$ \renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \renewcommand{\d}{\,\mathrm{d}} \renewcommand{\K}{\mathbf{K}} \renewcommand{\M}{\mathbf{M}} \renewcommand{\C}{\mathbf{C}} \renewcommand{\x}{\vec{x}} \renewcommand{\p}{\vec{p}} \renewcommand{\X}{\mathbf{X}} \renewcommand{\Q}{\vec{Q}} \renewcommand{\Z}{\vec{Z}} $

8 Vibrations d’un train à trois wagons

On étudie le modèle conservatif décrit par la figure suivante. Dans ce problème, les déplacements sont seulement horizontaux et la pesanteur n’est pas prise en compte. On note $x_1$, $x_2$, $x_3$ les positions respectives des 3 mobiles par rapport à leur position d’équilibre statique.

Train à 3 wagons

8.1 Régime d’oscillations libres

Écrire les énergies cinétique $T$ et potentielle $U$.
Identifier les matrices de raideur $\K$ et d’inertie $\M$.
Déterminer les pulsations propres du système.
Calculer les vecteurs propres $\textbf{X}_i$. Représenter et discuter leur forme.
Déterminer la matrice modale $\X$.
En passant par la base modale, déterminer la forme générale des mouvements libres des 3 wagons
La voiture 1 est en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse $v_0 = 1$ m/s et roule vers les autres voitures immobiles. À l’instant $t=0$, le contact se produit et les trois voitures restent accouplées. Donner les 6 équations qui permettent d’obtenir les valeurs numériques des amplitudes des modes.

8.2 Régime d’oscillations forcées

Le train est désormais en roulement à la vitesse constante $v$. L’un des essieux de la voiture deux est grippé de telle sorte qu’il en résulte une force harmonique longitudinale d’amplitude $F_2$ et de pulsation $\Omega$ telle que $\Omega = v/R$, où $R$ est le rayon des roues.

Écrire le système matriciel qui détermine les amplitudes $\textbf X_1$, $\textbf X_2$, $\textbf X_3$ des mouvements des 3 voitures.
Déterminer l’expression de la fonction de transfert $H_2 = X_2/F_2$ en fonction du paramètre sans dimension $\beta=\Omega/\omega_0$. En déduire deux vitesses de roulement caractéristiques du mouvement de 2.

Solution

Énergies

L’énergie potentielle a pour expression \[ U = \dfrac{1}{2}k (x_2 - x_1)^2 + \dfrac{1}{2}k (x_3 - x_2)^2 = \dfrac{1}{2}kx_1^2 + kx_2^2 + \dfrac{1}{2}kx_3^2 - kx_1x_2 - kx_2x_3.\] L’énergie cinétique a pour expression \[T = \dfrac{1}{2} m\dot x_1^2 + \dfrac{1}{2} m\dot x_2^2 + \dfrac{1}{2} m\dot x_3^2.\]

Matrices

Pour trouver les matrices de raideur et de masse, on peut calculer la dérivée première des énergies potentielle et cinétique par rapport aux coordonnées généralisées $\mathbf x = (x_1, x_2, x_3)$. On a:

\[ \begin{aligned} \frac{\partial T}{\partial \dot{\mathbf x}} & = \begin{pmatrix}m \dot x_1 \\ m\dot x_2 \\ m\dot x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \\ 0 & 0 & m\end{pmatrix} \cdot \dot{\mathbf x} = \mathbf M\cdot \dot{\mathbf x} \\ \frac{\partial U}{\partial \mathbf x} & = \begin{pmatrix} k(x_2 - x_1)(-1) \\ k(x_2 - x_1) + k(x_3 - x_2)(-1) \\ k(x_3 - x_2)\end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} kx_1 -kx_2 \\ -kx_1 + 2kx_2 - kx_3 \\ -kx_2 + kx_3\end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} k & -k & 0 \\ -k & 2k & -k \\ 0 & -k & k\end{pmatrix} \cdot \mathbf x = \mathbf K\cdot \mathbf x \end{aligned}\]

Pulsations propres

La dynamique du système est gouvernée par le système d’équations suivant: \[\M \begin{pmatrix} \ddot x_1 \\ \ddot x_2 \\ \ddot x_3 \end{pmatrix} + \K \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\]

On cherche une solution sous la forme: \[ \mathbf x(t) = \mathbf X p(t). \]

Pour que $\mathbf x(t)$ soit solution du système, il faut que $p(t)$ et $\mathbf X$ soient solution de (voir démonstration Section 2.4.1):

\[\left\{ \begin{aligned} \ddot p + \omega^2 p & = 0 \\ \mathbf {KX} & = \omega^2 \mathbf{MX} \end{aligned}\right.\]

La deuxième équation est un problème aux valeurs propres généralisé qui permet de trouver les pulsations propres. On pose $\lambda = \omega^2$. Pour trouver les valeurs propres, on cherche les racines du polynôme caractéristique:

\[ \begin{aligned} \mathrm{det}(\mathbf K - \lambda \mathbf M) & = 0 \\ \Leftrightarrow\begin{vmatrix} k - \lambda m & -k & 0 \\ -k & 2k - \lambda m & -k \\ 0 & -k & k - \lambda m \end{vmatrix} & = 0 \\ \Leftrightarrow (k - \lambda m)^2(2k - \lambda m) - 2k^2(k - \lambda m) & = 0\\ \Leftrightarrow(k - \lambda m)\left[ (k - \lambda m)(2k - \lambda m) - 2k^2\right] & = 0 \end{aligned} \]

On a une première valeur propre avec $k - \lambda m = 0$. La seconde partie de l’équation donne, si on développe:

\[ \begin{aligned} 2k^2 - 3\lambda km + \lambda^2 m^2 - 2k^2 & = 0 \\ \Leftrightarrow \lambda (\lambda m - 3k) & = 0 \end{aligned} \]

Ce qui donne les deux autres racines. On a donc:

\[\omega_1 = 0,\quad \omega_2 = \sqrt{\frac{k}{m}},\quad \omega_3 = \sqrt{3\frac{k}{m}}\]

Vecteurs propres des modes

On cherche les vecteurs propres $\mathbf X_i$ tels que:

\[ \mathbf{KX}_i = \omega_i^2 \mathbf {MX}_i\]

Les vecteurs propres se calculent pour chaque valeur propre à partir de l’expression \[\begin{pmatrix} k- m\omega_i^2 & -k & 0 \\ -k & 2k- m\omega_i^2 & -k \\ 0 & -k & k- m\omega_i^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{1i} \\ X_{2i} \\ X_{3i} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\] On obtient donc pour $\omega_1$ \[\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{11} \\ X_{21} \\ X_{31} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] d’où \[X_{11} = X_{21} = X_{31}\quad\text{et}\quad\textbf X_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.\] On obtient donc pour $\omega_2$ \[\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{12} \\ X_{22} \\ X_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] d’où \[X_{22} = 0, X_{12} = -X_{32}\quad\text{et}\quad\textbf X_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.\] On obtient donc pour $\omega_3$ \[\begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{13} \\ X_{23} \\ X_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] d’où \[2X_{13}=-X_{23}, 2X_{33}=-X_{23}\quad\text{et}\quad\textbf X_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}.\]

Matrice modale

La matrice modale est composée des vecteurs propres en colonnes et a pour expression \[\X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.\]

Coordonnées modales

Pour que $\mathbf x(t) = \mathbf {Xp}(t)$ soit solution, il faut que les coordonnées modales $p_i(t)$ soient solution de :

\[ \ddot p_i + \omega_i^2 p_i = 0\]

Pour le mode $i = 1$ on a $\omega_i = 0$, donc l’équation est $\ddot p_1 = 0$, que l’on résout en intégrant deux fois. La solution pour les 3 modes est alors:

\[ \left\{ \begin{aligned} p_1(t) & = A_1 + B_1 t \\ p_2(t) & = A_2\cos\omega_2 t + B_2\sin \omega_2 t \\ p_3(t) & = A_3\cos \omega_3 t + B_3 \sin \omega_3 t \end{aligned}\right. \]

On remarque que $p_1$ n’est pas un mouvement de vibration, ce qui est logique puisque $\omega_1 = 0$ et $\mathbf X_1$ est un mouvement de corps rigide. Avec la matrice modale, on peut écrire la solution générale:

\[ \mathbf x(t) = \mathbf{Xp}(t) = \begin{pmatrix} p_1(t) + p_2(t) + p_3(t)\\ p_1(t) - 2p_3(t)\\ p_1(t) - p_2(t) + p_3(t) \end{pmatrix} \]

Conditions initiales

Les conditions initiales pour les déplacements sont \[\x(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \text{et} \qquad \dot{\x} (0) = \begin{pmatrix} v_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \]

On a donc:

\[ \mathbf{Xp}(0) = 0\quad\text{et}\quad \mathbf {X\dot p}(0) = \mathbf v_0 \]

Comme la matrice modale $\mathbf X$ est inversible, on a $\mathbf p(0) = 0$ et donc $A_i = 0$ pour les trois modes. Pour la seconde condition, on note $\mathbf{M}_p = \mathbf{X^T M X}$ la matrice des masses modale, et on a:

\[\begin{aligned} \mathbf{X\dot p}(0) & = \mathbf v_0\\ \Leftrightarrow\mathbf{X^T MX\dot p}(0) & = \mathbf{X^T M v}_0\\ \Leftrightarrow\mathbf{M}_p\mathbf{\dot p}(0) & = \mathbf{X^T M v}_0\\ \Leftrightarrow\mathbf{\dot p}(0) & = \mathbf{M}_p^{-1}\mathbf{X^T M v}_0\\ \end{aligned} \]

La matrice des masses modales est:

\[ \mathbf{M}_p = m\mathbf{X^T X} = m\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{pmatrix} \]

On a aussi $\mathbf{X^T M v}_0 = m v_0 \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$ et:

\[ \begin{aligned} \dot p_1(0) & = B_1\\ \dot p_2(0) & = B_2\omega_2\\ \dot p_3(0) & = B_3\omega_3\end{aligned} \]

Donc

\[ \begin{aligned} B_1 & = \frac{v_0}{3}\\ B_2 & = \frac{v_0}{2\omega_2} \\ B_3 & = \frac{v_0}{6\omega_3} \end{aligned} \]

Forçage

Le travail virtuel a pour expression : \[\delta W = \vec{F}(t)\cdot\delta \mathbf{x} = F_2\sin(\Omega t) \delta x_2,\] d’où \[\Q = \begin{pmatrix} 0 \\ F_2\sin(\Omega t) \\ 0 \end{pmatrix}\] La matrice principale d’inertie a pour expression \[\M_p = \X^t \M \X = \begin{pmatrix} 3m & 0 & 0 \\ 0 & 2m & 0 \\ 0 & 0 & 6m \end{pmatrix}.\] La matrice modale de raideur a pour expression \[\K_p = \X^t \K \X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2k & 0 \\ 0 & 0 & 18k \end{pmatrix}.\] La matrice des pulsations propres a pour expression \[\Delta = \M^{-1} \K = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \omega_0^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\omega_0^2 \end{pmatrix},\] avec $\omega_0^2 = k/m$. Le vecteur $\p$ a donc pour expression \[\begin{aligned} \p & = (\Delta - \Omega^2 \mathbf I)^{-1} \M_p^{-1} \X^t \Q \\ & = \begin{pmatrix} \dfrac{-1}{\Omega^2} & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{\omega_0^2 - \Omega^2} & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{3\omega_0^2 - \Omega^2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3m} & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2m} & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{6m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ F_2\sin(\Omega t) \\ 0 \end{pmatrix} \\ & = - \dfrac{F_2\sin (\Omega t)}{3m} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\Omega^2} \\ 0 \\ \dfrac{1}{3\omega_0^2 - \Omega^2} \end{pmatrix} \end{aligned}\] Le vecteur $\x$ a donc pour expression \[\x = \X \p = - \dfrac{F_2\sin (\Omega t)}{3m} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\Omega^2} \\ 0 \\ \dfrac{1}{3\omega_0^2 - \Omega^2} \end{pmatrix} = - \dfrac{F_2\sin (\Omega t)}{m\Omega^2(3\omega_0^2 - \Omega^2)} \begin{pmatrix} \omega_0^2 \\ \omega_0^2 - \Omega^2 \\ \omega_0^2 \end{pmatrix}.\]

Fonction de transfert

La fonction de transfert est donc : \[H_2(\Omega) = \dfrac{X_2}{F_2} = \dfrac{1}{k} \dfrac{1 - \beta^2}{\beta^2(\beta^2-3)}.\] Deux vitesses caractéristiques sont \[\begin{cases} V_1 = R\Omega_1 = R\omega_0, \\ V_2 = R\Omega_2 = \sqrt{3}R\omega_0. \\ \end{cases}\]

--- format: html: include-before-body: ../mathjax_defines.sty --- # Vibrations d'un train à trois wagons On étudie le modèle conservatif décrit par la figure suivante. Dans ce problème, les déplacements sont seulement horizontaux et la pesanteur n'est pas prise en compte. On note $x_1$, $x_2$, $x_3$ les positions respectives des 3 mobiles par rapport à leur position d'équilibre statique. ![Train à 3 wagons](figs/Train_1.svg){width="0.65\\linewidth"} ## Régime d'oscillations libres 1. Écrire les énergies cinétique $T$ et potentielle $U$. 2. Identifier les matrices de raideur $\K$ et d'inertie $\M$. 3. Déterminer les pulsations propres du système. 4. Calculer les vecteurs propres $\textbf{X}_i$. Représenter et discuter leur forme. 5. Déterminer la matrice modale $\X$. 6. En passant par la base modale, déterminer la forme générale des mouvements libres des 3 wagons 7. La voiture **1** est en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse $v_0 = 1$ m/s et roule vers les autres voitures immobiles. À l'instant $t=0$, le contact se produit et les trois voitures restent accouplées. Donner les 6 équations qui permettent d'obtenir les valeurs numériques des amplitudes des modes. ![Train avec impact](figs/Train_2.svg){width="0.65\\linewidth"} ## Régime d'oscillations forcées Le train est désormais en roulement à la vitesse constante $v$. L'un des essieux de la voiture deux est grippé de telle sorte qu'il en résulte une force harmonique longitudinale d'amplitude $F_2$ et de pulsation $\Omega$ telle que $\Omega = v/R$, où $R$ est le rayon des roues. 8. Écrire le système matriciel qui détermine les amplitudes $\textbf X_1$, $\textbf X_2$, $\textbf X_3$ des mouvements des 3 voitures. 9. Déterminer l'expression de la fonction de transfert $H_2 = X_2/F_2$ en fonction du paramètre sans dimension $\beta=\Omega/\omega_0$. En déduire deux vitesses de roulement caractéristiques du mouvement de **2**. :::{.content-hidden when-profile="nosolution"} ------------------------------------------------------------------------------------ ::: {.callout-tip title="Solution" collapse=true} #### Énergies L'énergie potentielle a pour expression $$ U = \dfrac{1}{2}k (x_2 - x_1)^2 + \dfrac{1}{2}k (x_3 - x_2)^2 = \dfrac{1}{2}kx_1^2 + kx_2^2 + \dfrac{1}{2}kx_3^2 - kx_1x_2 - kx_2x_3.$$ L'énergie cinétique a pour expression $$T = \dfrac{1}{2} m\dot x_1^2 + \dfrac{1}{2} m\dot x_2^2 + \dfrac{1}{2} m\dot x_3^2.$$ #### Matrices Pour trouver les matrices de raideur et de masse, on peut calculer la dérivée première des énergies potentielle et cinétique par rapport aux coordonnées généralisées $\mathbf x = (x_1, x_2, x_3)$. On a: $$ \begin{aligned} \frac{\partial T}{\partial \dot{\mathbf x}} & = \begin{pmatrix}m \dot x_1 \\ m\dot x_2 \\ m\dot x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \\ 0 & 0 & m\end{pmatrix} \cdot \dot{\mathbf x} = \mathbf M\cdot \dot{\mathbf x} \\ \frac{\partial U}{\partial \mathbf x} & = \begin{pmatrix} k(x_2 - x_1)(-1) \\ k(x_2 - x_1) + k(x_3 - x_2)(-1) \\ k(x_3 - x_2)\end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} kx_1 -kx_2 \\ -kx_1 + 2kx_2 - kx_3 \\ -kx_2 + kx_3\end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} k & -k & 0 \\ -k & 2k & -k \\ 0 & -k & k\end{pmatrix} \cdot \mathbf x = \mathbf K\cdot \mathbf x \end{aligned}$$ #### Pulsations propres La dynamique du système est gouvernée par le système d'équations suivant: $$\M \begin{pmatrix} \ddot x_1 \\ \ddot x_2 \\ \ddot x_3 \end{pmatrix} + \K \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$$ On cherche une solution sous la forme: $$ \mathbf x(t) = \mathbf X p(t). $$ Pour que $\mathbf x(t)$ soit solution du système, il faut que $p(t)$ et $\mathbf X$ soient solution de (voir démonstration @sec-decouplage-nddl): $$\left\{ \begin{aligned} \ddot p + \omega^2 p & = 0 \\ \mathbf {KX} & = \omega^2 \mathbf{MX} \end{aligned}\right.$$ La deuxième équation est un problème aux valeurs propres généralisé qui permet de trouver les pulsations propres. On pose $\lambda = \omega^2$. Pour trouver les valeurs propres, on cherche les racines du polynôme caractéristique: $$ \begin{aligned} \mathrm{det}(\mathbf K - \lambda \mathbf M) & = 0 \\ \Leftrightarrow\begin{vmatrix} k - \lambda m & -k & 0 \\ -k & 2k - \lambda m & -k \\ 0 & -k & k - \lambda m \end{vmatrix} & = 0 \\ \Leftrightarrow (k - \lambda m)^2(2k - \lambda m) - 2k^2(k - \lambda m) & = 0\\ \Leftrightarrow(k - \lambda m)\left[ (k - \lambda m)(2k - \lambda m) - 2k^2\right] & = 0 \end{aligned} $$ On a une première valeur propre avec $k - \lambda m = 0$. La seconde partie de l'équation donne, si on développe: $$ \begin{aligned} 2k^2 - 3\lambda km + \lambda^2 m^2 - 2k^2 & = 0 \\ \Leftrightarrow \lambda (\lambda m - 3k) & = 0 \end{aligned} $$ Ce qui donne les deux autres racines. On a donc: $$\omega_1 = 0,\quad \omega_2 = \sqrt{\frac{k}{m}},\quad \omega_3 = \sqrt{3\frac{k}{m}}$$ #### Vecteurs propres des modes On cherche les vecteurs propres $\mathbf X_i$ tels que: $$ \mathbf{KX}_i = \omega_i^2 \mathbf {MX}_i$$ Les vecteurs propres se calculent pour chaque valeur propre à partir de l'expression $$\begin{pmatrix} k- m\omega_i^2 & -k & 0 \\ -k & 2k- m\omega_i^2 & -k \\ 0 & -k & k- m\omega_i^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{1i} \\ X_{2i} \\ X_{3i} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$$ On obtient donc pour $\omega_1$ $$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{11} \\ X_{21} \\ X_{31} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ d'où $$X_{11} = X_{21} = X_{31}\quad\text{et}\quad\textbf X_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.$$ On obtient donc pour $\omega_2$ $$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{12} \\ X_{22} \\ X_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ d'où $$X_{22} = 0, X_{12} = -X_{32}\quad\text{et}\quad\textbf X_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.$$ On obtient donc pour $\omega_3$ $$\begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{13} \\ X_{23} \\ X_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ d'où $$2X_{13}=-X_{23}, 2X_{33}=-X_{23}\quad\text{et}\quad\textbf X_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}.$$ #### Matrice modale La matrice modale est composée des vecteurs propres en colonnes et a pour expression $$\X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.$$ #### Coordonnées modales Pour que $\mathbf x(t) = \mathbf {Xp}(t)$ soit solution, il faut que les coordonnées modales $p_i(t)$ soient solution de : $$ \ddot p_i + \omega_i^2 p_i = 0$$ Pour le mode $i = 1$ on a $\omega_i = 0$, donc l'équation est $\ddot p_1 = 0$, que l'on résout en intégrant deux fois. La solution pour les 3 modes est alors: $$ \left\{ \begin{aligned} p_1(t) & = A_1 + B_1 t \\ p_2(t) & = A_2\cos\omega_2 t + B_2\sin \omega_2 t \\ p_3(t) & = A_3\cos \omega_3 t + B_3 \sin \omega_3 t \end{aligned}\right. $$ On remarque que $p_1$ n'est pas un mouvement de vibration, ce qui est logique puisque $\omega_1 = 0$ et $\mathbf X_1$ est un mouvement de corps rigide. Avec la matrice modale, on peut écrire la solution générale: $$ \mathbf x(t) = \mathbf{Xp}(t) = \begin{pmatrix} p_1(t) + p_2(t) + p_3(t)\\ p_1(t) - 2p_3(t)\\ p_1(t) - p_2(t) + p_3(t) \end{pmatrix} $$ #### Conditions initiales Les conditions initiales pour les déplacements sont $$\x(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \text{et} \qquad \dot{\x} (0) = \begin{pmatrix} v_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. $$ On a donc: $$ \mathbf{Xp}(0) = 0\quad\text{et}\quad \mathbf {X\dot p}(0) = \mathbf v_0 $$ Comme la matrice modale $\mathbf X$ est inversible, on a $\mathbf p(0) = 0$ et donc $A_i = 0$ pour les trois modes. Pour la seconde condition, on note $\mathbf{M}_p = \mathbf{X^T M X}$ la matrice des masses modale, et on a: $$\begin{aligned} \mathbf{X\dot p}(0) & = \mathbf v_0\\ \Leftrightarrow\mathbf{X^T MX\dot p}(0) & = \mathbf{X^T M v}_0\\ \Leftrightarrow\mathbf{M}_p\mathbf{\dot p}(0) & = \mathbf{X^T M v}_0\\ \Leftrightarrow\mathbf{\dot p}(0) & = \mathbf{M}_p^{-1}\mathbf{X^T M v}_0\\ \end{aligned} $$ La matrice des masses modales est: $$ \mathbf{M}_p = m\mathbf{X^T X} = m\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{pmatrix} $$ On a aussi $\mathbf{X^T M v}_0 = m v_0 \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$ et: $$ \begin{aligned} \dot p_1(0) & = B_1\\ \dot p_2(0) & = B_2\omega_2\\ \dot p_3(0) & = B_3\omega_3\end{aligned} $$ Donc $$ \begin{aligned} B_1 & = \frac{v_0}{3}\\ B_2 & = \frac{v_0}{2\omega_2} \\ B_3 & = \frac{v_0}{6\omega_3} \end{aligned} $$ #### Forçage Le travail virtuel a pour expression : $$\delta W = \vec{F}(t)\cdot\delta \mathbf{x} = F_2\sin(\Omega t) \delta x_2,$$ d'où $$\Q = \begin{pmatrix} 0 \\ F_2\sin(\Omega t) \\ 0 \end{pmatrix}$$ La matrice principale d'inertie a pour expression $$\M_p = \X^t \M \X = \begin{pmatrix} 3m & 0 & 0 \\ 0 & 2m & 0 \\ 0 & 0 & 6m \end{pmatrix}.$$ La matrice modale de raideur a pour expression $$\K_p = \X^t \K \X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2k & 0 \\ 0 & 0 & 18k \end{pmatrix}.$$ La matrice des pulsations propres a pour expression $$\Delta = \M^{-1} \K = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \omega_0^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\omega_0^2 \end{pmatrix},$$ avec $\omega_0^2 = k/m$. Le vecteur $\p$ a donc pour expression $$\begin{aligned} \p & = (\Delta - \Omega^2 \mathbf I)^{-1} \M_p^{-1} \X^t \Q \\ & = \begin{pmatrix} \dfrac{-1}{\Omega^2} & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{\omega_0^2 - \Omega^2} & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{3\omega_0^2 - \Omega^2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3m} & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2m} & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{6m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ F_2\sin(\Omega t) \\ 0 \end{pmatrix} \\ & = - \dfrac{F_2\sin (\Omega t)}{3m} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\Omega^2} \\ 0 \\ \dfrac{1}{3\omega_0^2 - \Omega^2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$ Le vecteur $\x$ a donc pour expression $$\x = \X \p = - \dfrac{F_2\sin (\Omega t)}{3m} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\Omega^2} \\ 0 \\ \dfrac{1}{3\omega_0^2 - \Omega^2} \end{pmatrix} = - \dfrac{F_2\sin (\Omega t)}{m\Omega^2(3\omega_0^2 - \Omega^2)} \begin{pmatrix} \omega_0^2 \\ \omega_0^2 - \Omega^2 \\ \omega_0^2 \end{pmatrix}.$$ #### Fonction de transfert La fonction de transfert est donc : $$H_2(\Omega) = \dfrac{X_2}{F_2} = \dfrac{1}{k} \dfrac{1 - \beta^2}{\beta^2(\beta^2-3)}.$$ Deux vitesses caractéristiques sont $$\begin{cases} V_1 = R\Omega_1 = R\omega_0, \\ V_2 = R\Omega_2 = \sqrt{3}R\omega_0. \\ \end{cases}$$ ::: :::