15 Vibrations transverses : Méthode de Rayleigh-Ritz
On souhaite maintenant déterminer les fréquences propres et les modes propres de vibrations transverses de poutres complexes par une méthode approchée : la méthode de Rayleigh-Ritz. Pour une poutre encastrée–libre, les fonctions de déplacement \(g_0(x)\) et \(g_1(x)\) ont pour expressions respectives :
\[\begin{cases} g_0(x) = \left(\dfrac{x}{L}\right)^2, \\ g_1(x) = \left(\dfrac{x}{L}\right)^3. \end{cases}\]
Déterminer les deux premières pulsations propres et les modes correspondants dans le cas de vibrations libres en flexion.
Le déplacement est donné par l’expression \[v(x,t) \approx f_1(t) \left(\dfrac{x}{L}\right)^2 + f_2(t) \left(\dfrac{x}{L}\right)^3.\] L’énergie cinétique a pour expression \[\begin{aligned} T & = \dfrac{1}{2} \int_0^L \rho S \left(\dfrac{\partial v}{\partial t}\right)^2 \d{} x \\ & = \dfrac{\rho S}{2} \int_0^L \left[\dot f_1^2(t) \left(\dfrac{x}{L}\right)^4 + \dot f_2^2(t) \left(\dfrac{x}{L}\right)^6 + 2\dot f_1(t) \dot f_2(t) \left(\dfrac{x}{L}\right)^5\right] \d x \\ & = \dfrac{\rho S}{2} \left[\dot f_1^2(t) \dfrac{L}{5} + \dot f_2^2(t) \dfrac{L}{7} + 2\dot f_1(t) \dot f_2(t) \dfrac{L}{6}\right] \\ \end{aligned}\] La matrice d’inertie a donc pour expression \[\M = \rho SL \begin{pmatrix} \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{6} \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{7} \\ \end{pmatrix}.\] L’énergie de déformation a pour expression \[\begin{aligned} U & = \dfrac{1}{2} \int_0^L EI \left(\dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right)^2 \d x \\ & = \dfrac{EI}{2} \int_0^L \left[f_1(t) \dfrac{2}{L^2} + f_2(t) \dfrac{6x}{L^3}\right]^2 \d x \\ & = \dfrac{EI}{2} \int_0^L \left[f_1^2(t)\dfrac{4}{L^4} + f_2^2(t) \dfrac{36x^2}{L^6} + 24f_1(t)f_2(t)\dfrac{x}{L^5}\right] \d x \\ & = \dfrac{EI}{2} \left[f_1^2(t)\dfrac{4}{L^3} + f_2^2(t) \dfrac{12}{L^3} + f_1(t)f_2(t)\dfrac{12}{L^3}\right] \end{aligned}\] La matrice d’inertie a donc pour expression \[\K = \dfrac{EI}{L^3} \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 12 \\ \end{pmatrix}.\] Le système matriciel à résoudre est donc le suivant : \[\M \begin{pmatrix} \ddot f_1 \\ \ddot f_2 \end{pmatrix} + \K \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\] On cherche une solution du type \[\begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix} = e^{j\omega t} \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \end{pmatrix}\] conduisant au système \[\begin{pmatrix} 4\dfrac{EI}{L^3} - \omega^2 \dfrac{\rho SL}{5} & 6\dfrac{EI}{L^3} - \omega^2 \dfrac{\rho SL}{6} \\ 6\dfrac{EI}{L^3} - \omega^2 \dfrac{\rho SL}{6} & 12\dfrac{EI}{L^3} - \omega^2 \dfrac{\rho SL}{7} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] ou encore \[\begin{pmatrix} 4\dfrac{c_L^2}{L^4} - \dfrac{\omega^2L}{5} & 6\dfrac{c_L^2}{L^4} - \dfrac{\omega^2}{6} \\ 6\dfrac{c_L^2}{L^4} - \dfrac{\omega^2}{6} & 12\dfrac{c_L^2}{L^4} - \dfrac{\omega^2}{7} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\] L’annulation du déterminant conduit aux carrés des pulsations \[\begin{cases} \omega_1 = 3,53 \dfrac{c}{L^2}, \\ \omega_2 = 34,8 \dfrac{c}{L^2}. \end{cases}\] Les vecteurs propres associés ont pour expression \[\textbf X_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -0,38 \end{pmatrix} \qquad \mbox{et} \qquad \textbf X_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1,22 \end{pmatrix}.\]
La poutre est maintenant encastrée en \(x=0\) et l’autre extrémité est liée à un support de masse \(m\) et de raideur \(k\). En utilisant les mêmes fonctions de déplacement que pour la poutre encastrée–libre et en notant \(f_3(t)\) le déplacement de la masse, déterminer les trois premières pulsations propres et les modes correspondants. On étudiera le cas particulier où \(k = EI/L^3\) et \(m = \rho SL/7\).
L’énergie cinétique \(E_c\) est la somme de l’énergie cinétique \(E_c^p\) de la poutre et de celle \(E_c^m\) de la masse : \[T = T_p + T_m = \dfrac{\rho S}{2} \left[\dot f_1^2(t) \dfrac{L}{5} + \dot f_2^2(t) \dfrac{L}{7} + 2\dot f_1(t) \dot f_2(t) \dfrac{L}{6}\right] + \dfrac{1}{2}m \dot f_3^2(t).\] La matrice d’inertie a donc pour expression \[\M = \rho SL
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{6} & 0 \\
\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{7} & 0 \\
0 & 0 & \dfrac{1}{7}
\end{pmatrix}.\] L’énergie de déformation \(E_d\) est la somme de l’énergie de déformation \(E_d^p\) de la poutre et de celle \(E_d^m\) de la masse : \[\begin{aligned}
U & = U_p + U_m \\
& = \dfrac{EI}{2} \left[f_1^2(t)\dfrac{4}{L^3} + f_2^2(t) \dfrac{12}{L^3} + f_1(t)f_2(t)\dfrac{12}{L^3}\right] + \dfrac12 k \left( v(L) - f_3(t) \right)^2 \\
& = \dfrac{EI}{2} \left[f_1^2(t)\dfrac{4}{L^3} + f_2^2(t) \dfrac{12}{L^3} + f_1(t)f_2(t)\dfrac{12}{L^3}\right] + \dfrac12 k [f_1(t) + f_2(t) - f_3(t)]^2 \\
& = \dfrac{EI}{2} \left[f_1^2(t)\dfrac{4}{L^3} + f_2^2(t) \dfrac{12}{L^3} + f_1(t)f_2(t)\dfrac{12}{L^3}\right] + \dfrac12 k [f_1^2(t) + f_2^2(t) + f_3^2(t) + 2f_1(t)f_2(t) - 2f_1(t)f_3(t) - 2f_2(t)f_3(t)]^2 \\
\end{aligned}\] La matrice d’inertie a donc pour expression \[\K = \dfrac{EI}{L^3}
\begin{pmatrix}
5 & 7 & -1 \\
7 & 13 & -1 \\
-1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.\] Après avoir posé \(a = \dfrac{\rho SL^4}{EI}\), le système matriciel à résoudre est donc le suivant : \[\M
\begin{pmatrix}
\ddot f_1 \\ \ddot f_2
\end{pmatrix}
+ \K
\begin{pmatrix}
f_1 \\ f_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ 0
\end{pmatrix}.\] On cherche une solution du type \[\begin{pmatrix}
f_1 \\ f_2 \\ f_3
\end{pmatrix}
= e^{j\omega t}
\begin{pmatrix}
F_1 \\ F_2 \\ F_3
\end{pmatrix}\] conduisant au système \[\begin{pmatrix}
5 - \dfrac{a\omega^2}{5} & 7 - \dfrac{a\omega^2}{6} & -1 \\
7 - \dfrac{a\omega^2}{6} & 13 - \dfrac{a\omega^2}{7} & -1 \\
-1 & -1 & 1 - \dfrac{a\omega^2}{7}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
F_1 \\ F_2 \\ F_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}.\] L’annulation du déterminant conduit aux carrés des pulsations \[\begin{cases}
\omega_1 = 2,14 \dfrac{c}{L^2}, \\
\omega_2 = 4,35 \dfrac{c}{L^2}, \\
\omega_3 = 34,92 \dfrac{c}{L^2}.
\end{cases}\]
On considère la même poutre supportant à son extrémité libre une charge de masse \(M\) et supportée en son milieu par un matériau élastique de raideur \(k\). Calculer la fréquence fondamentale des vibrations en flexion de ce système, en utilisant la fonction de déplacement \(v(x,t)\).
\[v(x,t) = f(t) \left[ 3\left(\dfrac{x}{L}\right)^2 - \left(\dfrac{x}{L}\right)^3 \right].\]
Le déplacement est donné par l’expression \[v(x,t) \approx f(t) \left[ 3\left(\dfrac{x}{L}\right)^2 - \left(\dfrac{x}{L}\right)^3 \right].\]
L’énergie cinétique de la poutre a pour expression \[\begin{aligned} T_p & = \dfrac{1}{2} \int_0^L \rho S \left(\dfrac{\partial v}{\partial t}\right)^2 \d x \\ & = \dfrac{\rho S}{2} \dot f^2(t) \int_0^L \left[ 9\left(\dfrac{x}{L}\right)^4 + \left(\dfrac{x}{L}\right)^6 - 6\left(\dfrac{x}{L}\right)^5 \right] \d x \\ & = \dfrac{\rho SL}{2} \dot f^2(t) \left( \dfrac{9}{5} + \dfrac{1}{7} - 1 \right) \\ & = \dfrac12 \dfrac{33\rho SL}{35} \dot f^2(t) \end{aligned}\] L’énergie cinétique de la masse a pour expression \[T_m = \dfrac{1}{2}Mv^2(L,t) = \dfrac{1}{2} 4M \dot f(t)\] L’énergie de déformation de la poutre a pour expression \[\begin{aligned} U_p & = \dfrac{1}{2} \int_0^L EI \left(\dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right)^2 \d x \\ & = \dfrac{1}{2} EI f^2(t) \int_0^L \left[ \dfrac{6}{L^2} - \dfrac{6x}{L^3} \right]^2 \d x \\ & = \dfrac{1}{2} EI f^2(t) \int_0^L \left[ \dfrac{36}{L^4} + \dfrac{36x^2}{L^6} - \dfrac{72x}{L^5} \right] \d x \\ & = \dfrac{1}{2} \dfrac{12EI}{L^3} f^2(t) \\ \end{aligned}\] L’énergie de déformation de la masse a pour expression \[U_m = \dfrac{1}{2}kv^2(L/2,t) = \dfrac{1}{2} . \dfrac{25k}{64} f(t)\] L’équation à résoudre est donc la suivante : \[\left(\dfrac{33\rho SL}{35} + 4M\right)\ddot f + \left(\dfrac{12EI}{L^3} + \dfrac{25k}{64} \right)f = 0.\] On cherche une solution du type \[f(t) = Fe^{j\omega t}\] conduisant à l’équation \[\left(\dfrac{12EI}{L^3} + \dfrac{25k}{64} \right) - \left(\dfrac{33\rho SL}{35} + 4M\right)\omega^2 = 0.\] La pulsation propre a alors pour expression \[\omega = \sqrt{\dfrac{\dfrac{12EI}{L^3} + \dfrac{25k}{64}}{\dfrac{33\rho SL}{35} + 4M}}.\]