3 Vibrations de systèmes continus: éléments généraux et vibrations des barres
3.1 Introduction
Ce cours d’introduction aux vibrations des systèmes continus se limitera à l’étude des structures à une dimension (1D). Ces systèmes simples suffisent pour modéliser le comportement de nombreuses structures et, par extension, comprendre le comportement vibratoire de structures plus complexes. Ils sont aussi les constituants des modèles en éléments finis.
Les structures considérées ont des caractéristiques géométriques communes : elles sont élancées, de longueur \(L\) finie et de section \(S\) constante.
Elles sont par ailleurs constituées dans un matériau homogène et isotrope avec des lois de comportement linéaires et sans dissipation d’énergie.
4 types de vibrations peuvent être étudiés dans ces conditions. Ils sont représentés sur la Figure 3.1.
- les vibrations transverses des cordes
- les vibrations longitudinales des poutres
- les vibrations de torsion des arbres
- les vibrations de flexion des poutres
Les 3 premières sont régies par une équation différentielle du second ordre : l’équation des ondes de d’Alembert. Les vibrations de flexion obéissent quant à elles à une équation différentielle d’ordre 4.
Cependant les développements mathématiques qui permettent d’obtenir leurs solutions sont semblables.
Pour traiter le cas de structures plus complexes (section variable, matériau inhomogène, masse ou raideur localisée,...) on fera appel dans la dernière partie à des méthodes approchées, analogues à celles présentées Section 2.7, qui permettent d’estimer les fréquences propres.
On traite pour commencer le cas des vibrations longitudinale dans les barres. La seconde partie considère le cas des ondes de flexion. Dans les deux cas, on commence par établir l’équation des ondes avant de la résoudre pour obtenir, d’une part l’expression des vibrations naturelles lorsque la structure est libre d’efforts, d’autre part, celle de leur réponse forcée en présence d’actions extérieures.
3.2 Vibrations longitudinales dans les barres
Les barres solides sont sujettes aux vibrations longitudinales (c’est-à-dire selon le long de leur longueur). Pour établir la vibration, on comment par définir l’énergie cinétique d’une barre de longueur \(L\), de masse volumique \(\rho(x)\) et de section \(S(x)\).
On note \(u(x, t)\) le déplacement longitudinal à l’instant \(t\) d’un point \(x\) de la barre. Chaque tranche \(\mathrm dx\) (de masse \(\mathrm dm\)) de barre a l’énergie cinétique:
\[ \mathrm dT = \frac{1}{2} \mathrm dm \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2 = \frac{1}{2} \rho S \mathrm dx \dot u^2 \]
Pour calculer l’énergie cinétique totale de la barre, on intègre:
\[ T(\dot u) = \int_0^L \mathrm dT = \frac{1}{2} \int_0^L \rho S \dot u^2\,\mathrm dx \tag{3.1}\]
Pour l’énergie potentielle élastique, on sait que le déplacement de la barre est longitudinal, donc que la déformation longitudinale est constante dans chaque section de la barre est vaut \(\varepsilon_{xx} = \frac{\partial u}{\partial x}.\)
L’énergie potentielle élastique due à une déformation longitudinale est donc donnée par:
\[ U(u) = \int_0^L\int_S \frac{1}{2} E\varepsilon_{xx}^2 \,\mathrm dS\mathrm dx = \frac{1}{2}\int_0^L ES\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2\,\mathrm dx = \frac{1}{2}\int_0^L ESu'^2\,\mathrm dx, \tag{3.2}\]
où \(E(x)\) est le module d’Young de la barre élastique.
Conditions limites
En \(x = 0\) et \(x = L\) on a deux options:
- Le déplacement \(u\) est bloqué (\(u = 0\)) et un effort normal \(N\) inconnu est appliqué à la structure par réaction d’appui.
- Le déplacement \(u\) est libre car l’effort normal \(N\) est nul.
L’effort normal est donné par la résultante des contraintes longitudinales:
\[ N(x) = \int_S \sigma_{xx}(x)\,\mathrm dx = \sigma_{xx}S = ES \varepsilon_{xx} = ES\frac{\partial u}{\partial x} = ESu' \tag{3.3}\]
On a donc les possibilités suivantes:
| Position | Encastrement | Bord libre |
|---|---|---|
| \(x=0\) | \(u(0) = 0\) | \(N(0) = ESu'(0) = 0\) |
| \(x=L\) | \(u(L) = 0\) | \(N(L) = ESu'(L) = 0\) |
3.2.1 Euler-Lagrange – Analogie avec les systèmes discrets
Dans les systèmes discrets, les énergies cinétique et potentielle sont des formes quadratiques du vecteur déplacement \(\mathbf u\) et vitesse \(\mathbf{\dot u}\):
\[ T(\mathbf{\dot u}) = \frac{1}{2} \mathbf{\dot u}^T \mathbf{M\dot u},\qquad U(\mathbf u) = \frac{1}{2} \mathbf u^T \mathbf{Ku} \tag{3.4}\]
On opère un changement de notation: notons \(\langle \mathbf u, \mathbf v\rangle = \mathbf u^T\mathbf v\) le produit scalaire de \(\mathbf u\) et \(\mathbf v\). Notons également \(M(\mathbf v) = \mathbf{Mv}\) l’application linéaire qui correspond à la matrice \(\mathbf M\). De même, notons \(K(\mathbf u) = \mathbf K\mathbf u\) l’application linéaire correspondant à \(\mathbf K\). On a alors:
\[ T(\mathbf{\dot u}) =\frac{1}{2} \langle \mathbf{\dot u}, M(\mathbf{\dot u})\rangle,\qquad U(\mathbf u) = \frac{1}{2} \langle \mathbf u, K(\mathbf u)\rangle \]
Appliquons ces notations au cas continu. Le produit scalaire de deux fonctions peut s’écrire:
\[ \langle u, v\rangle = \int_0^L u(x)v(x)\,\mathrm dx \]
On remarque que les énergies du cas continu, données par Équation 3.1 et Équation 3.2, sont aussi des formes quadratiques de \(\dot u\) et \(u\). On peut donc trouver les applications linéaires \(M\) et \(K\) pour exprimer les énergies:
\[ T(\dot u) = \frac{1}{2}\langle \dot u, M(\dot u)\rangle,\qquad U(u) = \frac{1}{2} \langle u, K(u) \rangle \]
\(M\) est facilement identifiée, on a
\[ M(\dot u) = \rho S\dot u. \]
\(K\) est plus difficile, il faut intégrer l’énergie potentielle par parties:
\[\begin{align*} U(u) & = \frac{1}{2}\int_0^L ES (u'\cdot u')\,\mathrm dx\\ & = {\left[ ESu' \cdot u \right] }_{x=0}^{x=L} - \frac{1}{2}\int_0^L \frac{\partial }{\partial x}(ESu') \cdot u\,\mathrm dx \end{align*}\]
Le terme de bord \({\left[ ESu' \cdot u \right] }_{x=0}^{x=L}\) est nul si on considère les conditions limites, voir Table 3.1. On peut donc écrire l’énergie potentielle comme:
\[ U(u) = \frac{1}{2}\int_0^L u\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(-ES u'\right)\,\mathrm dx \]
d’où on peut identifier \(K\):
\[ K(u) = -\frac{\partial }{\partial x}(ESu'). \]
\(K\) est bien une application linéaire, on pourra vérifier que \(K(\alpha u + \beta v) = \alpha K(u) + \beta K(v)\), puisque la dérivée est une opération linéaire.
Note 3.1: Remarque
Tout comme les matrices \(\mathbf M\) et \(\mathbf K\) des systèmes discrets sont symétriques et définies-positives, les applications linéaires \(M\) et \(K\) le sont aussi, c’est-à-dire que :
\[ \begin{aligned} \langle v, K(u) \rangle & = \langle u, K(v) \rangle\qquad & \forall v,\ u \\ \langle u, K(u) \rangle & \geq 0\qquad & \forall u\\ \langle v, M(u) \rangle & = \langle u, M(v) \rangle\qquad & \forall v,\ u \\ \langle u, M(u) \rangle & \geq 0\qquad & \forall u \end{aligned}\]
Enfin, si l’équation de la dynamique pour les systèmes discrets peut s’écrire, grace à Euler-Lagrange:
\[ M(\mathbf{\ddot u}) + K(\mathbf{u}) = 0\quad\Leftrightarrow\quad \mathbf{M\ddot u} + \mathbf{Ku} = 0,\]
cela veut dire que l’on peut écrire la même équation pour le cas continu et obtenir l’équation du mouvement:
\[ M(\ddot u) + K(u) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \rho S \ddot u - \frac{\partial}{\partial x}(ES u') = \rho S \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial }{\partial x}\left(ES\frac{\partial u}{\partial x}\right) = 0. \]
Si \(E\) et \(S\) sont constants par rapport à \(x\), on a l’équation de d’Alembert:
\[ \rho S \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = ES \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.\]
Pour s’assurer qu’on a la bonne équation de dynamique, on re-dérivera cette équation par le principe fondamental de la dynamique.
Efforts externes
Dans le cas discret, pour calculer le vecteur des efforts externes généralisés, on cherche à évaluer le travail des forces externes sur un déplacement virtuel \(\mathbf{\delta u}\):
\[ \delta W = \mathbf Q \cdot \mathbf{\delta u} = \langle \mathbf Q, \mathbf{\delta u} \rangle \]
On applique ici le même principe à deux cas de chargement externe: on cherche le travail virtuel de ces deux cas sous l’effet d’un champ de déformation virtuel \(\delta u(x)\).
Force répartie
On considère une force linéique longitudinale \(f(x, t)\) qui s’applique le long de la poutre. Le travail de cette force sur un champs de déplacement virtuel \(\delta u(x)\) est :
\[ \delta W = \int_0^L f(x, t)\delta u(x)\,\mathrm dx = \langle f, \delta u\rangle \]
On a donc \(Q = f\) et l’équation du mouvement s’écrit:
\[ M(\ddot u) + K(u) = Q \]
Force ponctuelle
On considère une force \(F(t)\) appliquée au point \(x_F\) de la barre. Le travail sur la déformée virtuelle \(\delta u\) est :
\[ \delta W = F(t) \delta u(x_F) = \int_0^L F(t)\delta u(x) \delta(x - x_F)\,\mathrm dx = \langle F(t)\delta(x - x_F), \delta u \rangle \]
On a fait apparaître la distribution de Dirac \(\delta(x - x_f)\) pour pouvoir écrire le produit scalaire, en utilisant la propriété que \(\int_0^L \delta u(x) \delta(x - x_F)\,\mathrm dx = \delta u(x_F)\). L’équation du mouvement ci-dessus est donc valide pour \(Q = F(t)\delta(x - x_F)\).
3.2.2 Dynamique d’une tranche de barre
Pour établir l’équation de mouvement longitudinal d’une barre, on va considérer un tronçon de barre entre les points \(x_0\) et \(x_0 + h\) choisis arbitrairement. En isolant ce tronçon, on fait apparaître des efforts internes, qui représentent l’effet du reste de la structure sur le tronçon.
\(f(x, t)\) est une force externe répartie sur la longueur de la poutre. On note \(q_m\) la quantité de mouvement du tronçon, que l’on peut intégrer à partir de la quantité de mouvement \(\mathrm dq_m = \mathrm dm \dot u\):
\[ q_m = \int_{x_0}^{x_0+h} \mathrm dq_m = \int_0^L \rho S \dot u\,\mathrm dx \]
Pour appliquer la troisième loi de Newton, il faut la résultant de \(f(x, t)\) sur le tronçon, c’est-à-dire \(\int_0^L f(x, t)\,\mathrm dx\), et la dynamique est donnée par :
\[\begin{align*} \frac{\mathrm dq_m}{\mathrm dt} & = -N(x_0, t) + N(x_0 + h, t) + \int_{x_0}^{x_0+h} f(x, t)\,\mathrm dx\\ \Leftrightarrow \int_{x_0}^{x_0+h} \rho S \ddot u\,\mathrm dx & = \int_{x_0}^{x_0+L} \frac{\partial N}{\partial x}\,\mathrm dx + \int_{x_0}^{x_0+h} f(x, t)\,\mathrm dx\\ \Leftrightarrow \int_{x_0}^{x_0+h} \left(\rho S \ddot u - \frac{\partial N}{\partial x} - f(x, t)\right)\,\mathrm dx & = 0\qquad \forall x_0,\ h \end{align*}\]
Puisque l’équation est valide pour tout \(x_0\) et tout \(h\), on doit nécessairement avoir:
\[ \rho S \ddot u = \frac{\partial N}{\partial x} + f. \]
En remplaçant l’effort normal pour un barre linéaire élastique \(N = ES u'\) (3.3), on obtient la bonne équation:
\[ \rho S \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial}{\partial x}\left(ES \frac{\partial u}{\partial x}\right) = f \qquad\Leftrightarrow\qquad M(\ddot u) + K(u) = Q. \]
3.2.3 Découplage des équations homogènes
Maintenant que l’on a établi l’équation de mouvement longitudinal, on va appliquer le même raisonnement que pour le cas discret en Section 2.4.1.
On postule une solution de la forme :
\[ u(x, t) = X(x) p(t). \]
De même que pour le cas discret, la fonction \(X\) donne la “forme spatiale” de la solution et \(p(t)\) l’oscillation en temps. En substituant dans l’équation du mouvement, on obtient :
\[ M(X)\ddot p + K(X) p = 0. \]
On peut réécrire cette équation sous la forme d’un déterminant nul :
\[ \begin{vmatrix} \ddot p & p \\ -K(X) & M(X) \end{vmatrix} = 0, \]
ce qui implique que la matrice \(2\times 2\) ci-dessus est singulière. Il existe donc \(\lambda\) tel que:
\[\left\{ \begin{aligned} \ddot p + \lambda p & = 0 \\ K(X) & = \lambda M(X) \end{aligned}\right. \tag{3.5}\]
On reconnaît le problème aux valeurs propre généralisé. Comme pour le cas discret, en prenant le produit scalaire par \(X\) de la deuxième équation, on a :
\[ \lambda = \frac{\langle X, K(X) \rangle}{\langle X, M(X) \rangle} = \frac{U(X)}{T(X)} \geq 0. \]
La première équation est donc celle d’un oscillateur harmonique, et l’on peut exprimer \(\lambda = \omega^2\). Équation 3.5 peut donc s’écrire comme:
\[\left\{ \begin{aligned} \ddot p + \omega^2 p & = 0 \\ K(X) & = \omega^2 M(X) \end{aligned}\right. \tag{3.6}\]
3.2.4 Identification des modes
Comme dans le cas discret, le problème aux valeurs propres donne à la fois la forme des modes et les pulsations propres associées.
Pour le cas des vibrations longitudinales (à coefficients constants), ce problème aux valeurs propres est une équation différentielle pour \(X(x)\) :
\[ K(X) = \omega^2 M(X) \quad \Leftrightarrow \quad \omega^2 \rho S X + ES X'' = 0 \quad \Leftrightarrow \quad X'' + \frac{\rho}{E}{\omega^2} X = 0.\]
On introduit les symboles suivants :
\[\left\{\begin{aligned} c & = \sqrt{\frac{E}{\rho}}\\ \gamma & = \frac{\omega}{c} \end{aligned}\right. \tag{3.7}\]
La constante \(c\) est une vitesse: c’est la vitesse de propagation des ondes longitudinales. La Table 3.2 donne sa valeur pour quelques matériaux.
| Matériau | c (m/s) | Matériau | c (m/s) |
|---|---|---|---|
| PVC mou | 80 | Glace | 3200 |
| Sable sec | 10-300 | Hêtre | 3300 |
| Béton | 3100 | Aluminium | 5035 |
| Plomb | 1200 | Verre | 5300 |
| PVC dur | 1700 | Acier | 5600-5900 |
| Granit | 6200 | Péridotite1 | 7700 |
Par analyse dimensionnelle, \(\gamma\) est l’inverse d’une longueur, une “fréquence spatiale” en quelque sorte. C’est le nombre d’onde. La deuxième équation du système (3.7), qui relie fréquence temporelle et spatiale, est appelée relation de dispersion. Dans le cas des vibrations longitudinales, cette équation est linéaire.
On a finalement l’équation suivante pour \(X(x)\):
\[ X'' + \gamma^2 X = 0. \]
La solution générale de cette équation est maintenant familière:
\[ X(x) = A\cos\gamma x + B \sin \gamma x. \tag{3.8}\]
Cette équation spatiale est accompagnée de conditions limites en \(x = 0\) et \(x = L\) (voir Table 3.1), qui déterminent \(A\) et \(B\). On a trois options différentes pour les conditions limites, données par la Figure 3.3.
Cas encastré-encastré
Dans le cas où les deux bords sont libres, on a :
\[\begin{aligned} u(0, t) = 0 & \Leftrightarrow X(0) p(t) = 0 & \Leftrightarrow X(0) = 0\\ u(L, t) = 0 & \Leftrightarrow X(L) p(t) = 0 & \Leftrightarrow X(L) = 0 \end{aligned}\]
En remplaçant par la solution générale (3.8) on obtient:
\[\left\{ \begin{aligned} A & = 0\\ A\cos\gamma L + B\sin\gamma L & = 0 \end{aligned}\right. \qquad \Leftrightarrow \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \cos\gamma L & \sin\gamma L \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}A \\ B\end{pmatrix} = 0 \]
Pour que l’on trouve des solutions non-nulles de ce système linéaire, il faut que la matrice \(2\times 2\) ci-dessus soit singulière, c’est-à-dire:
\[\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ \cos\gamma L & \sin\gamma L \end{vmatrix} = 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad \sin\gamma L = 0 \quad \Rightarrow \quad \gamma_n = \frac{\pi n}{L},\ n = 1,\ldots,\infty\]
Pour que le mode \(X(x)\) soit compatible avec les conditions limites, il faut que la “période spatiale” soit compatible avec la longueur de la barre. Il y a donc un ensemble infini mais dénombrable de modes propres \(X_n\), \(n = 1,\ldots,\infty\).
Remarque
Ce sont les conditions limites qui discrétisent l’ensemble possible des modes propres. En l’absence de bords, tous les \(\gamma \in \mathbb R\) donnent des solutions et les modes propres ne sont pas dénombrables. C’est dans ce cadre que se déroule la seconde partie du cours sur la propagation d’ondes.
Pour notre choix de conditions limites, les modes s’expriment par:
\[ X_n(x) = B_n \sin\gamma_n x = B_n \sin\left(\frac{\pi n }{L} x\right) \]
Remarque
Comme pour le cas discret, tout multiple d’un mode propre \(X_n\) est aussi un mode propre: les constantes \(B_n\) (ou \(A_n\) selon les cas) sont donc arbitraires.
Si les nombres d’ondes \(\gamma_n\) sont dénombrables, alors les pulsations propres \(\omega_n = \gamma_n c\) le sont aussi, et comme pour le cas discret, on peut construire par somme la solution générale du mouvement:
\[ u(x, t) = \sum_{n=1}^\infty X_n(x)p_n(t),\qquad\text{avec}\qquad p_n(t) = C_n\cos\omega_n t + D_n\sin\omega_n t. \]
3.2.5 Orthogonalité des modes
De la même façon que l’on a pour le cas discret :
\[ \begin{aligned} \langle \mathbf X_n, \mathbf{MX}_m \rangle & = 0 & \text{si}\ n\neq m, \\ \langle \mathbf X_n, \mathbf{KX}_m \rangle & = 0 & \text{si}\ n\neq m, \end{aligned}\]
On a pour le cas continu : \[\begin{aligned} \langle X_n, M(X_m) \rangle & = 0 & \text{si}\ n\neq m, \\ \langle X_n, K(X_m) \rangle & = 0 & \text{si}\ n\neq m. \end{aligned}\]
Note
Cette propriété découle de la symétrie des applications linéaires \(M\) et \(K\), voir Note A.1.
Dans le cas des vibrations longitudinales, cela veut dire que :
\[\begin{aligned} \int_0^L \rho S X_n X_m\,\mathrm dx & = 0 & \text{si}\ n\neq m,\\ \int_0^L ES \frac{\partial X_n}{\partial x}\frac{\partial X_m}{\partial x}\,\mathrm dx & = 0 & \text{si}\ n\neq m. \end{aligned}\]
On peut aussi définir des masses et raideurs modales (qui dépendent de la normalisation des modes):
\[\begin{align*} \langle X_n, M(X_n) \rangle & = \tilde{m}_n\\ \langle X_n, K(X_n) \rangle & = \tilde{k}_n \end{align*}\]
Dans le cas des vibrations longitudinales, on a : \[\begin{aligned} \tilde m_n & = \int_0^L \rho S X_n^2\,\mathrm dx,\\ \tilde k_n & = \int_0^L ES \left(\frac{\partial X_n}{\partial x}\right)^2\,\mathrm dx. \end{aligned}\]
L’orthogonalité permet d’exprimer les énergies comme une somme pour chaque mode:
\[\begin{align*} T(\dot u) & = \frac{1}{2}\langle \dot u, M(\dot u)\rangle = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2} \tilde m_n \dot p_n^2\\ U(u) & = \frac{1}{2}\langle u, K(u)\rangle = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2} \tilde k_n p_n^2 \end{align*}\]
3.2.6 Conditions initiales
Les constantes \(C_n\) et \(D_n\) des coordonnées modales \(p_n(t)\) sont à déterminer à partir des conditions initiales:
\[u(x, 0) = u_0(x)\quad\text{et}\quad \dot u(x, 0) = u_1(x).\]
En injectant la solution générale, on a pour la première condition:
\[\begin{aligned} u(x, 0) = \sum_{n=1}^\infty X_n p_n(0) & = u_0\\ \Leftrightarrow M\left(\sum_{n=1}^\infty X_n p_n(0)\right) & = M(u_0) \\ \Leftrightarrow \langle X_m, \sum_{n=1}^\infty M(X_n)p_n(0)\rangle & = \langle X_m, M(u_0) \rangle\\ \Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty \langle X_m, M(X_n) \rangle p_n(0) & = \langle X_m, M(u_0) \rangle\\ \Leftrightarrow \langle X_m, M(X_m) \rangle p_m(0) & = \langle X_m, M(u_0) \rangle\\ \Leftrightarrow p_m(0) & = \frac{\langle X_m, M(u_0)\rangle}{\tilde m_m} \end{aligned}\]
De la même façon, on obtient \(\dot p_m(0)\) à partir de la vitesse initiale \(u_1(x)\):
\[ \dot p_m(0) = \frac{\langle X_m, M(u_1)\rangle}{\tilde m_m} \]
Note
Si \(M(u_0)\) est colinéaire à un mode \(X_i\) et \(M(u_1)\) est colinéaire à un mode \(X_j\), alors \(X_i\) et \(X_j\) sont les deux seuls modes présents dans la réponse libre du système. Cela se déduit du produit scalaire \(\langle X_m, M(u_0)\rangle\).
3.2.7 Mouvement forcé
L’équation non-homogène du mouvement est :
\[ M(\ddot u) + K(u) = Q(x, t). \]
Pour trouver une solution particulière, on applique la même procédure que dans le cas discret: on cherche une solution particulière de la forme \(u(x, t) = \sum X_n(x) p_n(t)\):
\[\begin{align*} M\left(\sum_{n=1}^\infty X_n \ddot p_n\right) + K\left(\sum_{n=1}^\infty X_n p_n\right) & = Q\\ \Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty M(X_n) \ddot p_n + \sum_{n=1}^\infty K(X_n) p_n & = Q\\ \Leftrightarrow \langle X_m , \sum_{n=1}^\infty M(X_n) \ddot p_n + \sum_{n=1}^\infty K(X_n) p_n \rangle & = \langle X_m, Q\rangle\\ \Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty \left(\langle X_m , M(X_n)\rangle \ddot p_n + \langle X_m, K(X_n)\rangle p_n \right) & = \langle X_m, Q\rangle\\ \Leftrightarrow \tilde m_m \ddot p_m + \tilde k_m p_m = \langle X_m, Q\rangle\\ \Leftrightarrow \ddot p_m + \omega_m^2 p_m = \frac{\langle X_m, Q\rangle}{\tilde m_m}\\ \end{align*}\]
On obtient donc un oscillateur harmonique forcé sans amortissement. La solution du régime forcé pour un forçage harmonique \(Q(x, t) = q(x)\cos\Omega t\) s’écrit donc comme:
\[p_m(t) = \frac{\langle X_m, q\rangle / \tilde m_m}{\omega_m^2 - \Omega^2}\cos\Omega t.\]
On peut repasser dans la base “physique” et reconstituer la solution particulière:
\[ u(x, t) = \sum_{m=1}^\infty\frac{\langle X_m, q\rangle / \tilde m_m}{\omega_m^2 - \Omega^2}X_m(x)\cos\Omega t. \]
3.3 Modes pour différentes conditions limites
Avertissement
Les modes de la Figure 3.4 sont dessinés d’une façon qui peut laisser penser que la barre vibre en flexion, ce n’est pas le cas ! Le déplacement des barres est uniquement longitudinal.
Remarques sur les modes longitudinaux
Sur toutes ces formes modales on peut identifier des points caractéristiques :
Les ventres de vibration coincident avec les maxima de vibration. On notera en particulier que les bords libres sont toujours le lieu d’un ventre de vibration
Les noeuds de vibration sont des points de vibration nulle. On verra dans l’étude des mouvements forcés que des actions extérieures appliquées en ces points ne mobilisent pas le mode concerné et que de la même manière le mode concerné ne sera pas "vu" si un capteur y est posé.
Les formes des modes sont fidèles aux conditions aux limites cinématiques
Cas particulier de la barre encastrée-libre soumise à une vibration harmonique du support.
C’est une situation commune de voir des structures soumises à la vibration de leur support. On s’attache dans ce paragraphe à modéliser la réponse d’une barre à cette excitation caractéristique.
On considère le support animé d’un déplacement longitudinal \(u_s(t)\), pour le moment quelconque.
On peut écrire l’équation d’équilibre dans le repère galiléen en considérant que le déplacement total des sections de la barre est la somme du déplacement du support et du déplacement vibratoire : \(u(x, t) + u_s(t)\) . On considère qu’il n’y aucune action extérieure par ailleurs . L’équation du mouvement à considérer est donc l’équation du mouvement libre portant sur le déplacement total : \[\frac {\partial ^2 (u+u_s)}{\partial t^2} - c^2\frac{\partial^2 (u+u_s)}{\partial x^2} =0\Leftrightarrow \frac {\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \frac {\partial^2 u}{\partial x^2}= -\ddot u_s\]
Alternativement, on peut considérer la barre dans son repère propre, qui subit l’accélération \(\ddot u_s(t)\). Du fait de cette accélération, toutes les sections de la barre subissent une force d’inertie opposée à l’accélération, en plus des efforts élastiques internes. L’équilibre dynamique d’une section s’écrit : \[\rho S \frac {\partial^2 u}{\partial t^2} = ES\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\rho S \ddot u_s\Leftrightarrow \frac {\partial^2 u}{\partial t^2}- c^2 \frac {\partial^2 u}{\partial x^2}= -\ddot u_s\]
Pour obtenir la solution forcée, on utilise les modes propres de la poutre encastrée libre : \[u(x,t) = \sum_n \phi_n(t) X_n(x) \quad \text{ et }\quad X_n(x) = \sin\frac{(2n+1)\pi }{2L}x\]
Pour identifier les \(\phi_n(t) (t)\), on résout pour tout \(u_s(t)\) :
\[\ddot \phi_n(t) + \omega_n^2 \phi_n(t) = \frac{-\ddot u_s(t) \rho S}{m_n}\int_0^L \sin(2n+1)\frac{\pi x}{2L}dx \Leftrightarrow \ddot \phi_n(t) + \omega_n^2 \phi_n(t) = \frac{-2L\ddot u_s(t) \rho S}{(2n+1)\pi m_n}\]
Cas particulier de la vibration harmonique du support
Si le mouvement du support est harmonique on a : \[u_s(t) = U_0 \cos\Omega t \quad \text{et} \quad \ddot u_s(t) = -\Omega^2 U_0 \cos\Omega t\] La réponse est harmonique de même fréquence \[\phi_n(t) = \Phi_n(\Omega) \cos\Omega t \quad \text{et} \quad \ddot \phi_n(t) = -\Omega^2 \Phi_n(\Omega) \cos\Omega t\] On en déduit l’amplitude de la contribution de chaque mode au mouvement vibratoire longitudinal de la barre : \[(\omega_n^2 -\Omega^2)\Phi_n(\Omega) = \frac{2LU_0\Omega^2 \rho S }{(2n+1)\pi m_n} \Leftrightarrow\Phi_n(\Omega) = \frac{2LU_0 \rho S}{(2n+1)\pi m_n}\frac{\Omega^2}{\omega_n^2 -\Omega^2}\] avec \[m_n = \rho S\int_0^LX_n^2(x)dx = \rho S\int_0^L\left(\sin\frac{(2n+1)\pi x}{2L}\right)^2dx =\frac{\rho SL}{2}\]
\[\phi_n(t)= \Phi_n(\Omega)\cos \Omega t = \frac{4U_0}{(2n+1)\pi}\frac{\Omega^2}{\omega_n^2 -\Omega^2}\cos\Omega t\]
Le mouvement total de la poutre en vibration longitudinale est : \[u(x,t)= \sum_n \phi_n(t)X_n(x) \Leftrightarrow\] \[u(x,t)= \frac{4U_0}{\pi}\sum_n \frac{1}{2n+1}\frac{\Omega^2}{\omega_n^2 -\Omega^2}\sin\left(\frac{(2n+1)\pi x}{2L}\right)\cos\Omega t\]
Roche magmatique constituant la majeur partie de la croûte terrestre↩︎