 1 \[\omega_{1_{Ritz}} = \frac{1.571}{L}\sqrt{\frac{E}{\rho}} \qquad X_{1_{Ritz}} = \frac{x}{L}+0.028\left(\frac{x}{L}\right)^2-0.5\left(\frac{x}{L}\right)^3+0.11\left(\frac{x}{L}\right)^4\] à comparer à la solution exacte: \[\omega_{1_{vrai}} = \frac{\pi}{2L}\sqrt{\frac{E}{\rho}} =\frac{1.571}{L}\sqrt{\frac{E}{\rho}} \quad \left(\frac{\Delta\omega_1}{\omega_1} = 0\right)\qquad X_{1_{vrai}} = \sin \frac{\pi x}{2L}\] et Mode 2 \[\omega_{2_{Ritz}} = \frac{4.724}{L}\sqrt{\frac{E}{\rho}} \qquad X_{2_{Ritz}} = \frac{x}{L}+0.69\left(\frac{x}{L}\right)^2-2.56\left(\frac{x}{L}\right)^3+2.06\left(\frac{x}{L}\right)^4\] à comparer à la solution exacte : \[\omega_{2_{vrai}} = \frac{3\pi}{2L}\sqrt{\frac{E}{\rho}} =\frac{4.712}{L}\sqrt{\frac{E}{\rho}} \quad \left(\frac{\Delta\omega_2}{\omega_2} = 0.25\%\right)\qquad X_{2_{vrai}} = \sin \frac{3\pi x}{2L}\]

Forme approchée par la méthode de Ritz des 2 premiers modes de vibration longitudinales de la poutre encastrée libre comparée à la forme exacte

Annexes

Equation des vibrations transverses des cordes

movie

ViolinStringSlowMotion.mp4

Film ralenti des vibrations d’une corde de violon

Le film en figure 33 montre la vibration d’une corde de violon excitée par l’archet. Pour écrire l’équation différentielle du mouvement transverse $v(x,t)$ régissant cette vibration, on considère la corde de longueur $L$ dans un matériau de masse linéique $\rho$(kg/m) et de tension $T$(N) et on isole une portion de la corde de longueur $dx$ afin de faire le bilan des efforts dynamiques qu’elle subit, comme décrit par la figure 34. La pente locale de la corde est notée $\alpha = \frac{\partial v }{\partial x}$

Bilan local des efforts dans une corde rendue

Le bilan des forces exercées sur la portion de corde se décompose dans les directions longitudinale $x$ et transverse $y$.

Suivant x , on peut considérer que le déplacement de la portion est nul: \[|T(x+dx)| \cos\alpha(x+dx)-|T(x)| \cos\alpha(x) = 0\] Pour de petits déplacements transverses, on a, au 1er ordre : $\cos\alpha \approx1$, soit \[T(x+dx) = T(x)\] C’est à dire que la tension de la corde est constante sur toute sa longueur.

Suivant y, on prend en compte l’inertie de la portion et la composante transverse de la tension aux 2 extrémités : \[T \sin\alpha(x+dx)-T \sin\alpha(x) =\rho dx\frac{\partial^2v}{\partial t^2}\] Soit au 1er ordre : \[T \alpha(x+dx)-T \alpha(x) =\rho dx\frac{\partial^2v}{\partial t^2}\] \[\Leftrightarrow T \frac{\partial \alpha}{\partial x}dx =\rho dx\frac{\partial^2v}{\partial t^2}\] En substituant à la pente $\alpha$ son expression en fonction de $v$ et en considérant un développement de Taylor d’ordre 1 ($\alpha(x+dx) = \alpha(x)+ \frac{\partial\alpha}{\partial x}dx$), on parvient à :

\[\rho \frac{\partial^2v}{\partial t^2} = T\frac{\partial^2v}{\partial x^2} \Leftrightarrow \frac{\partial^2v}{\partial t^2} - c^2\frac{\partial^2v}{\partial x^2}=0 \quad \text{avec} \quad c = \sqrt{\frac{T}{\rho}}\] On établit simplement que $c$ a la dimension d’une vitesse : \[[c] = \sqrt{\frac{N}{kg/m}} = \sqrt{\frac{kg/m/s^2}{kg/m}}=\sqrt{\frac{m^2}{s^2}} = \frac{m}{s}\] $c$ est la vitesse de propagation des ondes transverses dans la corde de masse linéique $\rho$ et de tension $T$.

Pour une corde en acier de diamètre 0.5 mm tendue à 10 kg : $c_{acier}\approx 400 m/s$

Vibrations de torsion dans les arbres

Paramètres des ondes de torsion dans une barre

On considère à nouveau une barre droite de longueur $L(\gg e,l)$ où $e$ et $l$ sont les dimensions transverses. La section $S$ est constante et le matériau qui la constitue est isotrope et de comportement linéaire non dissipatif.

On suppose des couples dynamiques agissant suivant l’axe $x$ le long de la barre notées $\gamma(x,t)$.

On considère de petites rotations $\theta(x,t)$ des sections droites autour de leur position d’équilibre statique.

Bilan des moments sur une section élémentaire de la barre

L’élément de moment quadratique $I_x$ présente un moment d’inertie $\rho I_x dx$. Il est mis en mouvement avec l’accélération angulaire $\frac {\partial ^2 \theta}{\partial t^2}$ par l’action du moment $-M(x)$ à gauche, du moment en réaction $M(x+dx)= M(x) +\frac{\partial M}{\partial x}dx$ à droite et du couple extérieur $\gamma(x,t)$.

L’équilibre dynamique s’écrit : \[\begin{aligned} \rho I_x dx \frac {\partial^2 \theta}{\partial t^2} & = -M(x)+ M(x) +\frac{\partial M}{\partial x}dx+\gamma(x,t)dx\\ \Leftrightarrow \rho I_x \frac {\partial ^2 \theta}{\partial t^2} & = \frac{\partial M}{\partial x}+\gamma(x,t) \end{aligned}\]

On a donc :\[\rho I_x \frac {\partial ^2 \theta}{\partial t^2} = \frac{\partial M}{\partial x}+\gamma(x,t)\]

La loi de comportement élastique en rotation pure permet d’exprimer le moment $M$ en fonction du déplacement $\theta(x,t)$ : \[M= GI_x\frac {\partial \theta}{\partial x}\] En substituant $M$ par cette expression dans l’équation d’équilibre dynamique, on obtient : \[\rho I_x \frac {\partial ^2 \theta}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial x}(GI_x\frac{\partial \theta}{\partial x})+\gamma(x,t)\]

Comme, par hypothèse, $G$ et $I_x$ sont constants le long de la barre, on a :

\[\rho\frac {\partial ^2 u}{\partial t^2} = G\frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}+\frac{1}{I_x}\gamma(x,t)\]

On note $c_R^2 = \frac{G}{\rho}$ soit: \[c_R = \sqrt{\frac{G}{\rho}}= \sqrt{\frac{E}{2(1+\nu)\rho}}\]

Et on obtient finalement l’équation des ondes de torsion dans la barre :

\[\frac {\partial ^2 \theta}{\partial t^2} - c_R^2\frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2} =\frac{1}{\rho I_x} \gamma(x,t)\]

Comme précédemment $c_R$ a la dimension d’une vitesse : \[[c_R] = \left[\sqrt{\frac{G}{\rho}}\right] = \sqrt{\frac{N/m^2}{kg/m^3}} = \sqrt{\frac{(kg m/s^2)/m^2}{kg/m^3}}=\sqrt{\frac{m^2}{s^2}} = \frac{m}{s}\] $c_R$ est la vitesse de propagation des ondes de torsion dans la barre.

Dans une barre en acier, par exemple, on a :

\[c_{R_{acier}}= \sqrt{\frac{G}{\rho}} = \sqrt{\frac{E}{2(1+\nu)\rho}} =\sqrt{\frac{2.10^{11}}{2\times(1+0.3)\times8.10^3}} = 2000 \text{m/s}\]

# Vibrations des poutres en flexion Le second mode de vibration étudié dans ce cours est le mode de flexion ou mode de vibration transverse. On limite notre étude à la vibration des poutres droites élancées, qui subissent des efforts dynamiques transverses. On notera les caractéristiques géométriques et constitutives suivantes : la section constante est notée $S$, les dimensions transverses sont petites devant la longueur $L$, le moment quadratique de la section suivant l'axe transverse est noté $I$, le matériau est isotrope et homogène de constantes élastiques $(E, \nu)$ et de masse volumique $\rho$. Le poutre est soumise à une action extérieure $f(x,t)$ transverse et répartie sur sa longueur. Cette action extérieure dynamique engendre des petites perturbations de l'équilibre statique qui se traduisent par un déplacement transverse local (flèche locale) noté $v(x,t)$. :::{.callout-important title="Hypothèse d'Euler--Bernoulli"} ![Hypothèse d'Euler-Bernoulli](FiguresContinu/Bernoulli.jpg){#fig-euler-bernoulli width="80%"} En première approximation, on suppose que le déplacement transverse de la poutre est dominé par la flexion, et que la déformation due au cisaillement est négligeable. Cela implique que les sections perpendiculaire à la fibre neutre (l'axe de la poutre) restent perpendiculaire à celle-ci après la déformation de flexion, *cf.* @fig-euler-bernoulli. Mathématiquement, la rotation des sections $\theta(x, t)$, supposée faible, est donnée par: $$ \theta(x, t) = \frac{\partial v}{\partial x}(x, t). $$ ::: ## Équation des vibrations transverses dans les poutres {#sec-equation-poutres} Comme on a procédé dans le cas des vibrations longitudinales, on écrit l'équilibre dynamique d'un tronçon de poutre entre les points $x_1$ et $x_2$, soumis à une force répartie transverse $f(x, t)$. Comme on isole un tronçon, l'effet du reste de la poutre sur la partie isolée est représenté par des efforts internes, montrés sur la @fig-forces-poutre: - l'effort de cisaillement $V(x_1)$ (et $V(x_2)$), aussi appelé **effort tranchant** - un **moment de flexion** $M(x_1)$ (et $M(x_2)$). ![Efforts internes sur un tronçon de poutre](FiguresContinu/forces_poutre.svg){#fig-forces-poutre} On applique le principe fondamental de la dynamique pour ce tronçon de poutre : comme on a une **translation** *et* une **rotation** possible, il faut établir la conservation de la quantité de mouvement du tronçon $p$ *et* la conservation du moment cinétique $L$ par rapport à $x_1$. On a : \begin{align*} p(t) & = \int_{x_1}^{x_2}\mathrm{d}m \dot v = \int_{x_1}^{x_2}\rho S\dot v\,\mathrm dx\\ L(t) & = \int_{x_1}^{x_2}(x - x_1)\mathrm dm \dot v = \int_{x_1}^{x_2} (x-x_1) \rho S \dot v\,\mathrm dx \end{align*} En posant la conservation de la quantité de mouvement, on a : \begin{align*} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm dt} & = \sum F_\mathrm{ext} \\ \Leftrightarrow \int_{x_1}^{x_2}\rho S\ddot v\,\mathrm dx & = -V(x_1) + V(x_2) + \int_{x_1}^{x_2}f\mathrm dx\\ \Leftrightarrow \int_{x_1}^{x_2}\rho S\ddot v\mathrm dx & = \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial V}{\partial x}\,\mathrm dx + \int_{x_1}^{x_2}f\,\mathrm dx & \text{(thm. fondamental de l'analyse)}\\ \Leftrightarrow \int_{x_1}^{x_2}\left(\rho S\ddot v - \frac{\partial V}{\partial x} - f\right)\mathrm dx & = 0 \end{align*} Puisque le choix de $x_1$ et $x_2$ est arbitraire, on a nécessairement : $$ \rho S \ddot v = \frac{\partial V}{\partial x} + f $${#eq-equ-local-V} On applique le même principe au moment cinétique par rapport au point $x_1$: \begin{align*} \frac{\mathrm dL}{\mathrm dt} & = \sum M_{\mathrm{ext},x_1}\\ \Leftrightarrow \int_{x_1}^{x_2} (x-x_1) \rho S \ddot v\,\mathrm dx & = -M(x_1) + M(x_2) + V(x_2)(x_2 - x_1) + \int_{x_1}^{x_2}(x-x_1)f\,\mathrm dx\\ \Leftrightarrow \int_{x_1}^{x_2} (x-x_1) (\rho S \ddot v - f)\,\mathrm dx & = \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial M}{\partial x}\,\mathrm dx + V(x_2)(x_2 - x_1) \end{align*} Ici, on utilise @eq-equ-local-V pour remplacer le terme $\rho S\ddot v - f = \frac{\partial V}{\partial x}$: \begin{align*} \Leftrightarrow \int_{x_1}^{x_2} (x-x_1) \frac{\partial V}{\partial x}\,\mathrm dx & = \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial M}{\partial x}\,\mathrm dx + V(x_2)(x_2 - x_1) & \\ \Leftrightarrow \left[(x-x_1)V(x, t)\right]_{x_1}^{x_2} - \int_{x_1}^{x_2} V\,\mathrm dx & = \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial M}{\partial x}\,\mathrm dx + V(x_2)(x_2 - x_1) & \mathrm{(IPP)} \\ (x_2 - x_1)V(x_2) & = \int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial M}{\partial x} + V\right)\,\mathrm dx + (x_2 - x_1)V(x_2) & \\ \int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial M}{\partial x} + V\right)\,\mathrm dx & = 0 & \end{align*} Puisque le choix de $x_1$ et $x_2$ est arbitraire, on a nécessairement : $$ \frac{\partial M}{\partial x} + V = 0 $${#eq-equ-local-M} D'après la théorie des poutres la courbure de flexion est proportionnelle au moment de flexion et inversement proportionnel à la raideur à la flexion: \begin{align*} \frac {\partial \theta}{\partial x} & = \frac{M(x, t)}{EI}\\ \frac{\partial v}{\partial x} & = \theta(x, t) \end{align*} En remplaçant $M$ dans @eq-equ-local-M, on a : $$ V = - \frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial \theta}{\partial x}\right) = - \frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right).$$ En remplaçant $V$ dans @eq-equ-local-V, on a : $$\rho S \frac{\partial^2 v}{\partial t^2} + \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(EI\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right) = f. $$ On peut donc définir les applications linéaires $M(\dot v)$ et $K(v)$: \begin{align*} M(\dot v) & = \rho S \dot v,\\ K(v) & = \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(EI\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right), \end{align*} et l'on obtient l'équation du mouvement que l'on connaît : $$ M(\ddot v) + K(v) = f.$${#eq-mouvement-poutre} ## Modes de vibrations des poutres en flexion On suppose que le produit $EI$ est constant le long de la poutre. Il s'agit de résoudre l'équation du mouvement ([-@eq-mouvement-poutre]) en l'absence du terme de forçage ($f(x,t)=0$), soit $$\rho S\frac {\partial ^2 v}{\partial t^2} + EI\frac{\partial^4 v}{\partial x^4}= 0\quad\Leftrightarrow\quad M(\ddot v) + K(v) = 0.$$ Comme pour les vibrations longitudinales, on cherche une solution de la forme : $$ v(x, t) = X(x)p(t) \quad\text{(onde stationnaire)}. $$ En remplaçant dans @eq-mouvement-poutre, on peut trouver des conditions identiques aux vibrations longitudinales ([@eq-sys-omega]), c'est-à-dire: $$\left\{\begin{aligned} \ddot p + \omega^2 p & = 0\\K(X) & = \omega^2 M(X)\end{aligned}\right.$$ La résolution de la deuxième équation donne la forme des modes. C'est également une équation différentielle ordinaire, mais contrairement aux vibrations longitudinales, elle est d'ordre 4. $$ EI X'''' - \omega^2\rho S X = 0 \quad \Leftrightarrow \quad X'''' - \gamma^4 X = 0,$${#eq-edo-modes-poutre} où l'on a introduit le nombre d'onde $\gamma$: $$\begin{aligned} \gamma^4 & = \frac{\omega^2}{c^2}\quad\Leftrightarrow\quad \omega = c \gamma^2 & \text{(relation de dispersion)}\\ c & = \sqrt{\frac{EI}{\rho S}} = \sqrt{\frac{E}{\rho}}\cdot \sqrt{\frac{I}{S}} = c_\mathrm{L} r_g. \end{aligned}$${#eq-dispersion-poutres} La constante $c_\mathrm{L}$ est la vitesse de propagation des ondes longitudinales et $r_g$ est le [rayon de giration](https://fr.wikipedia.org/wiki/Rayon_de_giration) selon l'axe de flexion, qui est une propriété géométrique de la section. :::{.callout-warning} Contrairement aux ondes longitudinales, $c$ n'est pas une vitesse ! ::: :::{.callout-note} Contrairement aux ondes longitudinales, la relation de dispersion est non-linéaire, ce qui aura son importance quand on abordera la propagation d'ondes. ::: Pour en trouver la solution de l'@eq-edo-modes-poutre, on suppose qu'elle prend la forme générale $X(x) = X_0 e^{rt}$. L'introduction de cette forme dans l'équation précédente amène à l'équation caractéristique d'ordre 4: $$r^4-\gamma^4 = 0\Leftrightarrow r^2 = \pm \gamma^2$$ Des quatre racines possibles 2 sont réelles et engendreront des fonctions hyperboliques, les deux autres sont purement imaginaires et donneront des fonctions sinusoïdales : $r = {-\gamma ,\quad +\gamma ,\quad -i\gamma,\quad+i\gamma}$ La solution générale à l'@eq-edo-modes-poutre est l'ensemble des combinaisons linéaires des solutions possibles : $$ X(x) = C e^{\gamma x}+ D e^{-\gamma x}+ G e^{i\gamma x}+ H e^{-i\gamma x}$$ qu'on peut écrire : $$X(x) = C_1 \cos \gamma x+ C_2 \sin\gamma x+ C_3 \cosh\gamma x+ C_4 \sinh\gamma x$$ ou encore : $$\begin{split} X(x) = & D_1 (\cos \gamma x+\cosh \gamma x)+ D_2 (\cos \gamma x-\cosh \gamma x)\\ + &D_3(\sin \gamma x+\sinh \gamma x) +D_4(\sin \gamma x-\sinh \gamma x) \end{split}$$ Cette forme générale, ne permet pas de savoir la déformée de la poutre. Il faut en effet déterminer les contributions respectives des différents termes de la combinaison linéaire. ## Identification des modes propres transverses Les déformations que la structure adopte naturellement pendant ses vibrations libres en flexion diffèrent selon les conditions de liaison à son support. On commence par faire l'inventaire des modes possibles de liaison au support et de les traduire mathématiquement comme conditions imposées à $X(x)$. Dans les mouvements de flexion, il y a 3 types de liaison au bâti simplement modélisable avec chacun 2 paramètres connus : ![Bord libre](FiguresContinu/BordLibre.jpg){#fig-bord-libre} ![Appui simple](FiguresContinu/AppuiSimple.jpg){#fig-appui-simple} ![Encastrement](FiguresContinu/Encastrement.jpg){#fig-encastrement} - le **bord libre** (@fig-bord-libre) ne subit aucun effort de flexion: - L'effort tranchant est nul au bord : $$T(\text{bord libre}, t) =0\Leftrightarrow EI\frac{\partial^3 v}{\partial x^3} = 0, \forall t\Leftrightarrow$$ $$X'''(\text{bord libre}) =0$$ - le moment de flexion est nul au bord $$M(\text{bord libre}, t) =0\Leftrightarrow EI\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} = 0, \forall t\Leftrightarrow$$ $$X''(\text{bord libre}) =0$$ - les déplacements sont indéterminés $$v=? \text{ et }\frac{\partial v}{\partial x}=?$$ - A l'**appui simple** (@fig-appui-simple), un effort tranchant inconnu interdit le déplacement transverse au bord, mais aucun moment fléchissant n'interdit la rotation - La flèche est nulle au bord $$v(\text{appui simple},t) =0, \quad\forall t \Leftrightarrow$$ $$X(\text{appui simple}) =0$$ - Le moment de flexion est nul au bord $$M(\text{appui simple},t) =0\Leftrightarrow EI\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}(\text{appui simple},t) = 0, \quad \forall t\Leftrightarrow$$ $$X''(\text{appui simple}) =0$$ - La rotation et l'effort tranchant sont indéterminés - A l'**encastrement** (@fig-encastrement), toute déformation est interdite - la flèche est nulle au bord $$v(\text{encastrement}, t) =0, \quad \forall t\Leftrightarrow$$ $$X(\text{encastrement}) =0$$ - la rotation est nulle au bord $$\theta(\text{encastrement}, t) =0\Leftrightarrow \frac{\partial v}{\partial x}(\text{encastrement}, t) = 0, \quad \forall t\Leftrightarrow$$ $$X'(\text{encastrement}) =0$$ - le torseur des efforts au bord est indéterminé Le tableau ([3](#tab:BilanCLT){reference-type="ref" reference="tab:BilanCLT"}) synthétise les conditions sur la déformation de la poutre en flexion pour les 3 types de liaison standard. ::: {#tab:BilanCLT} Condition de liaison Bord Libre Appui simple Encastrement ------------------------- -------------------------------------- ----------------------------------------------------- --------------------------------------------- ![image](FiguresContinu/BordLibre.jpg){width="30%"} ![image](FiguresContinu/AppuiSimple.jpg){width="30%"} ![image](FiguresContinu/Encastrement.jpg){width="30%"} $v \rightarrow X$ ? 0 0 $\theta \rightarrow X'$ ? ? 0 $M \rightarrow X''$ 0 0 ? $T \rightarrow X'''$ 0 ? ? : Conditions aux limites pour les vibrations de poutres en flexion ::: La figure [22](#fig:PoutreTCas){reference-type="ref" reference="fig:PoutreTCas"} présente les différentes combinaisons de liaisons qui peuvent être traités simplement pour une poutre en vibration transverse. <figure id="fig:PoutreTCas"> <figure id="fig:C.L.TLL"> <img src="FiguresContinu/PoutreLL.jpg" style="width:90.0%" alt="image" /> </figure> <figure id="fig:C.L.TEL"> <img src="FiguresContinu/PoutreEL.jpg" style="width:90.0%" alt="image" /> </figure> <figure id="fig:C.L.TEE"> <img src="FiguresContinu/PoutreEE.jpg" style="width:90.0%" alt="image" /> </figure> <figure id="fig:C.L.TEA"> <img src="FiguresContinu/PoutreT_EA.jpg" style="width:90.0%" alt="image" /> </figure> <figure id="fig:C.L.TAA"> <img src="FiguresContinu/PoutreT_AA.jpg" style="width:90.0%" alt="image" /> </figure> <figure id="fig:C.L.TAL"> <img src="FiguresContinu/PoutreT_AL.png" style="width:90.0%" alt="image" /> </figure> <figcaption>Combinaisons possibles des conditions aux limites pour les vibrations transverses</figcaption> </figure> Les paragraphes suivants développent le calcul des modes propres pour quelques-uns de ces cas. ### Modes propres de la poutre simplement appuyée aux deux extrémités. Dans ce cas le déplacement et le moment fléchissant sont nuls en $x = 0$ et $x = L$, c'est à dire : $$X(0) = X''(0) = X(L) = X''(L) = 0$$ On choisit l'expression ([\[eqn:FormeXT3\]](#eqn:FormeXT3){reference-type="ref" reference="eqn:FormeXT3"}) comme forme générale de la déformée de la poutre : $$\begin{split} X(x) = &D_1 (\cos \gamma x+\cosh \gamma x)+ D_2 (\cos \gamma x-\cosh \gamma x)\\ + &D_3(\sin \gamma x+\sinh \gamma x) +D_4(\sin \gamma x-\sinh \gamma x)\\ \end{split}$$ La dérivée seconde s'écrit : $$\begin{split} X''(x) = \gamma^2(&D_1 (-\cos \gamma x+\cosh \gamma x)+ D_2 (-\cos \gamma x-\cosh \gamma x)\\ +& D_3(-\sin \gamma x+\sinh \gamma x) +D_4(-\sin \gamma x-\sinh \gamma x)) \end{split}$$ On a donc $X(0) = 0\Rightarrow D_1 = 0$ et $X''(0) = 0\Rightarrow D_2 = 0$ De plus $X(L) = 0\quad\text{et}\quad X''(L) = 0$ soit $D_3 = D_4$ et $$\sin\gamma L = 0$$ Les valeurs possibles de $\gamma$ sont données par: $\gamma_n = \frac{n\pi}{L}$ Les modes propres ont donc pour expression $$X_n(x) = \sin \frac{n\pi x}{L}$$ et les fréquences propres associées: $\omega_n = \gamma_n^2c$ $$\omega_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2\sqrt{\frac{EI}{\rho S}}$$ ![Trois premiers modes de flexion de la poutre appuyée aux deux bords](FiguresContinu/PoutreT_AA_Modes.jpg){width="75%"} ### Modes propres de la poutre libre aux deux extrémités. Ce cas correspond à la situation ou les appuis sont soit inexistants, soit de raideur assez faible devant celle de la poutre pour être négligés. On écrit ici que l'effort tranchant et le moment fléchissant sont nuls aux deux bords : En $x = 0$: $$X''(0) = 0\Rightarrow D_2 = 0\qquad\text{et}\qquad X'''(0) = 0\Rightarrow D_4 = 0$$ On a donc $$ X(x) = D_1(\cos\gamma x +\cosh\gamma x) + D_3(\sin\gamma x +\sinh\gamma x)$${#eq-soltll} Par ailleurs en $X''(L) = 0\quad\text{et}\quad X'''(L) = 0$ donnent le système suivant : $$(S) \left\lbrace\begin{array} {rl} D_1 (-\cos\gamma L +\cosh\gamma L) + D_3(-\sin\gamma L +\sinh\gamma L) = 0 \\ D_1 (\sin \gamma L + \sinh\gamma L) + D_3(-\cos\gamma L +\cosh\gamma L) = 0 \end{array}\right.$$ Pour avoir des solutions $D_1$ et $D_3$ non trivialement nulles, le déterminant de $(S)$ doit être nul. L'équation obtenue donne une condition nécessaire sur $\gamma$ pour avoir l'existence de solutions non-nulles: $$\cos\gamma L\cosh \gamma L = 1$$ On peut visualiser graphiquement cette équation: ```{python} #| echo: false #| fig-cap: Équation non-linéaire pour le nombre d'onde import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np g = np.linspace(0, 15, 200) y = np.cos(g) * np.cosh(g) m = [4.73, 7.85, 11, 14.13] l, = plt.plot(g, y) plt.axhline(1, color='k') for x in m: plt.plot([x], [1], marker='o', markerfacecolor='w', color=l.get_color()) plt.gca().set(ylim=(0, 2), xlabel='$\\gamma L$', ylabel='$\\cos\\gamma L\\cosh\\gamma L$') plt.show() ``` Les racines de cette équation sont données dans le tableau ([4](#tab:rootsdispTLL){reference-type="ref" reference="tab:rootsdispTLL"}) sont trouvées numériquement: ::: {#tab:rootsdispTLL} Solutions de $\cos\gamma L\cosh \gamma L = 1$ ----------------------------------------------- -------------- -------------- -------------- -------------- ------ $\gamma_1 L$ $\gamma_2 L$ $\gamma_3 L$ $\gamma_4 L$ $\gamma_5 L$ \... 4.73 7.85 11 14.13 17.28 \... : Cinq premières racines de l'équation du nombre d'onde pour la poutre libre-libre ::: Les fréquences propres sont obtenues en calculant : $\omega_n =c\gamma_n^2$ $$f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\left(\frac{\gamma_nL}{L}\right)^2\sqrt{\frac{EI}{\rho S}} \label{eqn:freqTLL}$$ La forme des modes propres est obtenue en substituant les racines $\gamma_nL$ successivement dans le système $(S)$, ce qui donne les rapports $\left(\frac{D_1}{D_3}\right)_n$ qui expriment la contribution relative des deux termes de l'expression ([-@eq-soltll]). Pour le 1er mode, par exemple, on injecte la première racine dans $(S)$ et on obtient : $$\left(\frac{D_3}{D_1}\right)_1 \approx 0.98$$ L'expression analytique de la déformée modale est donc : $$ X(x) = (\cos\gamma_1 x +\cosh\gamma_1 x) + 0.98 (\sin\gamma_1 x +\sinh\gamma_1 x)$$ Les déformées modales obtenues de cette manière pour les 3 premières racines de l'équation de dispersion sont représentés @fig-poutre-tll-modes. ![Trois premiers modes de flexion de la poutre libre-libre](FiguresContinu/PoutreT_LL_Modes.jpg){#fig-poutre-tll-modes width="75%"} ### Modes propres de la poutre bi-encastrée On écrit ici que la flèche et la rotation sont nulles aux deux extrémités. Ce qui abouti à : $$X(x) = D_2(\cos\gamma x -\cosh\gamma x) + D_4(\sin\gamma x -\sinh\gamma x)$$ On obtient aussi la même équation de dispersion que dans le cas libre-libre. On a donc les mêmes racines $\gamma_nL$ et les mêmes fréquences propres. Mais les modes ont des formes différentes qui sont représentées sur la @fig-modestee. ![Trous premiers modes transverses de la poutre bi-encastrée](FiguresContinu/PoutreT_EE_Modes.jpg){#fig-modestee width="80%"} ### Modes propres de la poutre encastrée-libre Le cas de la poutre encastrée-libre donne lieu à une solution de la forme : $$X(x) = D_2(\cos\gamma x -\cosh\gamma x) + D_4(\sin\gamma x -\sinh\gamma x)$$ et à l'équation suivante pour le nombre d'onde : $$\cos \gamma L\cosh \gamma L = -1$$ A partir des racines de cette équation données dans le tableau([5](#tab:rootsdispTEL){reference-type="ref" reference="tab:rootsdispTEL"}), on identifie les modes propres de la @fig-ModesTEL. Les fréquences propres associées sont données par l'@eq-dispersion-poutres. ::: {#tab:rootsdispTEL} Solutions de $\cos\gamma L\cosh \gamma L = -1$ ------------------------------------------------ -------------- -------------- -------------- -------------- ------ $\gamma_1 L$ $\gamma_2 L$ $\gamma_3 L$ $\gamma_4 L$ $\gamma_5 L$ \... 1.88 4.69 7.86 11 14.14 \... : Cinq premières racines de l'équation de dispersion pour la poutre encastrée-libre ::: ![Modes propres transverses de la poutre encastrée-libre](FiguresContinu/PoutreT_EL_Modes.jpg){#fig-ModesTEL width="75%"} ### Modes propres de la poutre encastrée - appuyée Le cas de la poutre encastrée- appuyée donne lieu à une solution de la forme : $$X(x) = D_2(\cos\gamma x -\cosh\gamma x) + D_4(\sin\gamma x -\sinh\gamma x)$$ On obtient aussi l'équation suivante pour le nombre d'onde : $$\tan \gamma L = \tanh \gamma L$$ ::: {#tab:rootsdispTEA} Solutions de $\tan\gamma L=\tanh \gamma L$ -------------------------------------------- -------------- -------------- -------------- -------------- ------ $\gamma_1 L$ $\gamma_2 L$ $\gamma_3 L$ $\gamma_4 L$ $\gamma_5 L$ \... 3.93 7.07 10.21 13.35 16.49 \... : Cinq premières racines de l'équation de dispersion pour la poutre encastrée-appuyée ::: A partir des racines de cette équations données dans le tableau ci-dessus, on identifie les modes propres de la @fig-ModesTEA. Les fréquences propres associées sont données par l'@eq-dispersion-poutres. ![Modes propres transverses de la poutre encastrée-libre](FiguresContinu/PoutreT_EA_Modes.jpg){#fig-ModesTEA width="75%"} ## Énergies cinétique et potentielle Comme pour le cas longitudinal, les énergies s'écrivent sous la forme: \begin{align*} T(\dot v) & = \frac{1}{2}\langle \dot v, M(\dot v)\rangle = \frac{1}{2}\int_0^L \rho S(\dot v)^2\,\mathrm dx\\ U(v) & = \frac{1}{2}\langle v, K(v)\rangle = \frac{1}{2}\int_0^L \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(EI\frac{\partial^2 v}{\partial x}\right)\cdot v\,\mathrm dx\\ \end{align*} On peut écrire une forme alternative de l'énergie potentielle en intégrant par partie: \begin{align*} 2U(v) & = \langle v, K(v)\rangle = \int_0^L \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(EI\frac{\partial^2 v}{\partial x}\right)\cdot v\,\mathrm dx \\ & = \left[v \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial^2 v}{\partial x}\right)\right]_{0}^{L} - \int_0^L\frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial^2 v}{\partial x}\right)\cdot \frac{\partial v}{\partial x}\,\mathrm dx\\ & = \left[v\cdot V\right]_{0}^L - \left[\frac{\partial v}{\partial x}\cdot EI\left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right)\right]_0^L + \int_0^LEI\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\,\mathrm dx\\ & = \left[v\cdot V\right]_{0}^L - \left[\theta\cdot M\right]_0^L + \int_0^L EI\left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right)^2\,\mathrm dx \end{align*} Les termes aux bords $[v\cdot V]_0^L$ et $[\theta \cdot M]_0^L$ sont nuls puisque: - soit $v = 0$ (appui simple ou encastrement), soit $V = 0$ (bord libre) - soit $\theta = 0$ (encastrement), soit $M = 0$ (appui simple ou bord libre) Donc : $$ U(v) = \frac{1}{2}\int_0^L EI\left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right)^2\,\mathrm dx. $$ ## Comparaison des fréquences propres des modes longitudinaux et transverses ![Fréquence de modes propres longitudinaux et transverses d'une poutre en acier$(L = 1m, e = 3mm$)](FiguresContinu/FrequencesLetT.jpg){#fig-CompareFreqLetT} La @fig-CompareFreqLetT présente les fréquences des premiers modes propres des vibrations longitudinales et transverses d'une poutre en acier de longueur $L=1m$ pour les différentes conditions de liaison. On constate que les vibrations de traction compression se manifestent à des fréquences 2 ordres de grandeur plus haut que les vibrations de flexion. Ces dernières varient de la dizaine de Hertz à quelques centaines de Hertz, dans une gamme de fréquences où il sera possible de les observer visuellement ou encore au toucher. Les vibrations longitudinale évoluent dans une gamme de l'ordre de plusieurs milliers de Hertz et peuvent dans certaines conditions être entendues. ## Orthogonalité, conditions initiales et régime forcé Les propriétés des modes vues @sec-orthogonalite-continu sont rigoureusement **identique** pour la vibration transverse des poutres. Le calcul des conditions initiales et de la réponse en régime forcé est également inchangé identique. On donne ci-dessous un exemple de calcul en régime forcé avec une force ponctuelle. #### Réponse à une force harmonique ponctuelle appliquée en $x_0$ ![Poutre soumise à une force transverse harmonique ponctuelle appliquée en $x_0$](FiguresContinu/PoutreT_F0.jpg){#fig:PoutreT_F0 width="75%"} Dans ce cas particulier, illustré figure ([28](#fig:PoutreT_F0){reference-type="ref" reference="fig:PoutreT_F0"}), la force s'écrit: $$f(x,t) = F_0 \delta(x-x_0) \cos\Omega t$$ La contribution de la force à l'excitation de chaque mode s'écrit : $$\int_0^L X_n(x)F_0\delta(x-x_0)dx = F_0X_n(x)(x_0)$$ C'est la force $F_0$ multipliée par l'amplitude du mode au point $X_0$. Autrement dit, si la force est appliquée à un noeud du mode, celui-ci ne sera pas excité. Si au contraire elle est appliquée à un ventre le mode sera pleinement mobilisé. Finalement : $$v(x,t) = \sum_nX_n(x)\phi_n(t) = F_0\sum_n\frac{X_n(x)(x_0)X_n(x)}{m_n(\omega_n^2 -\Omega^2)} \cos\Omega t$$ A titre d'exemple, on traite le **cas de la poutre appuyée à ses deux bouts**. On rappelle les paramètres modaux de cette configuration : $$X_n(x) = sin\frac{n\pi x}{L}\qquad m_n = \rho S\int_0^L\left(sin\frac{n\pi x}{L}\right)^2 dx = \frac{\rho SL}{2}\qquad \omega_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2\sqrt{\frac{EI}{\rho S}}$$ ![Excitation ponctuelle transverse de la poutre simplement appuyée](FiguresContinu/PoutreT_AA_F0.jpg){width="50%"} La réponse forcée de la poutre s'écrit: $$v(x,t) = \frac{2F_0}{\rho SL}\sum_{n=1}^\infty\frac{sin\frac{n\pi x_0}{L}sin\frac{n\pi x}{L}}{\omega_n^2 -\Omega^2} \cos\Omega t$$ Si $F_0$ est appliquée au centre de la poutre $x_0 = L/2$, la déformation de la poutre au cours du temps s'écrit $$v(x,t) = \frac{2F_0}{\rho SL}\sum_{n=1}^\infty\frac{sin\frac{n\pi }{2}sin\frac{n\pi x}{L}}{\omega_n^2 -\Omega^2} \cos\Omega t$$ soit : $$v(x,t) = \frac{2F_0}{\rho SL}\sum_{p=0}^\infty\frac{(-1)^p \sin\frac{(2p+1)\pi x}{L}}{\omega_{2p+1}^2 -\Omega^2} \cos\Omega t$$ ou encore : $$v(x,t)= \frac{2F_0}{\rho SL}\left( \frac{\sin\frac{\pi x}{L}}{\omega_1^2 -\Omega^2} -\frac{\sin\frac{3\pi x}{L}}{\omega_3^2 -\Omega^2}+\frac{\sin\frac{5\pi x}{L}}{\omega_5^2 -\Omega^2}-\frac{\sin\frac{7\pi x}{L}}{\omega_7^2 -\Omega^2}...\right)\cos\Omega t$$ On peut remarquer que, la force étant appliquée à un noeud de tous les modes pairs leur contribution est nulle. Les amplitudes de la réponse dans les cas d'application de la force à un point choisi arbitrairement et au point central sont données en fonction de la fréquence figure ([29](#fig:RepFrqPoutreAA){reference-type="ref" reference="fig:RepFrqPoutreAA"}). On y observe la disparition des résonances des modes pairs lorsque la force est appliquée au centre. ![Réponse en fréquence de la poutre simplement appuyée à une force ponctuelle](FiguresContinu/PoutreT_AA_F0_Reponse.jpg){#fig:RepFrqPoutreAA width="90%"} ## Approximation des vibrations des structures complexes Pour des systèmes continus de constitution géométrique ou structurelle plus complexe que celles étudiées précédemment, c'est à dire qui ne vérifient pas les hypothèses de matériau homogène et isotrope ou de section constante, les résultats précédents ne s'appliquent plus. Il peut cependant être souhaitable d'en estimer les fréquences de résonance et les modes de déformation sans recourir à des outils numériques complexes. Pour cela, moyennant des hypothèses raisonnables sur la déformation de la structure, on peut mettre en œuvre deux méthodes. La méthode de Rayleigh, en imposant à la structure une déformée vibratoire cinématiquement admissible, permet d'obtenir une valeur approchée de la fréquence à laquelle elle est susceptible de se manifester. La méthode de Rayleigh-Ritz, un peu plus complexe, considérant un ensemble réduit de déformées possibles comme des degrés de liberté vibratoire, fait appel aux outils servant pour l'étude des systèmes discrets et permet d'obtenir les formes et les fréquences approchées des premiers modes propres de la structure. Les deux méthodes nécessitent d'écrire les énergies cinétique et potentielle associées aux déformations possibles ou supposées qu'on rappelle ici dans le cas général : Pour une structure $\Omega$ dont la déformée vibratoire est décrite par la fonction $f(x,t)$, l'énergie cinétique s'écrit à chaque instant : $$T(t)= \frac{1}{2} \int_\Omega \rho(x)\left(\frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial t^2}\right)^2 dx$$ Pour l'énergie potentielle de déformation, on a : $$U(t)= \int_\Omega e_d(x,t) dx$$ où $e_d$ est l'énergie locale de déformation qui dépend de la loi de comportement à considérer ### Méthode de Rayleigh Dans le cas d'un système conservatif, cette méthode considère le théorème de conservation de l'énergie qui établit que les maxima d'énergie potentielle et cinétique sont égaux : $$E = U+T = U_{max} = T_{max} \Leftrightarrow\frac{U_{max}}{T_{max}} = 1$$ Lorsque le mouvement du système est décrit par une fonction $f(x,t) = \phi(t)X_n(x)$, on peut écrire ces énergies sous les formes suivantes : $$T = \frac{1}{2} m_n\dot \phi^2(t) \qquad \text{et}\qquad U = \frac{1}{2} k_n \phi^2(t)$$ où $m_n$ et $k_n$ sont respectivement les masse et raideur dynamiques du système en vibration suivant le mode $X_n(x)$. Dans le cas particulier d'un mode propre, le mouvement naturel est harmonique à la fréquence $\omega$ et on a : $$\phi(t) = A \cos(\omega t) \qquad \dot \phi(t) = A \omega\sin(\omega t)$$ On a donc : $$T = \frac{1}{2} m_n\omega_n^2 \sin^2\omega t \qquad \text{et}\qquad U = \frac{1}{2} k_n \cos^2 \omega t$$ d'où $$T_{max} = \frac{1}{2} m_n\omega_n^2 \qquad \text{et}\qquad U_{max} = \frac{1}{2} k_n$$ Avec $T_{max} = U_{max}$, on peut finalement écrire : $$\omega_n^2 = \frac{ k_n}{m_n}$$ #### Application à la poutre encastrée libre en flexion Dans cet exemple, déjà résolu par la méthode exacte, on considère une poutre de longueur L encastrée en $x=0$ et libre en $x=L$. La vibration est stationnaire, si bien qu'on peut écrire $f(x,t) = \phi(t)X(x)$. Par ailleurs, on suppose *a priori* que la poutre se déforme selon la courbe pointillée de la figure [30](#fig:RayTPoutreEL){reference-type="ref" reference="fig:RayTPoutreEL"}. Cette déformée doit respecter les conditions cinématiquement admissibles : un déplacement et une flèche nuls à l'encastrement et un déplacement maximum au bord libre. ![Poutre encastrée libre dans son 1er mode de flexion](FiguresContinu/PoutreT_EL_Rayleigh.jpg){#fig:RayTPoutreEL width="75%"} Il faut associer à cette forme un modèle mathématique et parmi ceux possibles, on choisit, le modèle polynomial correspondant à la déformée statique de la poutre soumise à une force transverse à son extrémité, soit : $$X(x)= 3\left(\frac{x}{L}\right)^2-\left(\frac{x}{L}\right)^3$$ On vérifie à chaque instant $X(0) = 0$ et $\partial_x X (0) = 0$ et $X(L) = \max(X(x))$. A l'aide de ce modèle, on peut estimer les énergies cinétique et potentielle de la structure pour cette vibration particulière : $$\begin{aligned} T & = \frac{1}{2}\dot \phi^2(t) \int_0^L \rho S X(x)^2 && = \frac{1}{2}\dot \phi^2(t) \int_0^L \rho S \left[3\left(\frac{x}{L}\right)^2-\left(\frac{x}{L}\right)^3\right]^2dx && = \frac{1}{2} 0.942 \rho S L \dot \phi^2(t) \\ U & = \frac{1}{2} \phi^2(t)\int_0^L EIX''(x)^2dx && = \frac{1}{2} \phi^2(t)\int_0^L EI\left[\frac{6}{L^2}-\frac{6x}{L^3}\right]^2dx && = \frac{1}{2} \frac{12EI}{L^3} \phi^2(t) \end{aligned}$$ On obtient ainsi une valeur approchée de la pulsation du mode décrit par la fonction $X(x)$ $$\omega_{approx} = \sqrt{\frac{12}{0.942L^4}\frac{EI}{\rho S}} = \frac{3.567}{L^2}\sqrt{\frac{EI}{\rho S}}$$ On rappelle la valeur exacte de la fréquence fondamentale de la poutre encastrée libre : $$\omega_{exacte} = \frac{(\gamma_1L)^2}{L^2} \sqrt{\frac{EI}{\rho S}}= \frac{3.534}{L^2}\sqrt{\frac{EI}{\rho S}}$$ l'erreur relative pour cette estimation est $\frac{\Delta \omega}{\omega} <2\%$. ### Méthode de Rayleigh-Ritz Cette méthode dérivée de la précédente est employée pour réduire le nombre de degrés de liberté d'un système complexe (à N ddl, N pouvant être infini) et pour en estimer le premiers modes et leur fréquence. Comme précédemment, on commence faire des hypothèses acceptables sur la déformation du système. Ritz a suggéré que la déformation soit approchée par une combinaison linéaire de fonctions de base, combinaison devant satisfaire aux conditions aux limites cinématiques du système. Soient $X_i(x), i = 1...n<<N$ ces fonctions de base et $\phi_i$ leurs contributions respectives au mouvement. On pose que la déformée du système s'écrit sous forme explicite ou en notation matricielle : $$f(x,t) = \sum_{i=1}^n \phi_i(t)X_i(x)=\mathbf{X^t \Phi}$$ On peut alors exprimer les énergies cinétique et potentielle sous la forme : $$T = \frac{1}{2}\mathbf{\dot\Phi^t X^t M X\dot\Phi}\qquad\text{et} \qquad U = \frac{1}{2}\mathbf{\Phi^t X^t M X\Phi}$$ et identifier une matrice de masse $\textbf{M}$ et une matrice de raideur $\textbf{K}$. Finalement, on tire de ces matrices des valeurs approchées de fréquences propres et une forme approchée des modes propres correspondants par les méthodes mises en œuvre pour un système discret. #### Application aux vibrations longitudinales d'une poutre E-L On considère la même poutre encastrée-libre que précédemment, mais on cherche cette fois-ci à obtenir une valeur approchée de ses 4 premières fréquences propres ainsi qu'une forme approximative du mode de vibration associé. On fait l'hypothèse que les déformées modales jusqu'au quatrième mode peuvent être réduites en une combinaison de 4 fonctions polynomiales respectant les conditions aux limites cinématiques : $$u(x,t) = \frac{x}{L}\phi_1(t)+\left(\frac{x}{L}\right)^2\phi_2(t)+\left(\frac{x}{L}\right)^3\phi_3(t)+\left(\frac{x}{L}\right)^4\phi_4(t) \label{eqn:RayRitz_approx}$$ ![Base de 4 fonctions polynomiales pour l'approximation des vibrations longitudinales de la poutre encastrée libre](FiguresContinu/PoutreL_EL_Ritz.jpg){#fig:RayRitzPoutreL_EL_base width="75%"} Les fonctions de base choisies sont présentées figure [31](#fig:RayRitzPoutreL_EL_base){reference-type="ref" reference="fig:RayRitzPoutreL_EL_base"}. On peut remarquer qu'elles ne sont pas orthogonales. Partant de l'expression [\[eqn:RayRitz_approx\]](#eqn:RayRitz_approx){reference-type="ref" reference="eqn:RayRitz_approx"}, on calcule les énergies cinétique et potentielle afin d'identifier des matrice $\textbf M$ et $\textbf K$ $$\begin{aligned} T &= \frac{1}{2}\int_0^L \rho S\left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\right)^2dx \\ &=\frac{1}{2}\rho S \int_0^L \left( \dot \phi_1(t) \frac{x}{L} + \dot \phi_2(t) \left(\frac{x}{L}\right)^2 + \dot \phi_3(t) \left(\frac{x}{L}\right)^3 + \dot \phi_4(t) \left(\frac{x}{L}\right)^4 \right)^2dx\\ &= \frac{1}{2}\rho S L \left( \frac{1}{3} \dot \phi_1\dot \phi_1 + \frac{2}{4}\dot \phi_1\dot \phi_2 + \frac{2}{5}\dot \phi_1\dot \phi_3 + \frac{2}{6}\dot \phi_1\dot \phi_4 + \frac{1}{5}\dot \phi_2\dot \phi_2 + \frac{2}{6}\dot \phi_2\dot \phi_3 + \frac{2}{7}\dot \phi_2\dot \phi_4 + \frac{1}{7}\dot \phi_3\dot \phi_3 + \frac{2}{8}\dot \phi_3\dot \phi_4 + \frac{1}{9}\dot \phi_4\dot \phi_4 \right) \\ \\ U &= \frac{1}{2}\int_0^L ES \left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right)^2dx \nonumber\\ &=\frac{1}{2}E S \int_0^L \left( \phi_1(t) \frac{1}{L} + \phi_2(t) \frac{2x}{L^2} + \phi_3(t) \frac{3x^2}{L^3} + \phi_4(t) \frac{4x^3}{L^4} \right)^2dx \\&= \frac{1}{2}\frac{ES}{L} \left( \phi_1 \phi_1 + \phi_1 \phi_2 + \phi_1 \phi_3 + \phi_1 \phi_4 + \frac{4}{3} \phi_2 \phi_2 + \frac{6}{2} \phi_2 \phi_3 + \frac{16}{5} \phi_2 \phi_4 + \frac{9}{5} \phi_3 \phi_3 + 4 \phi_3 \phi_4 + \frac{16}{7} \phi_4 \phi_4 \right) \end{aligned}$$ d'où $$\textbf{M} = \rho SL \begin{pmatrix} 1/3&1/4&1/5&1/6\\ 1/4&1/5&1/6&1/7\\ 1/5&1/6&1/7&1/8\\ 1/6&1/7&1/8&1/9 \end{pmatrix}\qquad \textbf{K} = \tfrac{ES}{L} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 4/3 & 3/2 & 8/5\\ 1 & 3/2 & 9/5 & 2\\ 1 & 8/5 & 2 & 16/7 \end{pmatrix}$$ La diagonalisation de ces matrices procure les fréquences et vecteurs propres approchés. Les deux premiers couples approchés sont à comparer à ceux obtenus par la méthode exacte : **Mode 1** $$\omega_{1_{Ritz}} = \frac{1.571}{L}\sqrt{\frac{E}{\rho}} \qquad X_{1_{Ritz}} = \frac{x}{L}+0.028\left(\frac{x}{L}\right)^2-0.5\left(\frac{x}{L}\right)^3+0.11\left(\frac{x}{L}\right)^4$$ à comparer à la **solution exacte**: $$\omega_{1_{vrai}} = \frac{\pi}{2L}\sqrt{\frac{E}{\rho}} =\frac{1.571}{L}\sqrt{\frac{E}{\rho}} \quad \left(\frac{\Delta\omega_1}{\omega_1} = 0\right)\qquad X_{1_{vrai}} = \sin \frac{\pi x}{2L}$$ et **Mode 2** $$\omega_{2_{Ritz}} = \frac{4.724}{L}\sqrt{\frac{E}{\rho}} \qquad X_{2_{Ritz}} = \frac{x}{L}+0.69\left(\frac{x}{L}\right)^2-2.56\left(\frac{x}{L}\right)^3+2.06\left(\frac{x}{L}\right)^4$$ à comparer à la **solution exacte** : $$\omega_{2_{vrai}} = \frac{3\pi}{2L}\sqrt{\frac{E}{\rho}} =\frac{4.712}{L}\sqrt{\frac{E}{\rho}} \quad \left(\frac{\Delta\omega_2}{\omega_2} = 0.25\%\right)\qquad X_{2_{vrai}} = \sin \frac{3\pi x}{2L}$$ ![Forme approchée par la méthode de Ritz des 2 premiers modes de vibration longitudinales de la poutre encastrée libre comparée à la forme exacte](FiguresContinu/PoutreL_EL_Ritz_Modes.jpg){#fig:RayRitzPoutreL_EL_approx width=".75\\textwidth"} ::: appendices ## Annexes {#annexes .unnumbered} ### Equation des vibrations transverses des cordes {#equation-des-vibrations-transverses-des-cordes .unnumbered} movie <figure id="fig:filmCorde"> ViolinStringSlowMotion.mp4 <figcaption>Film ralenti des vibrations d’une corde de violon</figcaption> </figure> Le film en figure [33](#fig:filmCorde){reference-type="ref" reference="fig:filmCorde"} montre la vibration d'une corde de violon excitée par l'archet. Pour écrire l'équation différentielle du mouvement transverse $v(x,t)$ régissant cette vibration, on considère la corde de longueur $L$ dans un matériau de masse linéique $\rho$(kg/m) et de tension $T$(N) et on isole une portion de la corde de longueur $dx$ afin de faire le bilan des efforts dynamiques qu'elle subit, comme décrit par la figure [34](#fig:equilibreCorde){reference-type="ref" reference="fig:equilibreCorde"}. La pente locale de la corde est notée $\alpha = \frac{\partial v }{\partial x}$ <figure id="fig:equilibreCorde"> <img src="FiguresContinu/Corde.jpg" alt="image" /> <img src="FiguresContinu/EquilibreCorde.jpg" alt="image" /> <figcaption>Bilan local des efforts dans une corde rendue</figcaption> </figure> Le bilan des forces exercées sur la portion de corde se décompose dans les directions longitudinale $x$ et transverse $y$. Suivant x , on peut considérer que le déplacement de la portion est nul : $$|T(x+dx)| \cos\alpha(x+dx)-|T(x)| \cos\alpha(x) = 0$$ Pour de petits déplacements transverses, on a, au 1er ordre : $\cos\alpha \approx1$, soit $$T(x+dx) = T(x)$$ C'est à dire que la tension de la corde est constante sur toute sa longueur. Suivant y, on prend en compte l'inertie de la portion et la composante transverse de la tension aux 2 extrémités : $$T \sin\alpha(x+dx)-T \sin\alpha(x) =\rho dx\frac{\partial^2v}{\partial t^2}$$ Soit au 1er ordre : $$T \alpha(x+dx)-T \alpha(x) =\rho dx\frac{\partial^2v}{\partial t^2}$$ $$\Leftrightarrow T \frac{\partial \alpha}{\partial x}dx =\rho dx\frac{\partial^2v}{\partial t^2}$$ En substituant à la pente $\alpha$ son expression en fonction de $v$ et en considérant un développement de Taylor d'ordre 1 ($\alpha(x+dx) = \alpha(x)+ \frac{\partial\alpha}{\partial x}dx$), on parvient à : $$\rho \frac{\partial^2v}{\partial t^2} = T\frac{\partial^2v}{\partial x^2} \Leftrightarrow \frac{\partial^2v}{\partial t^2} - c^2\frac{\partial^2v}{\partial x^2}=0 \quad \text{avec} \quad c = \sqrt{\frac{T}{\rho}}$$ On établit simplement que $c$ a la dimension d'une vitesse : $$[c] = \sqrt{\frac{N}{kg/m}} = \sqrt{\frac{kg/m/s^2}{kg/m}}=\sqrt{\frac{m^2}{s^2}} = \frac{m}{s}$$ $c$ est la vitesse de propagation des ondes transverses dans la corde de masse linéique $\rho$ et de tension $T$. Pour une corde en acier de diamètre 0.5 mm tendue à 10 kg : $c_{acier}\approx 400 m/s$ ### Vibrations de torsion dans les arbres {#vibrations-de-torsion-dans-les-arbres .unnumbered} ![Paramètres des ondes de torsion dans une barre](FiguresContinu/PoutreTorsion_Param.jpg){width="\\linewidth"} On considère à nouveau une barre droite de longueur $L(\gg e,l)$ où $e$ et $l$ sont les dimensions transverses. La section $S$ est constante et le matériau qui la constitue est isotrope et de comportement linéaire non dissipatif. On suppose des couples dynamiques agissant suivant l'axe $x$ le long de la barre notées $\gamma(x,t)$. On considère de petites rotations $\theta(x,t)$ des sections droites autour de leur position d'équilibre statique. ![Bilan des moments sur une section élémentaire de la barre](FiguresContinu/EquilibreTorsion.jpg){#fig:EquilibreR width="0.25\\linewidth"} L'élément de moment quadratique $I_x$ présente un moment d'inertie $\rho I_x dx$. Il est mis en mouvement avec l'accélération angulaire $\frac {\partial ^2 \theta}{\partial t^2}$ par l'action du moment $-M(x)$ à gauche, du moment en réaction $M(x+dx)= M(x) +\frac{\partial M}{\partial x}dx$ à droite et du couple extérieur $\gamma(x,t)$. L'équilibre dynamique s'écrit : $$\begin{aligned} \rho I_x dx \frac {\partial^2 \theta}{\partial t^2} & = -M(x)+ M(x) +\frac{\partial M}{\partial x}dx+\gamma(x,t)dx\\ \Leftrightarrow \rho I_x \frac {\partial ^2 \theta}{\partial t^2} & = \frac{\partial M}{\partial x}+\gamma(x,t) \end{aligned}$$ On a donc :$$\rho I_x \frac {\partial ^2 \theta}{\partial t^2} = \frac{\partial M}{\partial x}+\gamma(x,t)$$ La loi de comportement élastique en rotation pure permet d'exprimer le moment $M$ en fonction du déplacement $\theta(x,t)$ : $$M= GI_x\frac {\partial \theta}{\partial x}$$ En substituant $M$ par cette expression dans l'équation d'équilibre dynamique, on obtient : $$\rho I_x \frac {\partial ^2 \theta}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial x}(GI_x\frac{\partial \theta}{\partial x})+\gamma(x,t)$$ Comme, par hypothèse, $G$ et $I_x$ sont constants le long de la barre, on a : $$\rho\frac {\partial ^2 u}{\partial t^2} = G\frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}+\frac{1}{I_x}\gamma(x,t)$$ On note $c_R^2 = \frac{G}{\rho}$ soit: $$c_R = \sqrt{\frac{G}{\rho}}= \sqrt{\frac{E}{2(1+\nu)\rho}}$$ Et on obtient finalement l'équation des ondes de torsion dans la barre : $$\frac {\partial ^2 \theta}{\partial t^2} - c_R^2\frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2} =\frac{1}{\rho I_x} \gamma(x,t)$$ Comme précédemment $c_R$ a la dimension d'une vitesse : $$[c_R] = \left[\sqrt{\frac{G}{\rho}}\right] = \sqrt{\frac{N/m^2}{kg/m^3}} = \sqrt{\frac{(kg m/s^2)/m^2}{kg/m^3}}=\sqrt{\frac{m^2}{s^2}} = \frac{m}{s}$$ $c_R$ est la vitesse de propagation des ondes de torsion dans la barre. Dans une barre en acier, par exemple, on a : $$c_{R_{acier}}= \sqrt{\frac{G}{\rho}} = \sqrt{\frac{E}{2(1+\nu)\rho}} =\sqrt{\frac{2.10^{11}}{2\times(1+0.3)\times8.10^3}} = 2000 \text{m/s}$$ :::