20 Vagues et tsunamis

Rappeler la relation de dispersion des ondes de gravité.
Calculer la vitesse de phase des ondes de gravité.
On s’intéresse aux deux cas limites suivants :
- $kh \ll 1$
- $kh \gg 1$
Justifier et associer les expressions "propagation en eau profonde" et "propagation en eau peu profonde" à ces deux cas limites.
On rappelle que $\tanh(kh) \approx 1$ si $kh\gg 1$ et que $\tanh(kh) \approx kh$ si $kh\ll 1$. Que vaut la vitesse de phase dans ces deux régimes (les ondes sont-elles dispersives) ?
A la plage On s’intéresse à la propagation des vagues à la plage. En observant les vagues on s’aperçoit qu’elles arrivent toutes les 8s sur le rivage. Si on suppose que la hauteur de l’eau est égale à 1m, quelle est la longueur d’onde des vagues ?
Tsunami On s’intéresse maintenant au cas d’un tsunami généré par un tremblement de terre sous-marin en plein océan (on suppose que la profondeur de l’océan est de 4km). On suppose que la longueur d’onde associée au tsunami est de 100km. Dans quel régime est-on ("propagation en eau profonde" et "propagation en eau peu profonde") ? Quelle est la vitesse de propagation du tsunami (à exprimer en m/s et aussi en km/h) ?
Le mascaret Le mascaret est une onde de marée qui remonte le long de certain fleuve les jours de grandes marées. Quelle est la vitesse à laquelle remonte cette vague (on suppose qu’elle fait 2m de haut et que la longueur d’onde est environ 10m) dans un fleuve dont la profondeur est 2m ?

20.1 Ondes capillaires

Lors de l’étude des vagues (ou ondes de gravité) faites en cours, nous avons négligé l’effet de capillarté qui peut exister à la surface d’un liquide (à cause de la tension de surface, la surface du liquide peut ne pas être plane). Dans ce problème, on se propose de voir l’influence de la tension de surface sur une interface eau/air, on parle alors d’ondes gravito-capillaires (c’est à dire des ondes dues à la gravité et à la capillarité du liquide). Dans l’étape de modélisation, la tension de surface peut être prise en compte via une modification de la pression à la surface du liquide. Les équations sont alors modifiées et on obtient une équation de dispersion plus complète que lorsque seules les ondes de gravité sont considérées : \[\omega^2 = \left(g + \frac{Tk^2}{\rho_0}\right)k \tanh(kh) \label{eq:dispersiongc}\]

où $T$ est la tension de surface qui se mesure en N.m$^{-1}$.

Rappeler la relation générale qui existe entre la longueur d’onde $\lambda$ et le nombre d’onde $k$.
Quelle est la relation de dispersion des ondes de gravité seules ?
Montrer que si la longueur d’onde est bien plus grande que la longueur capillaire ($l_c = 2\pi \sqrt{\frac{T}{g\rho_0}}$), alors les effets capillaires deviennent négligeables.
On donne $T=7.10^{-2}$N.m$^{-1}$, estimer la longueur capillaire $l_c$ au-dessus de laquelle les effets capillaires sont négligeables.
On suppose que la hauteur d’eau sans pertubration $h$ est de l’ordre du mètre. Si on souhaite observer des effets capillaires importants, dans quel régime faut il se placer : $kh\ll1$ ou $kh\gg1$ ?
On suppose qu’on est dans ce régime jusqu’à la fin du problème. Montrer que la relation de dispersion se simplifie : \[\omega^2 = gk + \frac{Tk^3}{\rho}\]
Calculer la vitesse de phase des ondes gravito-capillaires.
Montrer que la vitesse de phase des ondes gravito-capillaires à un minimum en $k=\frac{2 \pi}{l_c}$.
Estimer la valeur numérique de la plus petite vitesse de phase possible pour les ondes gravito-capillaires (on donne $\sqrt[4]{28} = 2.3$).

20.2 Etude des vagues en eau peu profonde et profondeur variable

Figure 20.1: Propagation de vagues avec une profondeur variable

On cherche à modéliser la propagation de vagues dans un cas où la profondeur est variable. En prenant comme référence $y=0$ pour une configuration sans vague, on note (voir Figure 20.1):

$h(x)$ la profondeur de l’eau dans une configuration sans vague,
$H(x,t)$ la hauteur totale de l’eau avec vagues (état de base + perturbation) au point $x$ et à l’instant $t$,
$\eta(x,t)$ la hauteur des vagues (on remarque que $\eta(x,t) = H(x,t)-h(x)$).

Une des hypothèses fondamentales utilisées pour la modélisation de ce problème est de ne considérer que le cas pour lequel la profondeur est très faible devant la longueur d’onde des vagues $h(x)\ll \lambda$. On note le champ de vitesse : $\underline{V}(x,y,t) = u(x,y,t) \underline{e_x} + v(x,y,t) \underline{e_y}$. D’après l’hypothèse précédente, on supposera que $u$ (composante horizontale de la vitesse du fluide) est de la forme : \[u(x,y,t) = u(x,t).\] On suppose que la masse volumique en tout point $(x,y)$ de l’eau et à tout instant $t$ est constante $\rho(x,y,t) = \rho_0$ et on néglige tout les phénomènes de viscosité.

Enfin, on donne le champ de pression dans le fluide : \[p(x,y,t) = \rho_0 g (\eta(x,t)- y) + P_0\] avec $P_0$ la pression atmosphérique (supposée constante).

En projetant l’équation d’Euler (bilan de quantité de mouvement) suivant $\underline{e_x}$, montrer que : \[\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = - g \frac{\partial \eta}{\partial x}\]
En faisant un bilan de masse sur la tranche de fluide d’épaisseur $\mathrm dx$, montrer que : \[\frac{\partial H}{\partial t} + \frac{\partial (Hu)}{\partial x} = 0\]
Les deux équations précédentes sont non-linéaires. On rappelle que $|u(x,t)|\ll 1$ et $|\eta(x,t)|\ll 1$. Linéariser les équations précédentes et montrer que : \[\begin{cases} \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial hu}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial u}{\partial t} = -g \frac{\partial \eta}{\partial x} \end{cases}\]
Montrer qu’on peut écrire une équation de propagation pour la fonction $\eta(x,t)$ : \[\frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} = g\frac{\partial }{\partial x} \left( h(x) \frac{\partial \eta}{\partial x} \right)\]
Calculer la relation de dispersion de cette équation
Calculer la vitesse de phase associée. Monter que si la profondeur est constante, alors $c_\phi = \sqrt{gh}$. Est ce cohérent avec les résultats du cours ?

20.3 Aménagement sous-marin de l’entrée d’un port

On reprend les notations et les résultats de l’exercice précédent. Pour éviter l’ensablement d’un port, une marche a été aménagée à son entrée. Ainsi, le sable qui vient du large est bloqué par la marche (on suppose que le sable est entrainé au fond de l’eau). On cherche à caractériser les conséquences de cet aménagement sur la hauteur des vagues dans le port. On modélise la géométrie du problème de la façon suivante :

vers le large, on considère un fond plat de hauteur $h_1$,
vers le port, on a un fond plat de hauteur $h_2$ (avec $h_2<h_1$).

On note $\eta_1(x,t)$ la hauteur des vagues dans la partie de hauteur $h_1$ et $\eta_2(x,t)$ la hauteur des vagues dans la partie de hauteur $h_2$. On suppose que le changement de hauteur d’eau entraine l’apparition d’une onde transmise ($T$ est le coefficient de transmission en amplitude) et d’une onde réfléchie ($R$ est le coefficient de réflexion en amplitude).

Les conditions de continuité en $x=0$ pour ce problème sont :

continuité de la hauteur des vagues ($\eta_1(x=0,t) = u_2(x=0,t)$)
continuité du débit ($u_1(x=0,t)h_1 = u_2(x=0,t) h_2$)

Propagation de vagues en eau peu profonde

Donner les équations des ondes que doivent satisfaire $\eta_1(x,t)$ et $\eta_2(x,t)$ et les vitesses de phases $c_1$ et $c_2$ dans ces deux cas.
En utilisant la continuité de la hauteur des vagues en $x=0$, trouver une première relation entre les coefficients de réflexion et
Exprimer $u_1(x,t)$ et $u_2(x,t)$ en fonction des données du problème.
En utilisant la continuité du débit en $x=0$, trouver une deuxième relation entre $R$ et $T$.
Déduire des questions précédentes les expressions de $R$ et $T$ en fonction des vitesses $c_1$ et $c_2$.
Exprimer $T$ en fonction de $h_1$ et $h_2$.
Quelle va être la conséquence de l’aménagement du fond sous-marin sur la hauteur des vagues dans le port. Commenter.

Solution

Vagues et tsunamis

Relation de dispersion

\[\omega^2 = gk \tanh(kh)\]

Vitesse de phase

La vitesse de phase des ondes de gravité est

\[c_\phi = \frac{\omega}{k}\] D’après la question précédente, on trouve : \[c_\phi = \sqrt{\frac{g}{k}\tanh(kh)}\]

Régimes

On rappelle que $k$ est le nombre d’onde. Il est relié à la longueur

d’onde par la relation $k=\frac{2\pi }{\lambda}$. Cette relation permet d’interpréter le coefficient $kh$ :

$kh\ll 1$ est équivalent à $2\pi h\ll \lambda$, la longueur d’onde est donc bien plus grande que la hauteur d’eau : on est dans le cas d’une propagation en eau peu profonde (comparée à la longueur d’onde);
$kh\gg 1$ est équivalent à $2\pi h\gg \lambda$, la longueur d’onde est donc bien plus petite que la hauteur d’eau : on est dans le cas d’une propagation en eau profonde (comparée à la longueur d’onde).

Vitesses de phase dans les deux régimes

$kh\ll 1$ (propagation en eau peu profonde) : \[c_{\phi} \approx \sqrt{gh}\] La vitesse de phase est constante : ondes non dispersives.
$kh\gg 1$ (propagation en eau profonde) : \[c_{\phi} \approx \sqrt{\frac{g}{k}}\] La vitesse de phase dépend de la fréquence (via le nombre d’onde) : ondes dispersives.

Plage

On fait l’hypothèse que la propagation se fait en eau peu profonde (car on est au bord de l’eau). La longueur d’onde est reliée à la vitesse de phase par la relation : \[\lambda = \frac{c_\phi}{f}\] La fréquence est $f=\frac{1}{T}=\frac{1}{8}$ La vitesse des vagues est $c_{\phi} \approx \sqrt{gh} \approx \sqrt{10} \approx 3$ On en déduit la longueur d’onde des vagues : \[\lambda \approx 3\times 8 \approx 24 \ \mathrm m\] Cette valeur est cohérente avec l’hypothèse de propagation en eau peu profonde ($24 \gg 2\pi$).

Tsunami

Compte tenu des valeurs de la longueur d’onde et de la hauteur de l’océan ($kh \approx 0.25$), on est dans le cas d’une propagation en eau peu profonde. La vitesse de propagation du tsunami est donc :

\[\begin{aligned} c_{\phi} & \approx & \sqrt{gh} \\ &\approx& \sqrt{10 \times 4000} \\ &\approx& \sqrt{4.10^4} \\ &\approx& 2.10^2 m/s \\ &\approx& 2.10^2.3600/1000 km/h\\ &\approx& 720 km/h \end{aligned}\]

Mascaret

On calcule d’abord:

\[ kh = \frac{2\pi h}{\lambda} = \frac{2\pi \cdot 2\ \mathrm m}{10\ \mathrm m} \approx 1.3\]

On se situe en régime intermédiaire, il faut donc appliquer la relation complète:

\[c_\phi = \sqrt{\frac{2\pi g}{\lambda}}\cdot \sqrt{\tanh\left(\frac{2\pi h}{\lambda}\right)} \approx 3.6\ \mathrm{m/s}\]

Si on fait l’hypothèse de faible profondeur on trouve $c_\phi\approx 4.5$ m/s, soit 23% d’erreur.

Ondes capillaires

Nombre d’onde

\[k = \frac{2 \pi}{\lambda}\]

Gravité seule

Il suffit de négliger la tension de surface $T=0$ :

\[\omega^2 = g k \tanh(kh)\]

Longueur capillaire

Dans la relation de dispersion, on voit qu’il y a la somme de deux termes : $\left(g + \frac{Tk^2}{\rho_0}\right)$ le premier est dû à la gravité, le second à la tension de surface. Les effets de tension de surface sont négligeables si : \[g \gg \frac{Tk^2}{\rho_0}\] ou encore : \[k^2 \ll \frac{g \rho_0}{T}\] on exprime cette relation à partir de la longueur d’onde : \[\lambda\gg 2\pi \sqrt{\frac{T}{g\rho_0}}\]

AN

\[l_c\approx 1.7\ \mathrm{cm}\]

Régime capillaire

Si $\lambda \gg l_c$ les effets sont négligeables. Donc on veut $\lambda \sim l_c \approx 1.6\ \mathrm{cm}$ donc : \[kh = \frac{2 \pi h}{\lambda} \sim \frac{2 \pi\cdot 1\ \mathrm{m}}{1.7\ \mathrm{cm}} \approx 370 \gg 1\] C’est le régime dit d’eau profonde.

Dispersion

Si $kh \gg 1$, alors $\tanh(kh) \approx 1$, donc :

\[\omega^2 = gk + \frac{Tk^3}{\rho}\]

Vitesse de phase

Par définition, la vitesse de phase est

\[c_\phi = \frac{\omega}{k}\] Donc pour les ondes gravito-capillaires on a donc : \[c_\phi = \sqrt{\frac{1}{k}\left(g + \frac{Tk^2}{\rho_0}\right)}\]

Vitesse minimum

La figure ci-dessous montre la vitesse de phase des ondes gravito-capillaires. On voit que la vitesse de phase a un minimum.

On a \[c_\phi = \sqrt{\left(\frac{g}{k} + \frac{Tk}{\rho_0}\right)}\] Le minimum de $c_\phi$ correspond à $\frac{d c_\phi}{d k}=0$ : \[\frac{d c_\phi}{d k}= \frac{1}{2}\left( \frac{-g}{k^2} + \frac{T}{\rho_0}\right) \left( \frac{g}{k} + \frac{Tk}{\rho_0}\right)^{-1/2} = 0\] par conséquent : \[\left( \frac{-g}{k^2} + \frac{T}{\rho_0}\right)=0\] ou encore \[k=\sqrt{\frac{g \rho_0}{T}}=\frac{2 \pi}{l_c}\]

Valeur de la vitesse

On peut exprimer la vitesse de phase comme:

\[ c_\phi = \sqrt{\frac{g}{k} + \frac{Tk}{\rho}} = \sqrt{\frac{g}{k}}\sqrt{1 + \frac{T k^2}{\rho g}} = \sqrt{\frac{g}{k}}\sqrt{1 + \left(\frac{l_c}{\lambda}\right)^2}\]

Le minimum de $c_\phi$ se produit pour $k = 2\pi/l_c$ et vaut alors :

\[ c_{\phi,\mathrm{min}} = \sqrt{\frac{4\pi g}{l_c}} \approx 23\ \mathrm{cm/s}\]

Hauteur variable

Euler

L’équation d’Euler est :

\[\rho \left(\frac{\partial \underline{V}}{\partial t} + (\underline{V} \cdot \underline{\nabla})\underline{V} \right) = - \underline{\nabla}p- \rho \underline{g}\]

L’équation d’Euler projetée sur $\underline{e_x}$ est : \[\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{1}{\rho_0} \frac{\partial p}{\partial x}\] Comme $u = u(x,t)$, le troisième terme est nul, en injectant l’expression de $p(x,y)$ donné dans l’énoncé, on trouve le résultat demandé

Masse

On fait un bilan de masse (on prend une tranche d’épaisseur 1 dans la direction $z$).

La masse de la tranche est : $\rho_0 H(x,t) \mathrm dx$. Son évolution en temps est donc : $\frac{\partial \rho_0 H(x,t) \mathrm dx}{\partial t}$ L’évolution temporelle est égale au flux entrant (en $x$ moins le flux entrant en $x+\mathrm dx$ :

\[\frac{\partial \rho_0 H(x,t) \mathrm dx}{\partial t} = \rho_0 H(x,t) u(x,t) - \rho_0 H(x+\mathrm dx,t) u(x+\mathrm dx,t)\]

On en déduit que : \[\frac{\partial \rho_0 H(x,t) \mathrm dx}{\partial t} = - \rho_0 \frac{H u}{\partial x} \mathrm dx\]

et donc finalement : \[\frac{\partial H(x,t)}{\partial t} + \frac{\partial H u}{\partial x} = 0\]

Alternative

On peut également considérer un intervalle $[x_1, x_2]$ de traille finie. La conservation de la masse donne:

\[\begin{aligned} \frac{\mathrm dm}{\mathrm dt} & = \rho_0 H(x_1, t)u(x_1, t) - \rho_0 H(x_2, t) u(x_2, t)\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_{x_1}^{x_2} \rho_0 H(x, t)\,\mathrm dx & = -\int_{x_1}^{x_2}\rho_0 \frac{\partial (H(x, t) u(x, t))}{\partial x}\,\mathrm dx\\ \Leftrightarrow \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\partial H}{\partial t}+ \frac{\partial (Hu)}{\partial x}\right)\,\mathrm dx & = 0 \end{aligned} \]

Puisque l’équation est vrai pour tout $x_1$ et tout $x_2$, on a :

\[\frac{\partial H}{\partial t} + \frac{\partial (Hu)}{\partial x} = 0\]

Linéarisation

Les 2 équations trouvées précédemment sont \[\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = - g \frac{\partial \eta}{\partial x}\\ \frac{\partial H(x,t)}{\partial t} =- \frac{\partial H u}{\partial x} \end{cases}\] Le 2ème terme de la première équation est un terme quadratique en u, on peut l’éliminer. Dans la deuxième équation, on exprime $H$ en fonction de $\eta$ : \[\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} = - g \frac{\partial \eta}{\partial x}\\ \frac{\partial (h(x)+\eta(x,t))}{\partial t} = -\frac{\partial (h(x)+\eta(x,t)) u}{\partial x} \end{cases}\] Le terme $h(x)$ ne dépend pas du temps. Par ailleurs, le terme $\eta(x,t) u(x,t)$ est un terme quadratique, on peut l’éliminer : \[\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} = - g \frac{\partial \eta}{\partial x}\\ \frac{\partial \eta(x,t)}{\partial t} = -\frac{\partial h(x) u}{\partial x} \end{cases}\]

Combinaison des équations

d’après la question précédente :

\[\frac{\partial^2 \eta(x,t)}{\partial t^2} = -\frac{\partial^2 h(x) u}{\partial t \partial x}\] On remarque que : \[\frac{\partial^2 h(x) u}{\partial t \partial x} = \frac{\partial^2 h(x) u}{\partial x \partial t} = \frac{\partial }{\partial x}\left( h(x) \frac{\partial u}{\partial t} \right)\] En injectant $\frac{\partial u}{\partial t}$ trouvé précédemment : \[\frac{\partial^2 \eta(x,t)}{\partial t^2} = -\frac{\partial }{\partial x}\left( h(x) (-g) \frac{\partial \eta}{\partial x} \right)= g\frac{\partial }{\partial x}\left( h(x) \frac{\partial \eta}{\partial x} \right)\]

Solution à variables séparées

On cherche la solution sous la forme :

\[\eta(x,t) = A e^{i(kx-\omega t)}\] on trouve : \[\omega^2 = -gik\frac{dh}{dx}+gk^2h\]

Vitesse de phase

La vitesse de phase est : \[c_\phi = \frac{\omega}{Re(k)}\] On sait

que $k$ est une racine du polynôme $gh k^2 -gik\frac{dh}{dx}-\omega^2 =0$.

Le discriminent est $\Delta = -gh' + 4 gh \omega^2$.

Si $\Delta \ge 0$ alors \[k_{1,2} = \frac{igh'\pm \sqrt{\Delta}}{2gh}\]

Si $\Delta < 0$ alors \[k_{1,2} = \frac{igh'\pm i \sqrt{-\Delta}}{2gh}\]

Par conséquent, la vitesse de phase n’est définie que pour $\Delta \ge 0$ et vaut : \[c_\phi = \frac{2 gh \omega}{\sqrt{\Delta}}\]

Remarque dans le cas où la hauteur est constante $h'(x) = 0$ et $\Delta = 4gh \omega^2$, ce qui entraine $c_\phi = \sqrt{gh}$ ce qui est cohérent avec les résultats précédents.

Aménagement

Équations d’onde

On a dans la partie 1: \[\begin{cases} \frac{\partial^2 \eta_1}{\partial t^2} = gh_1\frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} \\ c_1 = \sqrt{gh_1} \end{cases}\] et dans la partie 2 : \[\begin{cases} \frac{\partial^2 \eta_2}{\partial t^2} = gh_2\frac{\partial^2 \eta_2}{\partial x^2} \\ c_2 = \sqrt{gh_2} \end{cases}\]

Ondes planes

\[\begin{cases} \eta_1(x,t) = A e^{i(k_1 x-\omega t)} + AR e^{i(-k_1 x-\omega t)}\\ \eta_2(x,t) = AT e^{i(k_2 x-\omega t)} \end{cases}\]

Continuité de la hauteur

la hauteur des vagues est continue en $x=0$ : \[\eta_1(x=0,t) = \eta_2(x=0,t)\] par conséquent : \[1 + R = T\]

Expression de la vitesse

On sait que \[\frac{\partial u}{\partial t} = -g \frac{\partial \eta}{\partial x}\] donc \[\begin{cases} \frac{\partial u_1}{\partial t} = -g\left( Aik_1 e^{i(k_1x-\omega t)} - ARik_1 e^{i(-k_1x-\omega t)}\right)\\ \frac{\partial u_2}{\partial t} = -g\left( ATik_2 e^{i(k_2x-\omega t)} \right)\\ \end{cases}\] En intégrant par rapport à $t$ et en supposant les constantes d’intégration nulles, on trouve : \[\begin{cases} u_1 = -g\left( -\frac{A k_1}{\omega} e^{i(k_1x-\omega t)} +\frac{ARk_1 }{\omega} e^{i(-k_1x-\omega t)}\right)\\ u_2 = \frac{ATk_2 g}{\omega} e^{i(k_2 x-\omega t)}\\ \end{cases}\]

Continuité du débit

La condition de continuité de débit est : $u_1(x=0,t) h_1 = u_2(x=0,t) h_2$. En injectant la relation précédente et en utilisant la relation de dispersion ( $\omega = c_n k_n$), on trouve : \[\frac{gh1}{c_1} - \frac{gRh_1}{c_1} = \frac{gTh_2}{c_2}\] donc \[\frac{h_1}{c_1}(1-R) = \frac{h_2}{c_2}T\]

Coefficients

Pour obtenir $R$ et $T$ il faut résoudre le système suivant : \[\begin{cases} 1+R=T \\ \frac{h_1}{c_1}(1-R) = \frac{h_2}{c_2}T \end{cases}\] Tout d’abord, on remplace les hauteurs en les exprimant en fonction des vitesses de phase ($c_n = \sqrt{gh_n}$) \[\begin{cases} 1+R=T \\ \frac{c_1^2}{gc_1}(1-R) = \frac{c_2^2}{gc_2}T \end{cases}\] Ce système se résoud facilement : \[\begin{cases} R = \frac{c_1-c_2}{c_1+C_2} \\ T = \frac{2c_1}{c_1+c_2} \end{cases}\]

Transmission

Comme \[T = \frac{2c_1}{c_1+c_2}\] on a : \[T = \frac{2}{1+\sqrt{h_2/h_1}}\]

Conséquences

On a $h_2<h_1$, donc $\sqrt{h_2/h_1}<1$ et donc $T>1$ : la hauteur des vagues dans le port est plus grande que la hauteur des vagues au large. Cet aménagement est donc mauvais pour les bateaux qui vont être soumis à des vagues plus hautes.

# Vagues et tsunamis <figure id="fig:geometrie_vagues"> <div class="center"> <p><img src="Figures/vagues.png" style="width:45.0%" alt="image" /> <img src="Figures/tsunami.png" style="width:45.0%" alt="image" /></p> </div> <figcaption>Schématisation du problème</figcaption> </figure> 1. Rappeler la relation de dispersion des ondes de gravité. 2. Calculer la vitesse de phase des ondes de gravité. 3. On s'intéresse aux deux cas limites suivants : - $kh \ll 1$ - $kh \gg 1$ Justifier et associer les expressions \"propagation en eau profonde\" et \"propagation en eau peu profonde\" à ces deux cas limites. 4. On rappelle que $\tanh(kh) \approx 1$ si $kh\gg 1$ et que $\tanh(kh) \approx kh$ si $kh\ll 1$. Que vaut la vitesse de phase dans ces deux régimes (les ondes sont-elles dispersives) ? 5. **A la plage** On s'intéresse à la propagation des vagues à la plage. En observant les vagues on s'aperçoit qu'elles arrivent toutes les 8s sur le rivage. Si on suppose que la hauteur de l'eau est égale à 1m, quelle est la longueur d'onde des vagues ? 6. **Tsunami** On s'intéresse maintenant au cas d'un tsunami généré par un tremblement de terre sous-marin en plein océan (on suppose que la profondeur de l'océan est de 4km). On suppose que la longueur d'onde associée au tsunami est de 100km. Dans quel régime est-on (\"propagation en eau profonde\" et \"propagation en eau peu profonde\") ? Quelle est la vitesse de propagation du tsunami (à exprimer en m/s et aussi en km/h) ? 7. **Le mascaret** Le mascaret est une onde de marée qui remonte le long de certain fleuve les jours de grandes marées. Quelle est la vitesse à laquelle remonte cette vague (on suppose qu'elle fait 2m de haut et que la longueur d'onde est environ 10m) dans un fleuve dont la profondeur est 2m ? ## Ondes capillaires ![Ondes gravito-capillaires](Figures/capillary_waves.png) Lors de l'étude des vagues (ou ondes de gravité) faites en cours, nous avons négligé l'effet de capillarté qui peut exister à la surface d'un liquide (à cause de la tension de surface, la surface du liquide peut ne pas être plane). Dans ce problème, on se propose de voir l'influence de la tension de surface sur une interface eau/air, on parle alors d'ondes gravito-capillaires (c'est à dire des ondes dues à la gravité et à la capillarité du liquide). Dans l'étape de modélisation, la tension de surface peut être prise en compte via une modification de la pression à la surface du liquide. Les équations sont alors modifiées et on obtient une équation de dispersion plus complète que lorsque seules les ondes de gravité sont considérées : $$\omega^2 = \left(g + \frac{Tk^2}{\rho_0}\right)k \tanh(kh) \label{eq:dispersiongc}$$ où $T$ est la tension de surface qui se mesure en N.m$^{-1}$. 1. Rappeler la relation générale qui existe entre la longueur d'onde $\lambda$ et le nombre d'onde $k$. 2. Quelle est la relation de dispersion des ondes de gravité seules ? 3. Montrer que si la longueur d'onde est bien plus grande que la longueur capillaire ($l_c = 2\pi \sqrt{\frac{T}{g\rho_0}}$), alors les effets capillaires deviennent négligeables. 4. On donne $T=7.10^{-2}$N.m$^{-1}$, estimer la longueur capillaire $l_c$ au-dessus de laquelle les effets capillaires sont négligeables. 5. On suppose que la hauteur d'eau sans pertubration $h$ est de l'ordre du mètre. Si on souhaite observer des effets capillaires importants, dans quel régime faut il se placer : $kh\ll1$ ou $kh\gg1$ ? 6. On suppose qu'on est dans ce régime jusqu'à la fin du problème. Montrer que la relation de dispersion se simplifie : $$\omega^2 = gk + \frac{Tk^3}{\rho}$$ 7. Calculer la vitesse de phase des ondes gravito-capillaires. 8. Montrer que la vitesse de phase des ondes gravito-capillaires à un minimum en $k=\frac{2 \pi}{l_c}$. 9. Estimer la valeur numérique de la plus petite vitesse de phase possible pour les ondes gravito-capillaires (on donne $\sqrt[4]{28} = 2.3$). ## **Etude des vagues en eau peu profonde et profondeur variable** ![Propagation de vagues avec une profondeur variable](Figures/vagues_schema.png){#fig-vagues-schema} On cherche à modéliser la propagation de vagues dans un cas où la profondeur est variable. En prenant comme référence $y=0$ pour une configuration sans vague, on note (voir @fig-vagues-schema): - $h(x)$ la profondeur de l'eau dans une configuration sans vague, - $H(x,t)$ la hauteur totale de l'eau avec vagues (état de base + perturbation) au point $x$ et à l'instant $t$, - $\eta(x,t)$ la hauteur des vagues (on remarque que $\eta(x,t) = H(x,t)-h(x)$). Une des hypothèses fondamentales utilisées pour la modélisation de ce problème est de ne considérer que le cas pour lequel la profondeur est très faible devant la longueur d'onde des vagues $h(x)\ll \lambda$. On note le champ de vitesse : $\underline{V}(x,y,t) = u(x,y,t) \underline{e_x} + v(x,y,t) \underline{e_y}$. D'après l'hypothèse précédente, on supposera que $u$ (composante horizontale de la vitesse du fluide) est de la forme : $$u(x,y,t) = u(x,t).$$ On suppose que la masse volumique en tout point $(x,y)$ de l'eau et à tout instant $t$ est constante $\rho(x,y,t) = \rho_0$ et on néglige tout les phénomènes de viscosité. Enfin, on donne le champ de pression dans le fluide : $$p(x,y,t) = \rho_0 g (\eta(x,t)- y) + P_0$$ avec $P_0$ la pression atmosphérique (supposée constante). 1. En projetant l'équation d'Euler (bilan de quantité de mouvement) suivant $\underline{e_x}$, montrer que : $$\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = - g \frac{\partial \eta}{\partial x}$$ 2. En faisant un bilan de masse sur la tranche de fluide d'épaisseur $\mathrm dx$, montrer que : $$\frac{\partial H}{\partial t} + \frac{\partial (Hu)}{\partial x} = 0$$ 3. Les deux équations précédentes sont non-linéaires. On rappelle que $|u(x,t)|\ll 1$ et $|\eta(x,t)|\ll 1$. Linéariser les équations précédentes et montrer que : $$\begin{cases} \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial hu}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial u}{\partial t} = -g \frac{\partial \eta}{\partial x} \end{cases}$$ 4. Montrer qu'on peut écrire une équation de propagation pour la fonction $\eta(x,t)$ : $$\frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} = g\frac{\partial }{\partial x} \left( h(x) \frac{\partial \eta}{\partial x} \right)$$ 5. Calculer la relation de dispersion de cette équation 6. Calculer la vitesse de phase associée. Monter que si la profondeur est constante, alors $c_\phi = \sqrt{gh}$. Est ce cohérent avec les résultats du cours ? ## Aménagement sous-marin de l'entrée d'un port On reprend les notations et les résultats de l'exercice précédent. Pour éviter l'ensablement d'un port, une marche a été aménagée à son entrée. Ainsi, le sable qui vient du large est bloqué par la marche (on suppose que le sable est entrainé au fond de l'eau). On cherche à caractériser les conséquences de cet aménagement sur la hauteur des vagues dans le port. On modélise la géométrie du problème de la façon suivante : - vers le large, on considère un fond plat de hauteur $h_1$, - vers le port, on a un fond plat de hauteur $h_2$ (avec $h_2<h_1$). On note $\eta_1(x,t)$ la hauteur des vagues dans la partie de hauteur $h_1$ et $\eta_2(x,t)$ la hauteur des vagues dans la partie de hauteur $h_2$. On suppose que le changement de hauteur d'eau entraine l'apparition d'une onde transmise ($T$ est le coefficient de transmission en amplitude) et d'une onde réfléchie ($R$ est le coefficient de réflexion en amplitude). Les conditions de continuité en $x=0$ pour ce problème sont : - continuité de la hauteur des vagues ($\eta_1(x=0,t) = u_2(x=0,t)$) - continuité du débit ($u_1(x=0,t)h_1 = u_2(x=0,t) h_2$) ![Propagation de vagues en eau peu profonde](Figures/vagues_port.png) 1. Donner les équations des ondes que doivent satisfaire $\eta_1(x,t)$ et $\eta_2(x,t)$ et les vitesses de phases $c_1$ et $c_2$ dans ces deux cas. 3. En utilisant la continuité de la hauteur des vagues en $x=0$, trouver une première relation entre les coefficients de réflexion et 4. Exprimer $u_1(x,t)$ et $u_2(x,t)$ en fonction des données du problème. 5. En utilisant la continuité du débit en $x=0$, trouver une deuxième relation entre $R$ et $T$. 6. Déduire des questions précédentes les expressions de $R$ et $T$ en fonction des vitesses $c_1$ et $c_2$. 7. Exprimer $T$ en fonction de $h_1$ et $h_2$. 8. Quelle va être la conséquence de l'aménagement du fond sous-marin sur la hauteur des vagues dans le port. Commenter. ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} ### Vagues et tsunamis {.unnumbered} #### Relation de dispersion $$\omega^2 = gk \tanh(kh)$$ ------------------------------------------------------- #### Vitesse de phase La vitesse de phase des ondes de gravité est $$c_\phi = \frac{\omega}{k}$$ D'après la question précédente, on trouve : $$c_\phi = \sqrt{\frac{g}{k}\tanh(kh)}$$ ------------------------------------------------------- #### Régimes On rappelle que $k$ est le nombre d'onde. Il est relié à la longueur d'onde par la relation $k=\frac{2\pi }{\lambda}$. Cette relation permet d'interpréter le coefficient $kh$ : - $kh\ll 1$ est équivalent à $2\pi h\ll \lambda$, la longueur d'onde est donc bien plus grande que la hauteur d'eau : on est dans le cas d'une propagation en eau peu profonde (comparée à la longueur d'onde); - $kh\gg 1$ est équivalent à $2\pi h\gg \lambda$, la longueur d'onde est donc bien plus petite que la hauteur d'eau : on est dans le cas d'une propagation en eau profonde (comparée à la longueur d'onde). ------------------------------------------------------- #### Vitesses de phase dans les deux régimes - $kh\ll 1$ (propagation en eau peu profonde) : $$c_{\phi} \approx \sqrt{gh}$$ La vitesse de phase est constante : ondes non dispersives. - $kh\gg 1$ (propagation en eau profonde) : $$c_{\phi} \approx \sqrt{\frac{g}{k}}$$ La vitesse de phase dépend de la fréquence (via le nombre d'onde) : ondes dispersives. ------------------------------------------------------- #### Plage On fait l'hypothèse que la propagation se fait en eau peu profonde (car on est au bord de l'eau). La longueur d'onde est reliée à la vitesse de phase par la relation : $$\lambda = \frac{c_\phi}{f}$$ La fréquence est $f=\frac{1}{T}=\frac{1}{8}$ La vitesse des vagues est $c_{\phi} \approx \sqrt{gh} \approx \sqrt{10} \approx 3$ On en déduit la longueur d'onde des vagues : $$\lambda \approx 3\times 8 \approx 24 \ \mathrm m$$ Cette valeur est cohérente avec l'hypothèse de propagation en eau peu profonde ($24 \gg 2\pi$). ------------------------------------------------------- #### Tsunami Compte tenu des valeurs de la longueur d'onde et de la hauteur de l'océan ($kh \approx 0.25$), on est dans le cas d'une propagation en eau peu profonde. La vitesse de propagation du tsunami est donc : $$\begin{aligned} c_{\phi} & \approx & \sqrt{gh} \\ &\approx& \sqrt{10 \times 4000} \\ &\approx& \sqrt{4.10^4} \\ &\approx& 2.10^2 m/s \\ &\approx& 2.10^2.3600/1000 km/h\\ &\approx& 720 km/h \end{aligned}$$ ------------------------------------------------------- #### Mascaret On calcule d'abord: $$ kh = \frac{2\pi h}{\lambda} = \frac{2\pi \cdot 2\ \mathrm m}{10\ \mathrm m} \approx 1.3$$ On se situe en régime intermédiaire, il faut donc appliquer la relation complète: $$c_\phi = \sqrt{\frac{2\pi g}{\lambda}}\cdot \sqrt{\tanh\left(\frac{2\pi h}{\lambda}\right)} \approx 3.6\ \mathrm{m/s}$$ Si on fait l'hypothèse de faible profondeur on trouve $c_\phi\approx 4.5$ m/s, soit 23% d'erreur. ------------------------------------------------------- ### Ondes capillaires {.unnumbered} #### Nombre d'onde $$k = \frac{2 \pi}{\lambda}$$ ------------------------------------------------------- #### Gravité seule Il suffit de négliger la tension de surface $T=0$ : $$\omega^2 = g k \tanh(kh)$$ ------------------------------------------------------- #### Longueur capillaire Dans la relation de dispersion, on voit qu'il y a la somme de deux termes : $\left(g + \frac{Tk^2}{\rho_0}\right)$ le premier est dû à la gravité, le second à la tension de surface. Les effets de tension de surface sont négligeables si : $$g \gg \frac{Tk^2}{\rho_0}$$ ou encore : $$k^2 \ll \frac{g \rho_0}{T}$$ on exprime cette relation à partir de la longueur d'onde : $$\lambda\gg 2\pi \sqrt{\frac{T}{g\rho_0}}$$ ------------------------------------------------------- #### AN $$l_c\approx 1.7\ \mathrm{cm}$$ ------------------------------------------------------- #### Régime capillaire Si $\lambda \gg l_c$ les effets sont négligeables. Donc on veut $\lambda \sim l_c \approx 1.6\ \mathrm{cm}$ donc : $$kh = \frac{2 \pi h}{\lambda} \sim \frac{2 \pi\cdot 1\ \mathrm{m}}{1.7\ \mathrm{cm}} \approx 370 \gg 1$$ C'est le régime dit d'eau profonde. ------------------------------------------------------- #### Dispersion Si $kh \gg 1$, alors $\tanh(kh) \approx 1$, donc : $$\omega^2 = gk + \frac{Tk^3}{\rho}$$ ------------------------------------------------------- #### Vitesse de phase Par définition, la vitesse de phase est $$c_\phi = \frac{\omega}{k}$$ Donc pour les ondes gravito-capillaires on a donc : $$c_\phi = \sqrt{\frac{1}{k}\left(g + \frac{Tk^2}{\rho_0}\right)}$$ ------------------------------------------------------- #### Vitesse minimum La figure ci-dessous montre la vitesse de phase des ondes gravito-capillaires. On voit que la vitesse de phase a un minimum. ::: center ![](Figures/ondes_grav_cap.png){width="80%"} ::: On a $$c_\phi = \sqrt{\left(\frac{g}{k} + \frac{Tk}{\rho_0}\right)}$$ Le minimum de $c_\phi$ correspond à $\frac{d c_\phi}{d k}=0$ : $$\frac{d c_\phi}{d k}= \frac{1}{2}\left( \frac{-g}{k^2} + \frac{T}{\rho_0}\right) \left( \frac{g}{k} + \frac{Tk}{\rho_0}\right)^{-1/2} = 0$$ par conséquent : $$\left( \frac{-g}{k^2} + \frac{T}{\rho_0}\right)=0$$ ou encore $$k=\sqrt{\frac{g \rho_0}{T}}=\frac{2 \pi}{l_c}$$ ------------------------------------------------------- #### Valeur de la vitesse On peut exprimer la vitesse de phase comme: $$ c_\phi = \sqrt{\frac{g}{k} + \frac{Tk}{\rho}} = \sqrt{\frac{g}{k}}\sqrt{1 + \frac{T k^2}{\rho g}} = \sqrt{\frac{g}{k}}\sqrt{1 + \left(\frac{l_c}{\lambda}\right)^2}$$ Le minimum de $c_\phi$ se produit pour $k = 2\pi/l_c$ et vaut alors : $$ c_{\phi,\mathrm{min}} = \sqrt{\frac{4\pi g}{l_c}} \approx 23\ \mathrm{cm/s}$$ ------------------------------------------------------- ### Hauteur variable {.unnumbered} #### Euler L'équation d'Euler est : $$\rho \left(\frac{\partial \underline{V}}{\partial t} + (\underline{V} \cdot \underline{\nabla})\underline{V} \right) = - \underline{\nabla}p- \rho \underline{g}$$ L'équation d'Euler projetée sur $\underline{e_x}$ est : $$\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{1}{\rho_0} \frac{\partial p}{\partial x}$$ Comme $u = u(x,t)$, le troisième terme est nul, en injectant l'expression de $p(x,y)$ donné dans l'énoncé, on trouve le résultat demandé ------------------------------------------------------- #### Masse On fait un bilan de masse (on prend une tranche d'épaisseur 1 dans la direction $z$). La masse de la tranche est : $\rho_0 H(x,t) \mathrm dx$. Son évolution en temps est donc : $\frac{\partial \rho_0 H(x,t) \mathrm dx}{\partial t}$ L'évolution temporelle est égale au flux entrant (en $x$ moins le flux entrant en $x+\mathrm dx$ : $$\frac{\partial \rho_0 H(x,t) \mathrm dx}{\partial t} = \rho_0 H(x,t) u(x,t) - \rho_0 H(x+\mathrm dx,t) u(x+\mathrm dx,t)$$ On en déduit que : $$\frac{\partial \rho_0 H(x,t) \mathrm dx}{\partial t} = - \rho_0 \frac{H u}{\partial x} \mathrm dx$$ et donc finalement : $$\frac{\partial H(x,t)}{\partial t} + \frac{\partial H u}{\partial x} = 0$$ *Alternative* On peut également considérer un intervalle $[x_1, x_2]$ de traille finie. La conservation de la masse donne: $$\begin{aligned} \frac{\mathrm dm}{\mathrm dt} & = \rho_0 H(x_1, t)u(x_1, t) - \rho_0 H(x_2, t) u(x_2, t)\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_{x_1}^{x_2} \rho_0 H(x, t)\,\mathrm dx & = -\int_{x_1}^{x_2}\rho_0 \frac{\partial (H(x, t) u(x, t))}{\partial x}\,\mathrm dx\\ \Leftrightarrow \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\partial H}{\partial t}+ \frac{\partial (Hu)}{\partial x}\right)\,\mathrm dx & = 0 \end{aligned} $$ Puisque l'équation est vrai pour tout $x_1$ et tout $x_2$, on a : $$\frac{\partial H}{\partial t} + \frac{\partial (Hu)}{\partial x} = 0$$ ------------------------------------------------------- #### Linéarisation Les 2 équations trouvées précédemment sont $$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = - g \frac{\partial \eta}{\partial x}\\ \frac{\partial H(x,t)}{\partial t} =- \frac{\partial H u}{\partial x} \end{cases}$$ Le 2ème terme de la première équation est un terme quadratique en u, on peut l'éliminer. Dans la deuxième équation, on exprime $H$ en fonction de $\eta$ : $$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} = - g \frac{\partial \eta}{\partial x}\\ \frac{\partial (h(x)+\eta(x,t))}{\partial t} = -\frac{\partial (h(x)+\eta(x,t)) u}{\partial x} \end{cases}$$ Le terme $h(x)$ ne dépend pas du temps. Par ailleurs, le terme $\eta(x,t) u(x,t)$ est un terme quadratique, on peut l'éliminer : $$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} = - g \frac{\partial \eta}{\partial x}\\ \frac{\partial \eta(x,t)}{\partial t} = -\frac{\partial h(x) u}{\partial x} \end{cases}$$ ------------------------------------------------------- #### Combinaison des équations d'après la question précédente : $$\frac{\partial^2 \eta(x,t)}{\partial t^2} = -\frac{\partial^2 h(x) u}{\partial t \partial x}$$ On remarque que : $$\frac{\partial^2 h(x) u}{\partial t \partial x} = \frac{\partial^2 h(x) u}{\partial x \partial t} = \frac{\partial }{\partial x}\left( h(x) \frac{\partial u}{\partial t} \right)$$ En injectant $\frac{\partial u}{\partial t}$ trouvé précédemment : $$\frac{\partial^2 \eta(x,t)}{\partial t^2} = -\frac{\partial }{\partial x}\left( h(x) (-g) \frac{\partial \eta}{\partial x} \right)= g\frac{\partial }{\partial x}\left( h(x) \frac{\partial \eta}{\partial x} \right)$$ ------------------------------------------------------- #### Solution à variables séparées On cherche la solution sous la forme : $$\eta(x,t) = A e^{i(kx-\omega t)}$$ on trouve : $$\omega^2 = -gik\frac{dh}{dx}+gk^2h$$ ------------------------------------------------------- #### Vitesse de phase La vitesse de phase est : $$c_\phi = \frac{\omega}{Re(k)}$$ On sait que $k$ est une racine du polynôme $gh k^2 -gik\frac{dh}{dx}-\omega^2 =0$. Le discriminent est $\Delta = -gh' + 4 gh \omega^2$. Si $\Delta \ge 0$ alors $$k_{1,2} = \frac{igh'\pm \sqrt{\Delta}}{2gh}$$ Si $\Delta < 0$ alors $$k_{1,2} = \frac{igh'\pm i \sqrt{-\Delta}}{2gh}$$ Par conséquent, la vitesse de phase n'est définie que pour $\Delta \ge 0$ et vaut : $$c_\phi = \frac{2 gh \omega}{\sqrt{\Delta}}$$ Remarque dans le cas où la hauteur est constante $h'(x) = 0$ et $\Delta = 4gh \omega^2$, ce qui entraine $c_\phi = \sqrt{gh}$ ce qui est cohérent avec les résultats précédents. -------------------------------------------------------- ### Aménagement {.unnumbered} #### Équations d'onde On a dans la partie 1: $$\begin{cases} \frac{\partial^2 \eta_1}{\partial t^2} = gh_1\frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} \\ c_1 = \sqrt{gh_1} \end{cases}$$ et dans la partie 2 : $$\begin{cases} \frac{\partial^2 \eta_2}{\partial t^2} = gh_2\frac{\partial^2 \eta_2}{\partial x^2} \\ c_2 = \sqrt{gh_2} \end{cases}$$ -------------------------------------------------------- #### Ondes planes $$\begin{cases} \eta_1(x,t) = A e^{i(k_1 x-\omega t)} + AR e^{i(-k_1 x-\omega t)}\\ \eta_2(x,t) = AT e^{i(k_2 x-\omega t)} \end{cases}$$ -------------------------------------------------------- #### Continuité de la hauteur la hauteur des vagues est continue en $x=0$ : $$\eta_1(x=0,t) = \eta_2(x=0,t)$$ par conséquent : $$1 + R = T$$ -------------------------------------------------------- #### Expression de la vitesse On sait que $$\frac{\partial u}{\partial t} = -g \frac{\partial \eta}{\partial x}$$ donc $$\begin{cases} \frac{\partial u_1}{\partial t} = -g\left( Aik_1 e^{i(k_1x-\omega t)} - ARik_1 e^{i(-k_1x-\omega t)}\right)\\ \frac{\partial u_2}{\partial t} = -g\left( ATik_2 e^{i(k_2x-\omega t)} \right)\\ \end{cases}$$ En intégrant par rapport à $t$ et en supposant les constantes d'intégration nulles, on trouve : $$\begin{cases} u_1 = -g\left( -\frac{A k_1}{\omega} e^{i(k_1x-\omega t)} +\frac{ARk_1 }{\omega} e^{i(-k_1x-\omega t)}\right)\\ u_2 = \frac{ATk_2 g}{\omega} e^{i(k_2 x-\omega t)}\\ \end{cases}$$ -------------------------------------------------------- #### Continuité du débit La condition de continuité de débit est : $u_1(x=0,t) h_1 = u_2(x=0,t) h_2$. En injectant la relation précédente et en utilisant la relation de dispersion ( $\omega = c_n k_n$), on trouve : $$\frac{gh1}{c_1} - \frac{gRh_1}{c_1} = \frac{gTh_2}{c_2}$$ donc $$\frac{h_1}{c_1}(1-R) = \frac{h_2}{c_2}T$$ -------------------------------------------------------- #### Coefficients Pour obtenir $R$ et $T$ il faut résoudre le système suivant : $$\begin{cases} 1+R=T \\ \frac{h_1}{c_1}(1-R) = \frac{h_2}{c_2}T \end{cases}$$ Tout d'abord, on remplace les hauteurs en les exprimant en fonction des vitesses de phase ($c_n = \sqrt{gh_n}$) $$\begin{cases} 1+R=T \\ \frac{c_1^2}{gc_1}(1-R) = \frac{c_2^2}{gc_2}T \end{cases}$$ Ce système se résoud facilement : $$\begin{cases} R = \frac{c_1-c_2}{c_1+C_2} \\ T = \frac{2c_1}{c_1+c_2} \end{cases}$$ -------------------------------------------------------- #### Transmission Comme $$T = \frac{2c_1}{c_1+c_2}$$ on a : $$T = \frac{2}{1+\sqrt{h_2/h_1}}$$ -------------------------------------------------------- #### Conséquences On a $h_2<h_1$, donc $\sqrt{h_2/h_1}<1$ et donc $T>1$ : la hauteur des vagues dans le port est plus grande que la hauteur des vagues au large. Cet aménagement est donc mauvais pour les bateaux qui vont être soumis à des vagues plus hautes. :::