8 Vibrations d’un train à trois wagons
On étudie le modèle conservatif décrit par la figure suivante. Dans ce problème, les déplacements sont seulement horizontaux et la pesanteur n’est pas prise en compte. On note \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) les positions respectives des 3 mobiles par rapport à leur position d’équilibre statique.
8.1 Régime d’oscillations libres
Écrire les énergies cinétique \(T\) et potentielle \(U\).
L’énergie potentielle a pour expression \[ U = \dfrac{1}{2}k (x_2 - x_1)^2 + \dfrac{1}{2}k (x_3 - x_2)^2 = \dfrac{1}{2}kx_1^2 + kx_2^2 + \dfrac{1}{2}kx_3^2 - kx_1x_2 - kx_2x_3.\] L’énergie cinétique a pour expression \[T = \dfrac{1}{2} m\dot x_1^2 + \dfrac{1}{2} m\dot x_2^2 + \dfrac{1}{2} m\dot x_3^2.\]
Identifier les matrices de raideur \(\K\) et d’inertie \(\M\).
On choisi comme vecteur des coordonnées généralisées \(\x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}\) Les expressions des énergies cinétique et potentielles peuvent être mises sous les formes respectives \[%\begin{cases} U = \dfrac{1}{2} (x_1,x_2,x_3) \K \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \\ T = \dfrac{1}{2} (\dot x_1, \dot x_2, \dot x_3) \M \begin{pmatrix} \dot x_1 \\ \dot x_2 \\ \dot x_3 \end{pmatrix}, %\end{cases}\] où les matrices d’inertie \(\M\) et de raideur \(\K\) ont pour expression \[\M = \begin{pmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \\ 0 & 0 & m \end{pmatrix}, \qquad \mbox{et} \qquad \K = \begin{pmatrix} k & -k & 0 \\ -k & 2k & -k \\ 0 & -k & k \end{pmatrix}.\]
Déterminer les pulsations propres du système.
Des matrices déterminées à la question 2), le système d’équation suivant est obtenu : \[\M \begin{pmatrix} \ddot x_1 \\ \ddot x_2 \\ \ddot x_3 \end{pmatrix} + \K \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\] On cherche une solution du type \[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix} e^{j\omega t}.\] On obtient alors \[\begin{pmatrix} k- m\omega^2 & -k & 0 \\ -k & 2k- m\omega^2 & -k \\ 0 & -k & k- m\omega^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\] Les valeurs propres sont donc obtenues par l’annulation du déterminant de la matrice \[\begin{aligned} \det(\K - \omega^2\M) & = (k- m\omega^2) \left[ (2k- m\omega^2)(k- m\omega^2) -k^2 \right] - k^2(k- m\omega^2) \\ & = (k- m\omega^2) \left[ (2k- m\omega^2)(k- m\omega^2) - 2k^2 \right] \\ & = - m\omega^2 (k- m\omega^2)(3k - m\omega^2). \end{aligned}\] Ainsi, les trois pulsations propres ont pour expression \[\begin{cases} \omega_1 = 0, \\ \omega_2 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}, \\ \omega_3 = \sqrt{3\dfrac{k}{m}}. \end{cases}\]
Calculer les vecteurs propres \(\textbf{X}_i\). Représenter et discuter leur forme.
On cherche les vecteurs propres \(\textbf X_i\) tels que \(\textbf X_ie^{j\omega_it}\) soit solution du problème aux valeurs propres. Le vecteur propre \(\textbf X_i = {^t\left(X_{1i}, X_{2i}, X_{3i} \right)}\) se calcule pour chaque valeur propre à partir de l’expression \[\begin{pmatrix} k- m\omega_i^2 & -k & 0 \\ -k & 2k- m\omega_i^2 & -k \\ 0 & -k & k- m\omega_i^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{1i} \\ X_{2i} \\ X_{3i} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\] On obtient donc pour \(\omega_1\) \[\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{11} \\ X_{21} \\ X_{31} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] d’où \[\textbf X_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.\] On obtient donc pour \(\omega_2\) \[\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{12} \\ X_{22} \\ X_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] d’où \[\textbf X_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.\] On obtient donc pour \(\omega_3\) \[\begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{13} \\ X_{23} \\ X_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] d’où \[\textbf X_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}.\]
Déterminer la matrice modale \(\X\).
La matrice modale a pour expression \[\X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.\]
En passant par la base modale, déterminer la forme générale des mouvements libres des 3 wagons
L’équation matricielle du mouvement s’écrit : \[\mathbf{M\ddot x+ Kx =0}\] En passant dans la base modale, on arrive au système découplé \[\mathbf{\ddot p+ \Delta p =0}\] Qui donne : \[\begin{cases} \ddot p_1(t) = 0 \\ \ddot p_2(t) + \omega_2^2 p_2(t)=0\\ \ddot p_3(t) + \omega_3^2 p_3(t)=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} p_1(t) = A_{11} t + A_{12}\\ p_2(t) = A_{21}\cos(\omega_2 t) + A_{22}\sin(\omega_2 t)\\ p_3(t) = A_{31}\cos(\omega_3 t) + A_{32}\sin(\omega_3 t) \end{cases}\]
Et le mouvement libre de chacun des 3 wagons est obtenu par \(\mathbf{x}(t) = \mathbf X\mathbf p(t)\): \[\begin{cases} x_1(t) = p_1(t)+ p_2(t) + p_3(t)\\ x_2(t) = p_1(t)-2p_3(t)\\ x_3(t) = p_1(t)-p_2(t) +p_3(t)\\ \end{cases}\]
La voiture 1 est en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse \(v_0 = 1\) m/s et roule vers les autres voitures immobiles. À l’instant \(t=0\), le contact se produit et les trois voitures restent accouplées.
Donner les 6 équations qui permettent d’obtenir les valeurs numériques des amplitudes des modes.
Les conditions aux limites pour les positions initiales sont \[\x(t = 0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \text{et} \qquad \dot{\x} (t = 0) = \begin{pmatrix} v_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\] Les conditions initiales sur le déplacement, \[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{12} \\ A_{21} \\ A_{31} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\] donnent directement \(A_{12} = A_{21} = A_{31} = 0\). Les conditions initiales sur la vitesse, \[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{11} \\ \omega_2A_{22} \\ \omega_3A_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\] fournissent le système suivant : \[\begin{pmatrix} A_{11} + \omega_2A_{22} + \omega_3A_{32} \\A_{11} - 2\omega_3A_{32} \\ A_{11} - \omega_2A_{22} + \omega_3A_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\] On obtient finalement \[\begin{cases} A_{11} = \dfrac{v_0}{3}, \\ A_{22} = \dfrac{v_0}{2\omega_2}, \\ A_{32} = \dfrac{v_0}{6\omega_3}. \end{cases}\]
8.2 Régime d’oscillations forcées
Le train est désormais en roulement à la vitesse constante \(v\). L’un des essieux de la voiture deux est grippé de telle sorte qu’il en résulte une force harmonique longitudinale d’amplitude \(F_2\) et de pulsation \(\Omega\) telle que \(\Omega = v/R\), où \(R\) est le rayon des roues. Écrire le système matriciel qui détermine les amplitudes \(\textbf X_1\), \(\textbf X_2\), \(\textbf X_3\) des mouvements des 3 voitures.
Le travail virtuel a pour expression : \[\delta W = \vec{F}(t)\cdot\delta \mathbf{x} = F_2\sin(\Omega t) \delta x_2,\] d’où \[\Q = \begin{pmatrix} 0 \\ F_2\sin(\Omega t) \\ 0 \end{pmatrix}\] La matrice principale d’inertie a pour expression \[\M_p = \X^t \M \X = \begin{pmatrix} 3m & 0 & 0 \\ 0 & 2m & 0 \\ 0 & 0 & 6m \end{pmatrix}.\] La matrice modale de raideur a pour expression \[\K_p = \X^t \K \X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2k & 0 \\ 0 & 0 & 18k \end{pmatrix}.\] La matrice des pulsations propres a pour expression \[\Delta = \M^{-1} \K = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \omega_0^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\omega_0^2 \end{pmatrix}.\] Le vecteur \(\p\) a donc pour expression \[\begin{aligned} \p & = (\Delta - \Omega^2 \mathbf I)^{-1} \M_p^{-1} \X^t \Q \\ & = \begin{pmatrix} \dfrac{-1}{\Omega^2} & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{\omega_0^2 - \Omega^2} & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{3\omega_0^2 - \Omega^2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3m} & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2m} & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{6m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ F_2\sin(\Omega t) \\ 0 \end{pmatrix} \\ & = - \dfrac{F_2\sin (\Omega t)}{3m} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\Omega^2} \\ 0 \\ \dfrac{1}{3\omega_0^2 - \Omega^2} \end{pmatrix} \end{aligned}\] Le vecteur \(\x\) a donc pour expression \[\x = \X \p = - \dfrac{F_2\sin (\Omega t)}{3m} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\Omega^2} \\ 0 \\ \dfrac{1}{3\omega_0^2 - \Omega^2} \end{pmatrix} = - \dfrac{F_2\sin (\Omega t)}{m\Omega^2(3\omega_0^2 - \Omega^2)} \begin{pmatrix} \omega_0^2 \\ \omega_0^2 - \Omega^2 \\ \omega_0^2 \end{pmatrix}.\]
Déterminer l’expression de la fonction de transfert \(H_2 = X_2/F_2\) en fonction du paramètre sans dimension \(\beta=\Omega/\omega_0\). En déduire deux vitesses de roulement caractéristiques du mouvement de 2.
La fonction de transfert est donc : \[H_2(\Omega) = \dfrac{X_2}{F_2} = \dfrac{1}{k} \dfrac{1 - \beta^2}{\beta^2(\beta^2-3)}.\] Deux vitesses caractéristiques sont \[\begin{cases} V_1 = R\Omega_1 = R\omega_0, \\ V_2 = R\Omega_2 = \sqrt{3}R\omega_0. \\ \end{cases}\]