Formulaire

Calculs de déterminants de matrice

Le déterminant d’une matrice 2x2 a pour expression \[\text{det} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc\] et celui d’une matrice 3x3 est donné par la relation \[\text{det} \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} =a \left| \begin{array}{cc} e & f\\ h & j \end{array} \right| -d \left| \begin{array}{cc} b & c\\ h & i \end{array} \right| +g \left| \begin{array}{cc} b & c\\ e & f \end{array} \right| = a (ei - fh) - d(bi - ch) + g(bf - ec).\]

Transformée de Laplace

Définition : $f(t) \longleftrightarrow \tilde f(s) = \displaystyle\int_0^\infty f(t) e^{st} \text{d}t$

Linéarité : $\alpha_1f_1(t) + \alpha_2f_2(t) \longleftrightarrow \alpha_1\tilde f_1(s) + \alpha_2\tilde f_2(s)$

TL des dérivées : $\begin{cases} \dot f(t) \longleftrightarrow s \tilde f(s) - f(0) \\ \ddot f(t) \longleftrightarrow s^2 \tilde f(s) - sf(0) - \dot f(0) \end{cases}$

Propriétés de décalage : $\begin{cases} f(t-t_0)\Pi(t - t_0) \longleftrightarrow \tilde f(s)e^{-st_0} \\ f(t)e^{-t\omega_0} \longleftrightarrow \tilde f(s+\omega_0) \end{cases}$

\[\begin{gather*} \delta(t) \longleftrightarrow 1 \\ t^n e^{\omega_0t}\Pi(t) \longleftrightarrow \dfrac{n!}{(s-\omega_0)^{n+1}} \\ \sin(\omega_0t)\Pi(t) \longleftrightarrow \dfrac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2} \\ \cos(\omega_0t)\Pi(t) \longleftrightarrow \dfrac{s}{s^2 + \omega_0^2} \\ e^{- at}\sin(\omega_0t)\Pi(t) \longleftrightarrow \dfrac{\omega_0}{(s + a)^2 + \omega_0^2} \\ e^{- at}\cos(\omega_0t)\Pi(t) \longleftrightarrow \dfrac{s + a}{(s + a)^2 + \omega_0^2} \\ \end{gather*}\]

Tables d’intégrales

Si $m$ et $n$ sont des entiers non nuls tels que $m \neq n$, on a \[\begin{cases} \displaystyle \int_0^L \sin \left( \dfrac{m\pi}{2L} x \right)\sin \left( \dfrac{n\pi}{2L} x \right) \mathrm{d}x = \dfrac{L}{\pi(m-n)}\sin (m-n)\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{L}{\pi(m+n)}\sin (m+n)\dfrac{\pi}{2}, \\ \displaystyle \int_0^L \cos \left( \dfrac{m\pi}{2L} x \right)\cos \left( \dfrac{n\pi}{2L} x \right) \mathrm{d}x = \dfrac{L}{\pi(m-n)}\sin (m-n)\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{L}{\pi(m+n)}\sin (m+n)\dfrac{\pi}{2}, \\ \displaystyle \int_0^L \sin \left( \dfrac{m\pi}{2L} x \right)\cos \left( \dfrac{n\pi}{2L} x \right) \mathrm{d}x = \dfrac{L}{2}. \end{cases}\] Si $m$ est un entier non nul, on a \[\begin{cases} \displaystyle \int_0^L \sin^2 \left( \dfrac{m\pi}{2L} x \right) \mathrm{d}x = \dfrac{L}{2}, \\ \displaystyle \int_0^L \cos^2 \left( \dfrac{m\pi}{2L} x \right) \mathrm{d}x = \dfrac{L}{2}, \\ \displaystyle \int_0^L \sin \left( \dfrac{m\pi}{2L} x \right)\cos \left( \dfrac{m\pi}{2L} x \right) \mathrm{d}x = \dfrac{L}{2}. \end{cases}\]

# Formulaire {#annexe-formulaire .unnumbered} ## Calculs de déterminants de matrice {#calculs-de-déterminants-de-matrice .unnumbered} Le déterminant d'une matrice 2x2 a pour expression $$\text{det} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$$ et celui d'une matrice 3x3 est donné par la relation $$\text{det} \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} =a \left| \begin{array}{cc} e & f\\ h & j \end{array} \right| -d \left| \begin{array}{cc} b & c\\ h & i \end{array} \right| +g \left| \begin{array}{cc} b & c\\ e & f \end{array} \right| = a (ei - fh) - d(bi - ch) + g(bf - ec).$$ ## Transformée de Laplace {#transformée-de-laplace .unnumbered} Définition : $f(t) \longleftrightarrow \tilde f(s) = \displaystyle\int_0^\infty f(t) e^{st} \text{d}t$ Linéarité : $\alpha_1f_1(t) + \alpha_2f_2(t) \longleftrightarrow \alpha_1\tilde f_1(s) + \alpha_2\tilde f_2(s)$ TL des dérivées : $\begin{cases} \dot f(t) \longleftrightarrow s \tilde f(s) - f(0) \\ \ddot f(t) \longleftrightarrow s^2 \tilde f(s) - sf(0) - \dot f(0) \end{cases}$ Propriétés de décalage : $\begin{cases} f(t-t_0)\Pi(t - t_0) \longleftrightarrow \tilde f(s)e^{-st_0} \\ f(t)e^{-t\omega_0} \longleftrightarrow \tilde f(s+\omega_0) \end{cases}$ \begin{gather*} \delta(t) \longleftrightarrow 1 \\ t^n e^{\omega_0t}\Pi(t) \longleftrightarrow \dfrac{n!}{(s-\omega_0)^{n+1}} \\ \sin(\omega_0t)\Pi(t) \longleftrightarrow \dfrac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2} \\ \cos(\omega_0t)\Pi(t) \longleftrightarrow \dfrac{s}{s^2 + \omega_0^2} \\ e^{- at}\sin(\omega_0t)\Pi(t) \longleftrightarrow \dfrac{\omega_0}{(s + a)^2 + \omega_0^2} \\ e^{- at}\cos(\omega_0t)\Pi(t) \longleftrightarrow \dfrac{s + a}{(s + a)^2 + \omega_0^2} \\ \end{gather*} ## Tables d'intégrales {#tables-dintégrales .unnumbered} Si $m$ et $n$ sont des entiers non nuls tels que $m \neq n$, on a $$\begin{cases} \displaystyle \int_0^L \sin \left( \dfrac{m\pi}{2L} x \right)\sin \left( \dfrac{n\pi}{2L} x \right) \mathrm{d}x = \dfrac{L}{\pi(m-n)}\sin (m-n)\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{L}{\pi(m+n)}\sin (m+n)\dfrac{\pi}{2}, \\ \displaystyle \int_0^L \cos \left( \dfrac{m\pi}{2L} x \right)\cos \left( \dfrac{n\pi}{2L} x \right) \mathrm{d}x = \dfrac{L}{\pi(m-n)}\sin (m-n)\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{L}{\pi(m+n)}\sin (m+n)\dfrac{\pi}{2}, \\ \displaystyle \int_0^L \sin \left( \dfrac{m\pi}{2L} x \right)\cos \left( \dfrac{n\pi}{2L} x \right) \mathrm{d}x = \dfrac{L}{2}. \end{cases}$$ Si $m$ est un entier non nul, on a $$\begin{cases} \displaystyle \int_0^L \sin^2 \left( \dfrac{m\pi}{2L} x \right) \mathrm{d}x = \dfrac{L}{2}, \\ \displaystyle \int_0^L \cos^2 \left( \dfrac{m\pi}{2L} x \right) \mathrm{d}x = \dfrac{L}{2}, \\ \displaystyle \int_0^L \sin \left( \dfrac{m\pi}{2L} x \right)\cos \left( \dfrac{m\pi}{2L} x \right) \mathrm{d}x = \dfrac{L}{2}. \end{cases}$$