18 Ondes acoustiques

18.1 Onde sphérique

Dans ce problème, on cherche à déterminer le champ acoustique émis par une sphère vibrante. On considère pour cela une sphère de rayon $a$ et on suppose qu’elle vibre radialement à la fréquence $f_0$ avec une vitesse $V_0$. On considère un repère placé au centre de la sphère. La sphère vibre dans l’air, milieu supposé homogène et isotrope. On note $\rho_0$ la masse volumique du milieu et $c_0$ la vitesse du son. On rappelle l’expression de l’opérateur laplacien en coordonnées sphériques :

\[\Delta f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin \theta\frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}\]

Sphère pulsante et coordonnées sphériques

Ecrire l’équation aux dérivées partielles satisfaite par la pression au point d’écoute $M$ de coordonnées $(r,\theta,\phi)$.
Montrer que cette équation peut se mettre sous la forme : \[\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 rp_a}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 rp_a}{\partial r^2} = 0\]
Montrer que la solution de cette équation s’écrit : \[p_a(r,t) = \frac{1}{r}f(r-c_0t)+\frac{1}{r}g(r+c_0t)\]
Quelle est la signification physique des deux termes de cette solution ?
La sphère émet une impulsion à $t=0$ d’amplitude A. Tracer qualitativement la pression $p_a(r,t)$ pour $t=0$, $t_1>0$ et $t_2>t_1$.
On suppose que la sphère vibre de façon harmonique. La vitesse de vibration radiale, en notation complexe, s’écrit donc : $V_s(t) = V_0 \exp(-i\omega_0 t)$. En utilisant les conditions limites du problème, montrer que la pression s’écrit : \[p_a(r,t) = \frac{A}{r} \exp(i (k_0 r-\omega_0t))\] avec $A$ une constante que l’on déterminera par la suite.
Identifier la constante $A$.
Le niveau de pression en dB est défini par : \[L = 10 \log\left( \frac{p_\mathrm{moy}^2}{p_\mathrm{ref}^2}\right)\] où $p_\mathrm{ref}= 2\cdot 10^{-5}$ Pa et le terme $p_\mathrm{moy}$ désigne la pression moyenne : \[p_\mathrm{moy} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T p(t)^2 dt}\] avec $T$ la période de l’onde (ou la période d’observation). Calculer la pression moyenne $p_\mathrm{moy}$ à la distance $r$ pour une onde sphérique (on prendra : $p_a(r,t) = \frac{A}{r} \cos(kr-\omega_0 t)$).
Que vaut alors le niveau en dB en fonction de la distance $r$ ?
On donne $A$ = 28 Pa·m, calculer le niveau en dB à 1 m de la source.
Montrer que le niveau en dB peut s’écrire : \[L (r) = L(1\ \mathrm{m}) - 20 \log\left(\frac{r}{1\ \mathrm m}\right)\]
Que vaut la pression en $r$ = 2 m, $r$ = 10 m, $r$ = 10000 m, commenter la pertinence physique de ces résultats.

18.2 Réflexion totale - onde plane inhomogène

Nous avons vu dans le cours, qu’une onde acoustique incidente à l’interface entre 2 fluides (ayant comme impédance $Z_1 = \rho_1 c_1$ et $Z_2 =\rho_2 c_2$) donne une onde réfléchie et une onde transmise. Selon les cas, il existe un angle d’incidence critique $\theta_{cr}$ au-delà duquel, il ne peut pas y avoir d’onde plane transmise (l’angle de transmission n’est alors plus défini) on dit alors qu’il y a réflexion totale. Cela veut-il pour autant dire qu’aucune onde n’est transmise à travers l’interface ? Pour répondre à cette question, nous allons étudier cette situation.

Transmission d’une onde à une incidence critique

Rappeler les lois de Snell-Descartes.
Faire une figure schématisant la réflexion/transmission d’une onde à l’interface entre 2 fluides pour $c_2<c_1$ et $c_2>c_1$. Dans quel cas l’angle $\theta_t$ peut-il ne pas être défini ? Que vaut alors l’angle critique.
D’après les lois de Snell-Descartes, la composante horizontale du nombre d’onde est la même pour les ondes incidentes, réfléchies et transmises. Par conséquent, on a la relation suivante : $k_{tx}=k_{ix}=\frac{\omega}{c_1} \sin \theta_i$, en déduire la composante suivant $z$ du vecteur d’onde $\underline{k}_t$ dans le cas où $\theta_i > \theta_{cr}$.
Montrer que l’onde plane transmise dans le milieu 2 peut s’écrire : \[p_t = TA \exp(z/\delta) \exp[i(k_x x-\omega t)],\] Donner une interprétation physique de $\delta$ et de l’onde obtenue.
Calculer les coefficients $R$ et $T$ au-delà de l’angle critique.
Vérifier alors que $|R|=1$.

Solution onde sphérique

Équation d’onde

L’équation des ondes à 3D s’écrit : \[\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 p_a}{\partial t^2} - \Delta p_a = 0\] On remplace le Laplacien par son expression en coordonnées sphériques on obtient : \[\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 p_a}{\partial t^2} - \left( \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial }{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin \theta\frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2} \right)p_a = 0\] Le problème est à géométrie sphérique (milieu et source), par conséquent les dérivées par rapport à $\theta$ et $\phi$ sont nulles : \[\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 p_a}{\partial t^2} - \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial p_a}{\partial r} \right) = 0\]

Équation factorisée

\[\begin{aligned} \frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 p_a}{\partial t^2} &= \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial p_a}{\partial r} \right) \\ &= \frac{1}{r^2} \left( 2 r \frac{\partial p_a}{\partial r} + r^2 \frac{\partial^2 p_a}{\partial r^2}\right) \end{aligned}\] On remarque que : \[\begin{aligned} \frac{\partial^2 rp_a}{\partial r^2} &= \frac{\partial }{\partial r}\left( \frac{\partial rp_a}{\partial r} \right) \\ &= \frac{\partial }{\partial r}\left( p_a + r \frac{\partial p_a}{\partial r} \right) \\ &= 2 \frac{\partial p_a}{\partial r} + r \frac{\partial^2 p_a}{\partial r^2} \end{aligned}\] On en déduit que : \[\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 rp_a}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 rp_a}{\partial r^2} = 0\]

Solution de l’équation

On remarque que cette équation est l’équation des ondes 1D dont on connaît la solution : \[rp_a = f(r-c_0t) + g(r+c_0t)\] Par conséquent : \[p_a(r,t) = \frac{1}{r}f(r-c_0t)+\frac{1}{r}g(r+c_0t)\]

Interprétation physique

Le premier terme $f(r-c_0t)$ est une onde divergente (qui se propage vers les $r$ croissants). L’amplitude de ce terme décroît en $1/r$.

Le deuxième terme $g(r+c_0t)$ est une onde convergente (qui se propage vers les $r$ décroissants). L’amplitude de ce terme croît en $1/r$. Potentiellement, il y a donc une singularité en $r=0$. En fait, ce problème n’en n’est pas un dans notre cas puisique la sphére est située en $r=0$ avec un rayon $a$.

Impulsion

Dans cette configuration, seul le terme correspondant aux ondes divergente est à considérer dans la solution. La solution est tracée sur la figure suivante :

Vibration de la sphère

On ne considère que les ondes divergentes produites par la sphère : \[p_a(r,t) = \frac{1}{r} f(r-c_0t)\]

En se servant de la conservation de quantité de mouvement à la surface de la sphère, on peut écrire:

\[ \rho_0 \frac{\partial V_s}{\partial t} = -\nabla p(a, t) \cdot \mathbf e_r\]

Le terme à gauche de l’équation donne :

\[ \rho_0 \frac{\partial V_s}{\partial t} = -i\omega_0 \rho_0 V_0 e^{-i\omega_0 t}. \]

Le terme à droite donne

\[ -\nabla p(a, t) \cdot \mathbf e_r = -\frac{\partial p}{\partial r}(a, t) = \frac{1}{a^2}f(a - c_0 t) - \frac{1}{a}f'(a - c_0t)\]

Pour faciliter l’identification de $f$, on pose le changement de variable

\[\begin{aligned} x & = a - c_0 t\\ t & = \frac{a - x}{c_0}\end{aligned}\]

On a donc l’équation suivante:

\[\begin{aligned} -i \omega_0 \rho_0 V_0 e^{-i \frac{\omega_0}{c_0} (a - x)} & = \frac{1}{a^2}(f(x) - af'(x))\\ \Leftrightarrow af'(x) - f(x) & = i a^2 \omega_0 \rho_0 V_0 e^{-ik_0 a} e^{ik_0 x} \end{aligned}\]

On en déduit une solution particulière de la forme $f(x) = Ae^{ik_0 x}$, et

\[p(r, t) = \frac{A}{r}e^{i (k_0 r - \omega_0 t)}\]

Identification de la constante

En remplaçant $f(x) = Ae^{ik_0 x}$ dans l’équation ordinaire, on trouve :

\[ A = \frac{i a^2 \omega_0 \rho_0 V_0 e^{-ik_0 a}}{ia k_0 - 1}\]

Pression moyenne

On utilise l’écriture de la pression sous forme réelle : $p_a(r,t) = Re(A/r exp(i(kr- \omega_0 t))$ obligatoire pour un calcul propre.

\[\begin{aligned} p_\mathrm{moy} &= \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T p(t)^2 dt} \\ &= \sqrt{\frac{A^2}{Tr^2} \int_0^T \cos(kr-\omega_0 t)^2 dt} \\ &= \sqrt{\frac{A^2}{Tr^2} \int_0^T \frac{1+\cos(2(kr-\omega_0t))}{2} dt} \\ &= \frac{A}{\sqrt{2}r} \end{aligned}\]

Intensité sonore

On reporte la solution de la question précédente dans la définition des dB: \[L = 20 \log \left( \frac{A}{\sqrt{2}r p_{ref}} \right)\]

\[L(r=1m) = 20 \log \left( \frac{28\mathrm {Pa}\cdot \mathrm m}{\sqrt{2} \times 1\ \mathrm m \times 2\cdot 10^{-5}\mathrm{Pa}} \right)\approx 20 \log \left( \frac{28}{2.8\cdot \text{ }10^{-5}} \right)=20 \log \left(10^{6} \right)=120 dB\]

En utilisant les propriétés sur les logs, on trouve directement :

\[\begin{aligned} L &= 20 \log \left( \frac{A}{\sqrt{2}r p_\mathrm{ref}} \right) \\ &= 20 \log \left( \frac{A}{\sqrt{2} p_\mathrm{ref}\times 1\ \mathrm m} \cdot\frac{1\ \mathrm m}{r} \right) \\ & = L(1\ \mathrm m) + 20\log\left(\frac{1\ \mathrm m}{r}\right)\\ &= L(1\ \mathrm m) - 20 \log\left(\frac{r}{1\ \mathrm m}\right) \end{aligned}\]

Pour ces applications numériques, il suffit de se rappeler que $\log(2) \approx 0.3$ : \[L(2\ \mathrm m) = 120-6 = 114 dB\] \[L(10\ \mathrm m) = 120-20 = 100 dB\] \[L(10^5\ \mathrm m) = 120-80 = 40 dB\]

On constate qu’on ne percevra plus la source à une distance de $10^6$ m, ce qui est un peu loin. Plusieurs éléments n’ont pas étaient pris en compte dans notre modèle simplifié tel que l’absorption.

Solution réflexion totale

Snell-Descartes

Les angles de l’onde incidente et de l’onde réfléchie sont égaux : \[\theta_i = \theta_r = \theta\] par ailleurs : \[\frac{\sin \theta}{c_1} = \frac{\sin \theta_t}{c_2}\]

Angle critique

L’angle $\theta_t$ peut ne pas être défini dans le cas $c_2>c_1$. On appelle angle critique $\theta_{cr}$, l’angle d’incidence tel que l’angle de l’onde transmise soit égal à $\pi/2$ : $\theta_i=\theta_{cr}$ si $\theta_t = \pi/2$ dans ce cas l’angle critique vaut : \[\theta_{cr} = \arcsin{\left( \frac{c_1}{c_2} \right)}\]

On a donc une onde transmise seulement si $\theta_i < \theta_{cr}$.

Vecteur d’onde selon z

Les relations de dispersion dans les milieux 1 et 2 sont $\frac{\omega}{k_1} = c_1$ et $\frac{\omega}{k_2} = c_2$. Par ailleurs : $\underline{k}= k_x \underline{e}_x + k_z \underline{e}_z$. On en déduit : \[\label{eq:k2} k_{tz}^2=\frac{\omega^2}{c_2^2} - \frac{\omega^2}{c_1^2} \sin^2 \theta_i=\frac{\omega^2}{c_2^2}\left(1 - \frac{c_2^2}{c_1^2} \sin^2 \theta_i\right)\]

Dans le cas où $\theta_i>\theta_{cr}$, alors : \[\frac{c_2}{c_1} \sin \theta_i >1,\] ce qui entraîne d’après la relation [eq:k2] que le carré de la composante suivant $z$ du vecteur d’onde de l’onde transmise est négatif : $k_{tz}^2<0$, c’est à dire que la composante verticale du vecteur $\underline{k}_t$ est imaginaire pur. Il existe deux solutions admissibles : \[k_{tz} =\pm i \frac{\omega}{c_2}\sqrt{\frac{c_2^2}{c_1^2}\sin^2 \theta_i -1} = \pm i \alpha,\]

Onde évanescente

La pression acoustique transmise est : \[p_t = TA \exp[\mp \alpha z] \exp[i(k_x x-\omega t)].\]

La première solution (signe "-") est exponentiellement croissante lorsque l’on pénètre dans le milieu 2 ($z\rightarrow -\infty$), alors que la seconde (signe "+") est exponentiellement décroissante. Seule cette dernière est physiquement acceptable. On peut encore l’écrire : \[p_t = TA \exp(z/\delta) \exp[i(k_x x-\omega t)],\] où $\delta$ a la dimension d’une distance : c’est la distance caractéristique sur laquelle l’onde décroît exponentiellement : \[\delta=\frac{c_2}{\omega}\left( \frac{\sin^2 \theta_i}{\sin^2 \theta_{cr}} -1 \right)^{-1/2}.\]

Ce type d’onde est appelé onde plane inhomogène.

Par opposition à l’onde plane progressive, l’onde plane inhomogène se propage dans la direction $Ox$ , avec une amplitude exponentiellement décroissante dans la direction $z<0$

L’onde est évanescente dans la direction verticale.

L’influence de la perturbation acoustique créée par une telle onde est donc restreinte au voisinage de l’interface, sur une épaisseur de l’ordre de $\delta$.

Coefficients de réflexion et transmission

Le calcul est analogue à celui effectué dans les autres cas, mais il faut utiliser les expressions qui font intervenir les vecteurs d’onde à la place de celles faisant intervenir les angles. Les vecteurs d’ondes sont : \[\begin{array}{ccc} k_{iz}&=-\omega/c_1 \cos \theta_i, \\ k_{tz}&=i \alpha. \end{array}\] Par conséquent, les coefficients de réflexion et de transmission sont : \[R=\frac{\cos \theta_i + i \frac{Z_1}{Z_2}\frac{c_2}{\omega}\alpha}{\cos \theta_i -i \frac{Z_1}{Z_2}\frac{c_2}{\omega}\alpha},\]

\[T=\frac{2\cos \theta_i}{\cos \theta_i -i \frac{Z_1}{Z_2}\frac{c_2}{\omega}\alpha}.\]

# Ondes acoustiques ## Onde sphérique Dans ce problème, on cherche à déterminer le champ acoustique émis par une sphère vibrante. On considère pour cela une sphère de rayon $a$ et on suppose qu'elle vibre radialement à la fréquence $f_0$ avec une vitesse $V_0$. On considère un repère placé au centre de la sphère. La sphère vibre dans l'air, milieu supposé homogène et isotrope. On note $\rho_0$ la masse volumique du milieu et $c_0$ la vitesse du son. On rappelle l'expression de l'opérateur laplacien en coordonnées sphériques : $$\Delta f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin \theta\frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}$$ ![Sphère pulsante et coordonnées sphériques](Figures/sphere_pulsante.png) 1. Ecrire l'équation aux dérivées partielles satisfaite par la pression au point d'écoute $M$ de coordonnées $(r,\theta,\phi)$. 2. Montrer que cette équation peut se mettre sous la forme : $$\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 rp_a}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 rp_a}{\partial r^2} = 0$$ 3. Montrer que la solution de cette équation s'écrit : $$p_a(r,t) = \frac{1}{r}f(r-c_0t)+\frac{1}{r}g(r+c_0t)$$ 4. Quelle est la signification physique des deux termes de cette solution ? 5. La sphère émet une impulsion à $t=0$ d'amplitude A. Tracer qualitativement la pression $p_a(r,t)$ pour $t=0$, $t_1>0$ et $t_2>t_1$. 6. On suppose que la sphère vibre de façon harmonique. La vitesse de vibration radiale, en notation complexe, s'écrit donc : $V_s(t) = V_0 \exp(-i\omega_0 t)$. En utilisant les conditions limites du problème, montrer que la pression s'écrit : $$p_a(r,t) = \frac{A}{r} \exp(i (k_0 r-\omega_0t))$$ avec $A$ une constante que l'on déterminera par la suite. 7. Identifier la constante $A$. 8. Le niveau de pression en dB est défini par : $$L = 10 \log\left( \frac{p_\mathrm{moy}^2}{p_\mathrm{ref}^2}\right)$$ où $p_\mathrm{ref}= 2\cdot 10^{-5}$ Pa et le terme $p_\mathrm{moy}$ désigne la pression moyenne : $$p_\mathrm{moy} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T p(t)^2 dt}$$ avec $T$ la période de l'onde (ou la période d'observation). Calculer la pression moyenne $p_\mathrm{moy}$ à la distance $r$ pour une onde sphérique (on prendra : $p_a(r,t) = \frac{A}{r} \cos(kr-\omega_0 t)$). 9. Que vaut alors le niveau en dB en fonction de la distance $r$ ? 10. On donne $A$ = 28 Pa·m, calculer le niveau en dB à 1 m de la source. 11. Montrer que le niveau en dB peut s'écrire : $$L (r) = L(1\ \mathrm{m}) - 20 \log\left(\frac{r}{1\ \mathrm m}\right)$$ 12. Que vaut la pression en $r$ = 2 m, $r$ = 10 m, $r$ = 10000 m, commenter la pertinence physique de ces résultats. ## Réflexion totale - onde plane inhomogène Nous avons vu dans le cours, qu'une onde acoustique incidente à l'interface entre 2 fluides (ayant comme impédance $Z_1 = \rho_1 c_1$ et $Z_2 =\rho_2 c_2$) donne une onde réfléchie et une onde transmise. Selon les cas, il existe un angle d'incidence critique $\theta_{cr}$ au-delà duquel, il ne peut pas y avoir d'onde plane transmise (l'angle de transmission n'est alors plus défini) on dit alors qu'il y a réflexion totale. Cela veut-il pour autant dire qu'aucune onde n'est transmise à travers l'interface ? Pour répondre à cette question, nous allons étudier cette situation. ![Transmission d'une onde à une incidence critique](Figures/oa_reftot.png) 1. Rappeler les lois de Snell-Descartes. 2. Faire une figure schématisant la réflexion/transmission d'une onde à l'interface entre 2 fluides pour $c_2<c_1$ et $c_2>c_1$. Dans quel cas l'angle $\theta_t$ peut-il ne pas être défini ? Que vaut alors l'angle critique. 3. D'après les lois de Snell-Descartes, la composante horizontale du nombre d'onde est la même pour les ondes incidentes, réfléchies et transmises. Par conséquent, on a la relation suivante : $k_{tx}=k_{ix}=\frac{\omega}{c_1} \sin \theta_i$, en déduire la composante suivant $z$ du vecteur d'onde $\underline{k}_t$ dans le cas où $\theta_i > \theta_{cr}$. 4. Montrer que l'onde plane transmise dans le milieu 2 peut s'écrire : $$p_t = TA \exp(z/\delta) \exp[i(k_x x-\omega t)],$$ Donner une interprétation physique de $\delta$ et de l'onde obtenue. 6. Calculer les coefficients $R$ et $T$ au-delà de l'angle critique. 7. Vérifier alors que $|R|=1$. ------------------------------------ ::: {.callout-tip title="Solution onde sphérique" collapse=true} #### Équation d'onde L'équation des ondes à 3D s'écrit : $$\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 p_a}{\partial t^2} - \Delta p_a = 0$$ On remplace le Laplacien par son expression en coordonnées sphériques on obtient : $$\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 p_a}{\partial t^2} - \left( \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial }{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin \theta\frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2} \right)p_a = 0$$ Le problème est à géométrie sphérique (milieu et source), par conséquent les dérivées par rapport à $\theta$ et $\phi$ sont nulles : $$\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 p_a}{\partial t^2} - \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial p_a}{\partial r} \right) = 0$$ ---------------------------- #### Équation factorisée $$\begin{aligned} \frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 p_a}{\partial t^2} &= \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial p_a}{\partial r} \right) \\ &= \frac{1}{r^2} \left( 2 r \frac{\partial p_a}{\partial r} + r^2 \frac{\partial^2 p_a}{\partial r^2}\right) \end{aligned}$$ On remarque que : $$\begin{aligned} \frac{\partial^2 rp_a}{\partial r^2} &= \frac{\partial }{\partial r}\left( \frac{\partial rp_a}{\partial r} \right) \\ &= \frac{\partial }{\partial r}\left( p_a + r \frac{\partial p_a}{\partial r} \right) \\ &= 2 \frac{\partial p_a}{\partial r} + r \frac{\partial^2 p_a}{\partial r^2} \end{aligned}$$ On en déduit que : $$\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 rp_a}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 rp_a}{\partial r^2} = 0$$ ---------------------------- #### Solution de l'équation On remarque que cette équation est l'équation des ondes 1D dont on connaît la solution : $$rp_a = f(r-c_0t) + g(r+c_0t)$$ Par conséquent : $$p_a(r,t) = \frac{1}{r}f(r-c_0t)+\frac{1}{r}g(r+c_0t)$$ ---------------------------- #### Interprétation physique Le premier terme $f(r-c_0t)$ est une onde divergente (qui se propage vers les $r$ croissants). L'amplitude de ce terme décroît en $1/r$. Le deuxième terme $g(r+c_0t)$ est une onde convergente (qui se propage vers les $r$ décroissants). L'amplitude de ce terme croît en $1/r$. Potentiellement, il y a donc une singularité en $r=0$. En fait, ce problème n'en n'est pas un dans notre cas puisique la sphére est située en $r=0$ avec un rayon $a$. ----------------------------- #### Impulsion Dans cette configuration, seul le terme correspondant aux ondes divergente est à considérer dans la solution. La solution est tracée sur la figure suivante : ![](Figures/profil_OS.png){width="50%"} ------------------------------- #### Vibration de la sphère On ne considère que les ondes divergentes produites par la sphère : $$p_a(r,t) = \frac{1}{r} f(r-c_0t)$$ En se servant de la conservation de quantité de mouvement à la surface de la sphère, on peut écrire: $$ \rho_0 \frac{\partial V_s}{\partial t} = -\nabla p(a, t) \cdot \mathbf e_r$$ Le terme à gauche de l'équation donne : $$ \rho_0 \frac{\partial V_s}{\partial t} = -i\omega_0 \rho_0 V_0 e^{-i\omega_0 t}. $$ Le terme à droite donne $$ -\nabla p(a, t) \cdot \mathbf e_r = -\frac{\partial p}{\partial r}(a, t) = \frac{1}{a^2}f(a - c_0 t) - \frac{1}{a}f'(a - c_0t)$$ Pour faciliter l'identification de $f$, on pose le changement de variable $$\begin{aligned} x & = a - c_0 t\\ t & = \frac{a - x}{c_0}\end{aligned}$$ On a donc l'équation suivante: $$\begin{aligned} -i \omega_0 \rho_0 V_0 e^{-i \frac{\omega_0}{c_0} (a - x)} & = \frac{1}{a^2}(f(x) - af'(x))\\ \Leftrightarrow af'(x) - f(x) & = i a^2 \omega_0 \rho_0 V_0 e^{-ik_0 a} e^{ik_0 x} \end{aligned}$$ On en déduit une solution particulière de la forme $f(x) = Ae^{ik_0 x}$, et $$p(r, t) = \frac{A}{r}e^{i (k_0 r - \omega_0 t)}$$ --------------------------- #### Identification de la constante En remplaçant $f(x) = Ae^{ik_0 x}$ dans l'équation ordinaire, on trouve : $$ A = \frac{i a^2 \omega_0 \rho_0 V_0 e^{-ik_0 a}}{ia k_0 - 1}$$ ---------------------------------- #### Pression moyenne On utilise l'écriture de la pression sous forme réelle : $p_a(r,t) = Re(A/r exp(i(kr- \omega_0 t))$ obligatoire pour un calcul propre. $$\begin{aligned} p_\mathrm{moy} &= \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T p(t)^2 dt} \\ &= \sqrt{\frac{A^2}{Tr^2} \int_0^T \cos(kr-\omega_0 t)^2 dt} \\ &= \sqrt{\frac{A^2}{Tr^2} \int_0^T \frac{1+\cos(2(kr-\omega_0t))}{2} dt} \\ &= \frac{A}{\sqrt{2}r} \end{aligned}$$ ----------------------------------- #### Intensité sonore On reporte la solution de la question précédente dans la définition des dB: $$L = 20 \log \left( \frac{A}{\sqrt{2}r p_{ref}} \right)$$ $$L(r=1m) = 20 \log \left( \frac{28\mathrm {Pa}\cdot \mathrm m}{\sqrt{2} \times 1\ \mathrm m \times 2\cdot 10^{-5}\mathrm{Pa}} \right)\approx 20 \log \left( \frac{28}{2.8\cdot \text{ }10^{-5}} \right)=20 \log \left(10^{6} \right)=120 dB$$ En utilisant les propriétés sur les logs, on trouve directement : $$\begin{aligned} L &= 20 \log \left( \frac{A}{\sqrt{2}r p_\mathrm{ref}} \right) \\ &= 20 \log \left( \frac{A}{\sqrt{2} p_\mathrm{ref}\times 1\ \mathrm m} \cdot\frac{1\ \mathrm m}{r} \right) \\ & = L(1\ \mathrm m) + 20\log\left(\frac{1\ \mathrm m}{r}\right)\\ &= L(1\ \mathrm m) - 20 \log\left(\frac{r}{1\ \mathrm m}\right) \end{aligned}$$ Pour ces applications numériques, il suffit de se rappeler que $\log(2) \approx 0.3$ : $$L(2\ \mathrm m) = 120-6 = 114 dB$$ $$L(10\ \mathrm m) = 120-20 = 100 dB$$ $$L(10^5\ \mathrm m) = 120-80 = 40 dB$$ On constate qu'on ne percevra plus la source à une distance de $10^6$ m, ce qui est un peu loin. Plusieurs éléments n'ont pas étaient pris en compte dans notre modèle simplifié tel que l'absorption. ::: ::: {.callout-tip title="Solution réflexion totale" collapse=true} #### Snell-Descartes Les angles de l'onde incidente et de l'onde réfléchie sont égaux : $$\theta_i = \theta_r = \theta$$ par ailleurs : $$\frac{\sin \theta}{c_1} = \frac{\sin \theta_t}{c_2}$$ ---------------------- #### Angle critique ![](Figures/oa_ref_transc1c2.png){width="80%"} ![](Figures/InterfaceC1supC2.png){width="\\textwidth"} ![](Figures/InterfaceC1infC2.png){width="\\textwidth"} L'angle $\theta_t$ peut ne pas être défini dans le cas $c_2>c_1$. On appelle angle critique $\theta_{cr}$, l'angle d'incidence tel que l'angle de l'onde transmise soit égal à $\pi/2$ : $\theta_i=\theta_{cr}$ si $\theta_t = \pi/2$ dans ce cas l'angle critique vaut : $$\theta_{cr} = \arcsin{\left( \frac{c_1}{c_2} \right)}$$ On a donc une onde transmise seulement si $\theta_i < \theta_{cr}$. -------------------------------------- #### Vecteur d'onde selon z Les relations de dispersion dans les milieux 1 et 2 sont $\frac{\omega}{k_1} = c_1$ et $\frac{\omega}{k_2} = c_2$. Par ailleurs : $\underline{k}= k_x \underline{e}_x + k_z \underline{e}_z$. On en déduit : $$\label{eq:k2} k_{tz}^2=\frac{\omega^2}{c_2^2} - \frac{\omega^2}{c_1^2} \sin^2 \theta_i=\frac{\omega^2}{c_2^2}\left(1 - \frac{c_2^2}{c_1^2} \sin^2 \theta_i\right)$$ Dans le cas où $\theta_i>\theta_{cr}$, alors : $$\frac{c_2}{c_1} \sin \theta_i >1,$$ ce qui entraîne d'après la relation [\[eq:k2\]](#eq:k2){reference-type="ref" reference="eq:k2"} que le carré de la composante suivant $z$ du vecteur d'onde de l'onde transmise est négatif : $k_{tz}^2<0$, c'est à dire que la composante verticale du vecteur $\underline{k}_t$ est imaginaire pur. Il existe deux solutions admissibles : $$k_{tz} =\pm i \frac{\omega}{c_2}\sqrt{\frac{c_2^2}{c_1^2}\sin^2 \theta_i -1} = \pm i \alpha,$$ -------------------------------------- #### Onde évanescente La pression acoustique transmise est : $$p_t = TA \exp[\mp \alpha z] \exp[i(k_x x-\omega t)].$$ La première solution (signe \"-\") est exponentiellement croissante lorsque l'on pénètre dans le milieu 2 ($z\rightarrow -\infty$), alors que la seconde (signe \"+\") est exponentiellement décroissante. Seule cette dernière est physiquement acceptable. On peut encore l'écrire : $$p_t = TA \exp(z/\delta) \exp[i(k_x x-\omega t)],$$ où $\delta$ a la dimension d'une distance : c'est la distance caractéristique sur laquelle l'onde décroît exponentiellement : $$\delta=\frac{c_2}{\omega}\left( \frac{\sin^2 \theta_i}{\sin^2 \theta_{cr}} -1 \right)^{-1/2}.$$ Ce type d'onde est appelé onde plane inhomogène. ![](Figures/InterfaceC1supCcr.png){width="\\textwidth"} Par opposition à l'onde plane progressive, l'onde plane inhomogène se propage dans la direction $Ox$ , avec une amplitude exponentiellement décroissante dans la direction $z<0$ L'onde est évanescente dans la direction verticale. L'influence de la perturbation acoustique créée par une telle onde est donc restreinte au voisinage de l'interface, sur une épaisseur de l'ordre de $\delta$. -------------------------- #### Coefficients de réflexion et transmission Le calcul est analogue à celui effectué dans les autres cas, mais il faut utiliser les expressions qui font intervenir les vecteurs d'onde à la place de celles faisant intervenir les angles. Les vecteurs d'ondes sont : $$\begin{array}{ccc} k_{iz}&=-\omega/c_1 \cos \theta_i, \\ k_{tz}&=i \alpha. \end{array}$$ Par conséquent, les coefficients de réflexion et de transmission sont : $$R=\frac{\cos \theta_i + i \frac{Z_1}{Z_2}\frac{c_2}{\omega}\alpha}{\cos \theta_i -i \frac{Z_1}{Z_2}\frac{c_2}{\omega}\alpha},$$ $$T=\frac{2\cos \theta_i}{\cos \theta_i -i \frac{Z_1}{Z_2}\frac{c_2}{\omega}\alpha}.$$ :::