14 Méthodes approchées en vibrations longitudinales
On souhaite déterminer les fréquences propres et les modes propres de vibrations longitudinales de poutres complexes par une méthode approchée : la méthode de Rayleigh-Ritz. Pour cela, il est nécessaire de définir les fonctions propres associées aux deux premiers modes de vibration d’une poutre bi-encastrée :
\[\begin{cases} g_1(x) = \sin\left(\dfrac{\pi x}{2L}\right), \\ g_2(x) = \sin\left(\dfrac{3\pi x}{2L}\right). \end{cases}\]
Dans un premier temps, on considère le cas où l’autre extrémité est solidaire d’un matériau élastique de raideur \(k\). La poutre subit les vibrations harmoniques de ses supports, ce qui engendre l’apparition d’ondes de traction-compression En utilisant comme fonctions propres de déplacement \(g_0(x)\) et \(g_1(x)\), déterminer les deux premières pulsations propres et les modes correspondants. On étudiera le cas particulier où \(k = ES/L.\)
On définit le déplacement par l’expression \[u(x,t) \approx f_1(t) \sin\left(\dfrac{\pi}{2L}x\right) + f_2(t) \sin\left(\dfrac{3\pi}{2L}x\right),\] L’énergie de déformation \(U\) est la somme de l’énergie de déformation de la poutre \(U_p\) et de l’énergie de déformation du ressort \(U_r\). L’énergie de déformation de la poutre \(U_p\) a pour expression \[\begin{aligned} U_p & = \dfrac{1}{2} \int_0^L ES \left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 \d{} x \\ & = \dfrac{ES}{2} \int_0^L \left[ \dfrac{\pi}{2L}f_1(t) \cos\left(\dfrac{\pi}{2L}x\right) + \dfrac{3\pi}{2L}f_2(t)\cos\left(\dfrac{3\pi}{2L}x\right) \right]^2 \d x \\ & = \dfrac{\pi^2ES}{8L^2} \int_0^L \left[ f_1^2(t) \cos^2\left(\dfrac{\pi}{2L}x\right) + 9f_2^2(t)\cos^2\left(\dfrac{3\pi}{2L}x\right) + 6f_1(t)f_2(t)\cos\left(\dfrac{\pi}{2L}x\right) \cos\left(\dfrac{3\pi}{2L}x\right)\right] \d x \\ & = \dfrac12\dfrac{\pi^2ES}{8L} \left[ f_1^2(t) + 9f_2^2(t)\right]. \\ \end{aligned}\] L’énergie de déformation du ressort \(U_r\) a pour expression \[\begin{aligned} U_r & = \dfrac{1}{2} k \left[ u(B,t) - u(L,t) \right]^2 \\ & = \dfrac{1}{2} k \left[u(L,t)\right]^2 \\ & = \dfrac{1}{2} k \left[f_1(t) \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + f_2(t) \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\right]^2 \\ & = \dfrac{1}{2} k \left[f_1(t) - f_2(t) \right]^2 \\ & = \dfrac{1}{2} k \left[f_1^2(t) + f_2^2(t) - 2f_1(t)f_2(t) \right]. \\ \end{aligned}\] L’énergie de déformation a donc pour expression \[\begin{aligned} U & = U_p + U_r \\ & = \dfrac12 \left[ f_1^2(t)\left(k+\dfrac{\pi^2ES}{8L}\right) + f_2^2(t)\left(k+\dfrac{9\pi^2ES}{8L}\right) - 2kf_1(t)f_2(t) \right]. \end{aligned}\] La matrice de raideur a donc pour expression \[\K = \begin{pmatrix} k+\dfrac{\pi^2ES}{8L} & -k \\ -k & k+\dfrac{9\pi^2ES}{8L} \end{pmatrix} = \dfrac{ES}{L} \begin{pmatrix} 1+\dfrac{\pi^2}{8} & - 1 \\ - 1 & 1+\dfrac{9\pi^2}{8} \end{pmatrix}.\] Ici le ressort est considéré de masse négligeable. L’énergie cinétique du système est égale à l’énergie cinétique de la poutre et a pour expression \[\begin{aligned} T & = \dfrac{1}{2} \int_0^L \rho S \left(\dfrac{\partial u}{\partial t}\right)^2 \d x \\ & = \dfrac{\rho S}{2} \int_0^L \left[ \dot f_1(t) \sin\left(\dfrac{\pi}{2L}x\right) + \dot f_2(t) \sin\left(\dfrac{3\pi}{2L}x\right) \right]^2 \d x \\ & = \dfrac{\rho S}{2} \int_0^L \left[ \dot f_1^2(t) \sin^2\left(\dfrac{\pi}{2L}x\right) + \dot f_2^2(t) \sin^2\left(\dfrac{3\pi}{2L}x\right) + \dot f_1(t) \dot f_2(t) \sin\left(\dfrac{\pi}{2L}x\right)\sin\left(\dfrac{3\pi}{2L}x\right)\right] \d x \\ & = \dfrac{\rho S}{2} \left[ \dot f_1^2(t)\dfrac{L}{2} + \dot f_2^2(t)\dfrac{L}{2} \right] \\ & = \dfrac12 \dfrac{\rho SL}{2} \left[\dot f_1^2(t) + \dot f_2^2(t)\right]. \\ \end{aligned}\] La matrice d’inertie a donc pour expression \[\M = \dfrac{\rho SL}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.\] Le système matriciel à résoudre est donc le suivant : \[\M \begin{pmatrix} \ddot f_1 \\ \ddot f_2 \end{pmatrix} + \K \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\] On cherche une solution du type \[\begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix} = e^{j\omega t} \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \end{pmatrix}\] conduisant au système \[\begin{pmatrix} \dfrac{ES}{L} \left(1+\dfrac{\pi^2}{8}\right) - \omega^2\dfrac{\rho SL}{2} & -\dfrac{ES}{L} \\ -\dfrac{ES}{L} & \dfrac{ES}{L} \left(1+\dfrac{9\pi^2}{8}\right) - \omega^2\dfrac{\rho SL}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] ou encore \[\begin{pmatrix} 2\dfrac{c_L^2}{L^2} \left(1+\dfrac{\pi^2}{8}\right) - \omega^2 & - 2\dfrac{c_L^2}{L^2} \\ - 2\dfrac{c_L^2}{L^2} & 2\dfrac{c_L^2}{L^2} \left(1+\dfrac{9\pi^2}{8}\right) - \omega^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] Le polynôme caractéristique a pour expression \[\begin{aligned} P(\omega^2) & = \left[2\dfrac{c_L^2}{L^2} \left(1+\dfrac{\pi^2}{8}\right) - \omega^2 \right] \left[ 2\dfrac{c_L^2}{L^2} \left(1+\dfrac{9\pi^2}{8}\right) - \omega^2 \right] - \left(2\dfrac{c_L^2}{L^2}\right)^2 \\ & = \omega^4 - \omega^2 \left(4 + \dfrac{5\pi^2}{2}\right) \dfrac{c_L^2}{L^2} + \left(5\pi^2 + \dfrac{9\pi^4}{16}\right)\dfrac{c_L^4}{L^4} \\ \end{aligned}\] L’annulation du polynôme caractéristique conduit aux carrés des pulsations \[\begin{cases} \omega_1 = \dfrac{c_L}{L} \sqrt{2+\dfrac{5\pi^2}{4} - \sqrt{\pi^4 + 4}} = 2,07 \dfrac{c_L}{L}, \\ \omega_2 = \dfrac{c_L}{L} \sqrt{2+\dfrac{5\pi^2}{4} + \sqrt{\pi^4 + 4}} = 4,94 \dfrac{c_L}{L}. \end{cases}\] Les vecteurs propres associés ont pour expression \[\textbf X_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0,1 \end{pmatrix} \qquad \mbox{et} \qquad \textbf X_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -9,97 \end{pmatrix}.\]
On suppose maintenant que l’extrémité libre supporte une charge de masse \(m\). La poutre subissant la même excitation, en utilisant les mêmes fonctions de déplacement, déterminer les deux premières pulsations propres et les modes correspondants. On étudiera le cas particulier où \(m = \rho SL/10\).
L’énergie cinétique \(T\) est la somme de l’énergie cinétique de la poutre \(T_p\) et de l’énergie cinétique de la masse \(m\) masse \(T_m\). L’énergie cinétique de la poutre \(T_p\) a pour expression \[\begin{aligned} T_p & = \dfrac{1}{2} \int_0^L \rho S \left(\dfrac{\partial u}{\partial t}\right)^2 \d x \\ & = \dfrac12 \dfrac{\rho SL}{2} \left[\dot f_1^2(t) + \dot f_2^2(t)\right]. \\ \end{aligned}\] L’énergie cinétique de la masse \(T_m\) a pour expression \[\begin{aligned} T_m & = \dfrac{1}{2} m \left[ \dot u(L,t) \right]^2 \\ & = \dfrac{1}{2} m \left[ \dot f_1(t) - \dot f_2(t) \right]^2 \\ & = \dfrac{1}{2} m \left[ \dot f_1^2(t) + \dot f_2^2(t) - 2\dot f_1(t) \dot f_2(t) \right] \\ \end{aligned}\] L’énergie cinétique a donc pour expression \[\begin{aligned} T & = T_p + T_m \\ & = \dfrac12 \dfrac{\rho SL}{2} \left[\dot f_1^2(t) + \dot f_2^2(t)\right] + \dfrac{1}{2} m \left[ \dot f_1^2(t) + \dot f_2^2(t) - 2\dot f_1(t) \dot f_2(t) \right] \\ & = \dfrac12 \left[\dot f_1^2(t) \left(m + \dfrac{\rho SL}{2} \right) + \dot f_2^2(t) \left(m + \dfrac{\rho SL}{2} \right) - 2m\dot f_1(t) \dot f_2(t) \right] \end{aligned}\] La matrice d’inertie a donc pour expression \[\M = \begin{pmatrix} m + \dfrac{\rho SL}{2} & -m \\ -m & m + \dfrac{\rho SL}{2} \end{pmatrix} = \dfrac{\rho S L}{10} \begin{pmatrix} 6 & - 1 \\ - 1 & 6 \end{pmatrix}.\] L’énergie de déformation du système est égale à l’énergie de déformation de la poutre et a pour expression \[\begin{aligned} U_p & = \dfrac{1}{2} \int_0^L ES \left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 \d x \\ & = \dfrac12\dfrac{\pi^2ES}{8L} \left[ f_1^2(t) + 9f_2^2(t)\right] \end{aligned}\] La matrice d’inertie a donc pour expression \[\K = \dfrac{\pi^2ES}{8L} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}.\] Le système matriciel à résoudre est donc le suivant : \[\M \begin{pmatrix} \ddot f_1 \\ \ddot f_2 \end{pmatrix} + \K \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\] On cherche une solution du type \[\begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix} = e^{j\omega t} \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \end{pmatrix}\] conduisant au système \[\begin{pmatrix} \dfrac{\pi^2ES}{8L}-\omega^2\dfrac{6\rho S L}{10} & \omega^2\dfrac{\rho S L}{10} \\ \omega^2\dfrac{\rho S L}{10} & \dfrac{9\pi^2ES}{8L}-\omega^2\dfrac{6\rho S L}{10} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] ou encore \[\begin{pmatrix} \dfrac{10\pi^2c_L^2}{8L^2} - 6\omega^2 & \omega^2 \\ \omega^2 & \dfrac{90\pi^2c_L^2}{8L^2} - 6\omega^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] Le polynôme caractéristique a pour expression \[P(\omega^2) = \left(\dfrac{10\pi^2c_L^2}{8L^2} - 6\omega^2\right) \left(\dfrac{90\pi^2c_L^2}{8L^2} - 6\omega^2\right) - \omega^4 = 35\omega^4 - \dfrac{75\pi^2c_L^2}{L^2}\omega^2 + \left(\dfrac{15\pi^2c_L^2}{4L^2}\right)^2\] L’annulation du polynôme caractéristique conduit aux pulsations \[\begin{cases} \omega_1 = 1,43 \dfrac{c_L}{L}, \\ \omega_2 = 4,37 \dfrac{c_L}{L}. \end{cases}\] Les vecteurs propres associés ont pour expression \[\textbf X_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -0,02 \end{pmatrix} \qquad \mbox{et} \qquad \textbf X_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 5,35 \end{pmatrix}.\]
La poutre ABC de longueur OA=\(L\), telle que OB=OC=\(h\) de masse \(m(x)\) et de section rectangulaire \(S(x)\), par unité de longueur, de faible épaisseur \(e\), encastrée à l’extrémité \(x=0\) et libre en \(x=L\), subit les vibrations harmoniques de son support agissant en traction-compression. On pourra poser \(m_0 = \rho S_0 = \rho eh\).
Donner l’expression de la section \(S(x)\) en fonction de \(S_0\) et \(L\).
La relation entre le demi-angle du triangle et la position est donnée par la relation
\[\tan\alpha = \dfrac{h}{L} = \dfrac{b(x)}{L-x}.\]
On en déduit \[b(x) = \dfrac{h(L-x)}{L} = h\left(1-\dfrac{x}{L}\right).\]
La section a donc pour expression \[S(x) = 2b(x)e = 2S_0\left( 1-\dfrac{x}{L} \right).\]
Déterminer l’énergie cinétique et l’énergie de déformation de la poutre à partir des fonctions de déplacement choisies. En déduire les matrices d’inertie et de raideur.
L’énergie cinétique de la poutre a pour expression \[\begin{aligned} T & = \dfrac{1}{2} \int_0^L \rho S(x) \left(\dfrac{\partial u}{\partial t}\right)^2 \d x \\ & = \rho S_0 \int_0^L \left(1 - \dfrac{x}{L} \right) \left[ \dot f_1(t) \sin\left(\dfrac{\pi}{2L}x\right) + \dot f_2(t) \sin\left(\dfrac{3\pi}{2L}x\right) \right]^2 \d x \\ & = \rho S_0 \left\{ \dot f_1^2(t) \int_0^L \left(1 - \dfrac{x}{L} \right) \sin^2\left(\dfrac{\pi}{2L}x\right) \d x + \dot f_2^2(t) \int_0^L \left(1 - \dfrac{x}{L} \right) \sin^2\left(\dfrac{3\pi}{2L}x\right) \d x \right. \\ & \left. \qquad\qquad + 2\dot f_1(t) \dot f_2(t) \int_0^L \left(1 - \dfrac{x}{L} \right) \sin\left(\dfrac{\pi}{2L}x\right) \sin\left(\dfrac{3\pi}{2L}x\right) \d x \right\} \\ & = \rho S_0 \left[ \dot f_1^2(t) \left(\dfrac{L}{4} - \dfrac{L}{\pi^2} \right) + \dot f_2^2(t) \left(\dfrac{L}{4} - \dfrac{L}{9\pi^2} \right) + \dfrac{2L}{\pi^2}\dot f_1(t) \dot f_2(t) \right] \\ & = \dfrac12 2m_0L \left[ \dot f_1^2(t) \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{\pi^2} \right) + \dot f_2^2(t) \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{9\pi^2} \right) + \dfrac{2}{\pi^2}\dot f_1(t) \dot f_2(t) \right]. \\ \end{aligned}\] La matrice d’inertie a donc pour expression \[\M = \rho S_0 L \begin{pmatrix} \dfrac12 - \dfrac{2}{\pi^2} & \dfrac{2}{\pi^2} \\ \dfrac{2}{\pi^2} & \dfrac12 - \dfrac{2}{9\pi^2} \end{pmatrix}.\] L’énergie de déformation de la poutre a pour expression \[\begin{aligned} U & = \dfrac{1}{2} \int_0^L ES(x) \left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 \d x \\ & = \dfrac{ES_0\pi^2}{4L^2} \int_0^L \left(1 - \dfrac{x}{L} \right) \left[ f_1(t)\cos\left(\dfrac{\pi}{2L}x\right) + 3f_2(t) \cos\left(\dfrac{3\pi}{2L}x\right) \right]^2 \d x \\ & = \dfrac{ES_0\pi^2}{4L^2} \left\{ f_1^2(t) \int_0^L \left(1 - \dfrac{x}{L} \right) \cos^2 \left(\dfrac{\pi}{2L}x\right) \d x + 9f_2^2(t) \int_0^L \left(1 - \dfrac{x}{L} \right) \cos^2 \left(\dfrac{3\pi}{2L}x\right) \d x \right. \\ & \left. \qquad\qquad\qquad + 6 f_1(t)f_2(t) \int_0^L \left(1 - \dfrac{x}{L} \right) \cos\left(\dfrac{\pi}{2L}x\right) \cos \left(\dfrac{3\pi}{2L}x\right) \d x \right\} \\ & = \dfrac{ES_0\pi^2}{4L^2} \left[f_1^2(t) \left(\dfrac{L}{4} + \dfrac{L}{\pi^2} \right) + 9f_2^2(t) \left(\dfrac{L}{4} + \dfrac{L}{9\pi^2} \right) + \dfrac{6L}{\pi^2} f_1(t)f_2(t) \right] \\ & = \dfrac12 \dfrac{ES_0}{L} \left[f_1^2(t) \left(\dfrac{\pi^2}{8} + \dfrac12 \right) + f_2^2(t) \left(\dfrac{9\pi^2}{8} + \dfrac12 \right) + 3 f_1(t)f_2(t) \right]. \\ \end{aligned}\] La matrice d’inertie a donc pour expression \[\K = \dfrac{ES_0}{L} \begin{pmatrix} \dfrac{\pi^2}{8} + \dfrac12 & \dfrac32 \\ \dfrac32 & \dfrac{9\pi^2}{8} + \dfrac12 \end{pmatrix}.\]
Déterminer les pulsations propres et les modes correspondants.
Le système matriciel à résoudre est donc le suivant : \[\M \begin{pmatrix} \ddot f_1 \\ \ddot f_2 \end{pmatrix} + \K \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\] On cherche une solution du type \[\begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix} = e^{j\omega t} \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \end{pmatrix}\] conduisant au système \[\begin{pmatrix} \dfrac{E}{L} \left( \dfrac{\pi^2}{8}+\dfrac{1}{2}\right) - 2\rho L\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{\pi^2}\right)\omega^2 & \dfrac{3E}{2L}-\dfrac{2\rho L}{\pi^2}\omega^2\\ \dfrac{3E}{2L}-\dfrac{2\rho L}{\pi^2}\omega^2 & \dfrac{E}{L} \left( \dfrac{9\pi^2}{8}+\dfrac{1}{2}\right) - 2\rho L\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{9\pi^2}\right)\omega^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\] L’annulation du déterminant conduit aux carrés des pulsations \[\begin{cases} \omega_1 = 2,41 \dfrac{c_L}{L}, \\ \omega_2 = 5,53 \dfrac{c_L}{L}. \end{cases}\] Les vecteurs propres associés ont pour expression \[\textbf X_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -0,037 \end{pmatrix} \qquad \mbox{et} \qquad \textbf X_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1,567 \end{pmatrix}.\]