6 Le salaire de la peur

Dans le film "le salaire de la peur" (H.G. Clouzot, 1953), des camions doivent transporter un chargement de nitroglycérine destiné à souffler un puits de pétrole en feu. Le parcours de plusieurs centaines de kilomètres emprunte une piste cabossée qui oblige le convoi à rouler lentement pour éviter les soubresauts qui pourraient provoquer l’explosion du chargement.

Le camion est modélisé comme un système à 1 DDL. L’objectif du problème est de dimensionner la suspension (raideur $k$, amortissement $c$) pour assurer la sécurité du convoi. La masse $M$ de la partie suspendue (Moteur + Cabine + Remorque + Chargement) est évaluée à 15 tonnes. Les roues sont supposées rigides et transmettent intégralement les variations de hauteur de la route.

On note $x$ la variable qui décrit la trajectoire horizontale du convoi. Celle-ci est parcourue à la vitesse $v$. La hauteur variable de la piste est notée $h(x)$. On note $z_0$ la position d’équilibre de la masse pour une hauteur fixe de la route $h_0$. On note $z(t)$ le déplacement de la masse par rapport à $z_0$.

Établir l’équation du mouvement de la masse $M$ par l’équation d’Euler-Lagrange.

Solution

Le déplacement $z$ est mesuré dans un repère fixe (donc galiléen). Lorsque $z$ varie, la seule contribution d’inertie vient de la masse, et

\[ T(\dot z) = \frac{1}{2}M\dot z^2. \]

Si $z$ est fixe et que $h$ varie, il n’y a pas de changement d’énergie cinétique dans le repère fixe.

L’énergie potentielle vient du ressort $k$, et elle varie quand $z$ varie mais aussi quand $h$ varie. Le déplacement du ressort est $z - h$, et l’énergie potentielle est:

\[ U(z) = \frac{1}{2}k(z - h)^2. \]

La force de l’amortisseur dépend de la vitesse d’allongement $\dot z - \dot h$. Le travail de la force sur un déplacement virtuel $\delta z$ est:

\[ \delta W = -c(\dot z - \dot h)\delta z, \]

On en déduit $Q = -c(\dot z - \dot h)$, et l’équation de mouvement:

\[\begin{align*} M\ddot z + k(z - h) & = -c (\dot z - \dot h)\\ \Leftrightarrow M\ddot z + c\dot z + kz & = kh + c\dot h \end{align*}\]

On a utilisé pour l’équation ci-dessus une position d’équilibre fixe $z_0$, mais si l’on prend en compte la hauteur variable de la route, la “vraie” position d’équilibre dépend de $h$. On note que le déplacement par rapport à cette position d’équilibre variable est $y = z - h$.

Mise en garde

Le déplacement $y$ est mesuré par rapport à une référence qui varie: il est donc mesuré dans un référentiel qui “suit” la hauteur de la route et est non-galiléen, et l’énergie cinétique de la masse doit tenir compte de la vitesse du référentiel par rapport à un référentiel galiléen. Cette vitesse est $\dot h$ et $T(\dot y) = \frac{1}{2}M(\dot y + \dot h)^2$.

On peut établir l’équation de mouvement en $y$ par changement de variable sur l’équation en $z$ ou par Euler-Lagrange avec la bonne énergie cinétique, et on obtient:

\[ M\ddot y + c\dot y + ky = -M\ddot h. \]

Notez que la fréquence propre $\omega_0$ est indépendante du choix de référentiel. Les deux équations de la dynamique sont strictement équivalentes à un changement de variable près.

Mettre l’équation du mouvement sous la forme faisant intervenir les paramètres pulsation propre $\omega_0$ et amortissement $\xi$, dont on donnera les expressions en fonction des paramètres mécaniques

Solution

On peut écrire l’équation sous la forme générale : \[\ddot z +\dfrac{c}{M} \dot z + \dfrac{k}{M}z = \dfrac{c}{M} \dot h + \dfrac{k}{M}h\] Soit : \[\ddot z +2\xi\omega_0 \dot z + \omega_0^2z = 2\xi\omega_0 \dot h + \omega_0^2h\] avec\[\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{M}} \hspace{2cm}\xi = \frac{c}{2M\omega_0}\]

Évaluer la raideur $k$ de la suspension qui procure au système une fréquence propre $f_0=12$ Hz.

Solution

La pulsation propre est $\omega_0 = 2\pi f_0 = \sqrt{\dfrac{k}{M}}$.

Donc $k = 4\pi^2f_0^2M = 4\pi^2 \times 12^2 \times 15.10^3 = 8,5 . 10^7$ N/m.

On souhaite que le système soit sous-amorti à 10% ($\xi = 0.1$). Quel coefficient d’amortissement $c$ doit avoir la suspension hydraulique ? Quel est le temps caractéristique de décroissance des vibrations libres ?

Solution

Le facteur d’amortissement est $\xi= \dfrac{c}{2M\omega_0}$, donc $c = 2M\omega_0\xi = 2 \times 15.10^3 \times 2\pi \times 12 \times 0,1 = 2,3.10^5$ N/(m/s).

Pour le temps caractéristique, on a $\tau = (\xi\omega_0)^{-1} = \frac{1}{2\pi \xi f_0} = \frac{1}{2.4 \pi}\, \mathrm{s} \approx 0.13\,\mathrm{s}$.

Un moment fort du film survient lorsque le convoi doit franchir une portion de quelques kilomètres de piste constituée de vaguelettes de terre qui exciteront inévitablement la structure.

On peut modéliser ce passage de route, appelé "tôle ondulée", par une sinusoïde d’amplitude $A=10$ cm et de longueur d’onde $L=25$ cm (voir schéma). Préciser la relation entre la fréquence de l’excitation du système et la vitesse $V$ du camion.

Solution

Les variations de hauteur de la route en fonction de $x$ s’écrivent : \[h(x) = A\sin\frac{2\pi x}{L}.\] On a supposé qu’en $x = 0$, $h(0) = 0$ pour éviter d’introduire un déphasage. La route est parcourue à la vitesse constante $V$. La trajectoire horizontale du camion est donc $x(t) = Vt$ si $x(0) = 0$. Donc les variations de hauteur de la route vues par le chauffeur en fonction du temps s’écrivent : \[h(t) = A\sin\frac{2\pi V t}{L} = A\sin 2 \pi f t = A\sin \Omega t,\] d’où la fréquence d’excitation $f = \dfrac{V}{L}$.

Déterminer la forme du mouvement vibratoire vertical $z(t)$ du camion en fonction du temps et préciser l’amplitude du déplacement.

Solution

Avec $h(t) = A\sin\Omega t$, l’équation du mouvement s’écrit:

\[\begin{align*} \ddot z + 2\xi\omega_0\dot z + \omega_0^2 z & = 2\xi\omega_0\dot h + \omega_0 h\\ & = A\omega_0(2\xi\Omega \cos\Omega t + \omega_0\sin\Omega t) \end{align*}\]

On a deux forces harmoniques de même fréquence, on peut donc les réunir en un seul terme:

\[\begin{align*} 2\xi\Omega\cos\Omega t + \omega_0 \sin\Omega t & = -2\xi\Omega\sin\left(\Omega t - \frac{\pi}{2}\right) + \omega_0 \sin\Omega t\\ & = \mathrm{Im}\left[ -2\xi\Omega e^{i(\Omega t - \pi / 2)} + \omega_0 e^{i\Omega t}\right]\\ & = \mathrm{Im}\left[e^{i\Omega t}(2i\xi\Omega + \omega_0)\right] \end{align*}\]

On exprime le complexe $\omega_0 + 2i\xi\Omega = \beta e^{i\varphi}$ en notation polaire, avec:

\[\begin{align*} \beta & = \sqrt{(2\xi\Omega)^2 + \omega_0^2}\\ \varphi & = \arctan\left(\frac{2\xi\Omega}{\omega_0}\right) \end{align*}\]

On peut donc écrire le terme de forçage comme:

\[ 2\xi\omega_0\dot h + \omega_0 h = B\sin(\Omega t + \varphi) \]

Avec $B = A\omega_0 \sqrt{(2\xi\Omega)^2 + \omega_0^2}$.

Note

Sans passer par les complexes, on peut poser:

\[ B\sin(\Omega t + \varphi) = B\cos\Omega t\sin\varphi + B\sin\Omega t\cos\varphi = A\omega_0(2\xi\Omega \cos\Omega t + \omega_0\sin\Omega t) \]

Puisque les fonctions $\sin\Omega t$ et $\cos \Omega t$ sont linéairement indépendantes, on peut poser deux équations:

\[\begin{align*} B\sin\varphi & = A\omega_02\xi\Omega\\ B\cos\varphi & = A\omega_0^2 \end{align*}\]

Résoudre pour $B$ et $\varphi$ donne le résultat escompté.

Pour résoudre la suite du problème, on passe en notation complexe.

On écrit l’équation du mouvement : \[\ddot z + 2\xi\omega_0 \dot z + \omega_0^2 z = B\sin(\Omega t+\varphi) = \Im \left[Be^{j(\Omega t+\varphi)} \right].\] La réponse du système est recherchée sous la même forme que l’excitation : $z(t) = \Im \left[\tilde z(t)\right]$ avec $\tilde z(t) = Ze^{j(\Omega t + \varphi + \psi)}$. On a donc en complexe : \[\ddot{\tilde z} + 2\xi\omega_0 \dot{\tilde z} + \omega_0^2 \tilde z = Be^{j(\Omega t+\varphi)} \Longleftrightarrow \left(\omega_0^2 - \Omega^2 + 2j\xi\omega_0\Omega\right) Z e^{j\psi} = B\] On a donc \[Z e^{j\psi} = \dfrac{B(\omega_0^2 - \Omega^2 - 2j\xi\omega_0\Omega)}{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + (2\xi\omega_0\Omega)^2},\] avec $Z = \sqrt{\Re^2+\Im^2}$ et $\psi=-\arctan\left(\frac{\Im}{\Re}\right)$ \[\begin{cases} Z =\dfrac{B\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2+(2\xi\omega_0\Omega)^2}}{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + (2\xi\omega_0\Omega)^2} =\dfrac{B}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2+(2\xi\omega_0\Omega)^2}} = \dfrac{A\omega_0 \sqrt{4\xi^2\Omega^2 +\omega_0^2}}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + (2\xi\omega_0\Omega)^2}}, \\ \psi = - \arctan\left(\dfrac{2\xi\omega_0\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}\right). \end{cases}\]

Tracer l’évolution de l’amplitude du déplacement en fonction de la fréquence $f=\Omega/2\pi$. et de la vitesse $v$ du camion.

Quelle allure est la mieux adaptée au franchissement de cette zone de "tôle ondulée"? Justifier le meilleur choix.

Solution

La suspension est un filtre passe bas.

Avant la résonance, c’est-à-dire pour les basses fréquences et donc les basses vitesses, l’amplitude des ondulations de la route sera presque intégralement transmise. Ce qui est trop fort.
Autour de la résonance elle sera fortement amplifiée, ce qui est encore pire
Après la résonance, au contraire, l’amortisseur absorbe les ondulations. Il faut donc adopter une vitesse correspondant à une fréquence bien supérieure à la fréquence propre.

Fonction de transfert

À quelle vitesse minimale le camion doit-il rouler pour que l’amplitude vibratoire du camion soit inférieure à 1 cm ?

Solution

La fréquence correspondant à une amplitude de 1 cm est $f = 44$ Hz. Il faut rouler au moins à une vitesse $V = fL$ = 11 m/s = 39,6 km/h.

# Le salaire de la peur {#sec-salaire} Dans le film \"le salaire de la peur\" (H.G. Clouzot, 1953), des camions doivent transporter un chargement de nitroglycérine destiné à souffler un puits de pétrole en feu. Le parcours de plusieurs centaines de kilomètres emprunte une piste cabossée qui oblige le convoi à rouler lentement pour éviter les soubresauts qui pourraient provoquer l'explosion du chargement. Le camion est modélisé comme un système à 1 DDL. L'objectif du problème est de dimensionner la suspension (raideur $k$, amortissement $c$) pour assurer la sécurité du convoi. La masse $M$ de la partie suspendue (Moteur + Cabine + Remorque + Chargement) est évaluée à 15 tonnes. Les roues sont supposées rigides et transmettent intégralement les variations de hauteur de la route. ![Amortisseur sur route](figs/SalairePeur.png){width="0.8\\linewidth"} On note $x$ la variable qui décrit la trajectoire horizontale du convoi. Celle-ci est parcourue à la vitesse $v$. La hauteur variable de la piste est notée $h(x)$. On note $z_0$ la position d'équilibre de la masse pour une hauteur fixe de la route $h_0$. On note $z(t)$ le déplacement de la masse par rapport à $z_0$. Établir l'équation du mouvement de la masse $M$ par l'équation d'Euler-Lagrange. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} Le déplacement $z$ est mesuré dans un repère fixe (donc galiléen). Lorsque $z$ varie, la seule contribution d'inertie vient de la masse, et $$ T(\dot z) = \frac{1}{2}M\dot z^2. $$ Si $z$ est fixe et que $h$ varie, il n'y a pas de changement d'énergie cinétique dans le repère fixe. L'énergie potentielle vient du ressort $k$, et elle varie quand $z$ varie mais aussi quand $h$ varie. Le déplacement du ressort est $z - h$, et l'énergie potentielle est: $$ U(z) = \frac{1}{2}k(z - h)^2. $$ La force de l'amortisseur dépend de la vitesse d'allongement $\dot z - \dot h$. Le travail de la force sur un déplacement virtuel $\delta z$ est: $$ \delta W = -c(\dot z - \dot h)\delta z, $$ On en déduit $Q = -c(\dot z - \dot h)$, et l'équation de mouvement: \begin{align*} M\ddot z + k(z - h) & = -c (\dot z - \dot h)\\ \Leftrightarrow M\ddot z + c\dot z + kz & = kh + c\dot h \end{align*} On a utilisé pour l'équation ci-dessus une position d'équilibre fixe $z_0$, mais si l'on prend en compte la hauteur variable de la route, la "vraie" position d'équilibre dépend de $h$. On note que le déplacement par rapport à cette position d'équilibre variable est $y = z - h$. :::{.callout-caution} Le déplacement $y$ est mesuré par rapport à une référence qui varie: il est donc mesuré dans un référentiel qui "suit" la hauteur de la route et est **non-galiléen**, et l'énergie cinétique de la masse doit tenir compte de la vitesse du référentiel par rapport à un référentiel galiléen. Cette vitesse est $\dot h$ et $T(\dot y) = \frac{1}{2}M(\dot y + \dot h)^2$. ::: On peut établir l'équation de mouvement en $y$ par changement de variable sur l'équation en $z$ ou par Euler-Lagrange avec la bonne énergie cinétique, et on obtient: $$ M\ddot y + c\dot y + ky = -M\ddot h. $$ Notez que la fréquence propre $\omega_0$ est indépendante du choix de référentiel. Les deux équations de la dynamique sont strictement équivalentes à un changement de variable près. ::: Mettre l'équation du mouvement sous la forme faisant intervenir les paramètres pulsation propre $\omega_0$ et amortissement $\xi$, dont on donnera les expressions en fonction des paramètres mécaniques ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} On peut écrire l'équation sous la forme générale : $$\ddot z +\dfrac{c}{M} \dot z + \dfrac{k}{M}z = \dfrac{c}{M} \dot h + \dfrac{k}{M}h$$ Soit : $$\ddot z +2\xi\omega_0 \dot z + \omega_0^2z = 2\xi\omega_0 \dot h + \omega_0^2h$$ avec$$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{M}} \hspace{2cm}\xi = \frac{c}{2M\omega_0}$$ ::: Évaluer la raideur $k$ de la suspension qui procure au système une fréquence propre $f_0=12$ Hz. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} La pulsation propre est $\omega_0 = 2\pi f_0 = \sqrt{\dfrac{k}{M}}$. Donc $k = 4\pi^2f_0^2M = 4\pi^2 \times 12^2 \times 15.10^3 = 8,5 . 10^7$ N/m. ::: On souhaite que le système soit sous-amorti à 10% ($\xi = 0.1$). Quel coefficient d'amortissement $c$ doit avoir la suspension hydraulique ? Quel est le temps caractéristique de décroissance des vibrations libres ? ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} Le facteur d'amortissement est $\xi= \dfrac{c}{2M\omega_0}$, donc $c = 2M\omega_0\xi = 2 \times 15.10^3 \times 2\pi \times 12 \times 0,1 = 2,3.10^5$ N/(m/s). Pour le temps caractéristique, on a $\tau = (\xi\omega_0)^{-1} = \frac{1}{2\pi \xi f_0} = \frac{1}{2.4 \pi}\, \mathrm{s} \approx 0.13\,\mathrm{s}$. ::: Un moment fort du film survient lorsque le convoi doit franchir une portion de quelques kilomètres de piste constituée de vaguelettes de terre qui exciteront inévitablement la structure. On peut modéliser ce passage de route, appelé \"tôle ondulée\", par une sinusoïde d'amplitude $A=10$ cm et de longueur d'onde $L=25$ cm (voir schéma). Préciser la relation entre la fréquence de l'excitation du système et la vitesse $V$ du camion. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} Les variations de hauteur de la route en fonction de $x$ s'écrivent : $$h(x) = A\sin\frac{2\pi x}{L}.$$ On a supposé qu'en $x = 0$, $h(0) = 0$ pour éviter d'introduire un déphasage. La route est parcourue à la vitesse constante $V$. La trajectoire horizontale du camion est donc $x(t) = Vt$ si $x(0) = 0$. Donc les variations de hauteur de la route vues par le chauffeur en fonction du temps s'écrivent : $$h(t) = A\sin\frac{2\pi V t}{L} = A\sin 2 \pi f t = A\sin \Omega t,$$ d'où la fréquence d'excitation $f = \dfrac{V}{L}$. ::: Déterminer la forme du mouvement vibratoire vertical $z(t)$ du camion en fonction du temps et préciser l'amplitude du déplacement. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} Avec $h(t) = A\sin\Omega t$, l'équation du mouvement s'écrit: \begin{align*} \ddot z + 2\xi\omega_0\dot z + \omega_0^2 z & = 2\xi\omega_0\dot h + \omega_0 h\\ & = A\omega_0(2\xi\Omega \cos\Omega t + \omega_0\sin\Omega t) \end{align*} On a deux forces harmoniques de même fréquence, on peut donc les réunir en un seul terme: \begin{align*} 2\xi\Omega\cos\Omega t + \omega_0 \sin\Omega t & = -2\xi\Omega\sin\left(\Omega t - \frac{\pi}{2}\right) + \omega_0 \sin\Omega t\\ & = \mathrm{Im}\left[ -2\xi\Omega e^{i(\Omega t - \pi / 2)} + \omega_0 e^{i\Omega t}\right]\\ & = \mathrm{Im}\left[e^{i\Omega t}(2i\xi\Omega + \omega_0)\right] \end{align*} On exprime le complexe $\omega_0 + 2i\xi\Omega = \beta e^{i\varphi}$ en notation polaire, avec: \begin{align*} \beta & = \sqrt{(2\xi\Omega)^2 + \omega_0^2}\\ \varphi & = \arctan\left(\frac{2\xi\Omega}{\omega_0}\right) \end{align*} On peut donc écrire le terme de forçage comme: $$ 2\xi\omega_0\dot h + \omega_0 h = B\sin(\Omega t + \varphi) $$ Avec $B = A\omega_0 \sqrt{(2\xi\Omega)^2 + \omega_0^2}$. :::{.callout-note} Sans passer par les complexes, on peut poser: $$ B\sin(\Omega t + \varphi) = B\cos\Omega t\sin\varphi + B\sin\Omega t\cos\varphi = A\omega_0(2\xi\Omega \cos\Omega t + \omega_0\sin\Omega t) $$ Puisque les fonctions $\sin\Omega t$ et $\cos \Omega t$ sont linéairement indépendantes, on peut poser deux équations: \begin{align*} B\sin\varphi & = A\omega_02\xi\Omega\\ B\cos\varphi & = A\omega_0^2 \end{align*} Résoudre pour $B$ et $\varphi$ donne le résultat escompté. ::: Pour résoudre la suite du problème, on passe en notation complexe. On écrit l'équation du mouvement : $$\ddot z + 2\xi\omega_0 \dot z + \omega_0^2 z = B\sin(\Omega t+\varphi) = \Im \left[Be^{j(\Omega t+\varphi)} \right].$$ La réponse du système est recherchée sous la même forme que l'excitation : $z(t) = \Im \left[\tilde z(t)\right]$ avec $\tilde z(t) = Ze^{j(\Omega t + \varphi + \psi)}$. On a donc en complexe : $$\ddot{\tilde z} + 2\xi\omega_0 \dot{\tilde z} + \omega_0^2 \tilde z = Be^{j(\Omega t+\varphi)} \Longleftrightarrow \left(\omega_0^2 - \Omega^2 + 2j\xi\omega_0\Omega\right) Z e^{j\psi} = B$$ On a donc $$Z e^{j\psi} = \dfrac{B(\omega_0^2 - \Omega^2 - 2j\xi\omega_0\Omega)}{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + (2\xi\omega_0\Omega)^2},$$ avec $Z = \sqrt{\Re^2+\Im^2}$ et $\psi=-\arctan\left(\frac{\Im}{\Re}\right)$ $$\begin{cases} Z =\dfrac{B\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2+(2\xi\omega_0\Omega)^2}}{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + (2\xi\omega_0\Omega)^2} =\dfrac{B}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2+(2\xi\omega_0\Omega)^2}} = \dfrac{A\omega_0 \sqrt{4\xi^2\Omega^2 +\omega_0^2}}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + (2\xi\omega_0\Omega)^2}}, \\ \psi = - \arctan\left(\dfrac{2\xi\omega_0\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}\right). \end{cases}$$ ::: Tracer l'évolution de l'amplitude du déplacement en fonction de la fréquence $f=\Omega/2\pi$. et de la vitesse $v$ du camion. Quelle allure est la mieux adaptée au franchissement de cette zone de \"tôle ondulée\"? Justifier le meilleur choix. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} ![Fonction de transfert](figs/FRFSalairePeur.svg){width=100%} La suspension est un filtre passe bas. - Avant la résonance, c'est-à-dire pour les basses fréquences et donc les basses vitesses, l'amplitude des ondulations de la route sera presque intégralement transmise. Ce qui est trop fort. - Autour de la résonance elle sera fortement amplifiée, ce qui est encore pire - Après la résonance, au contraire, l'amortisseur absorbe les ondulations. Il faut donc adopter une vitesse correspondant à une fréquence bien supérieure à la fréquence propre. ::: À quelle vitesse minimale le camion doit-il rouler pour que l'amplitude vibratoire du camion soit inférieure à 1 cm ? ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} La fréquence correspondant à une amplitude de 1 cm est $f = 44$ Hz. Il faut rouler au moins à une vitesse $V = fL$ = 11 m/s = 39,6 km/h. :::