Annexe B — Oscillateur à un degré de liberté
Cette page résume les fondamentaux de l’oscillateur linéaire, aussi connu sous le nom de “système masse-ressort”, dont l’équation est: \[ m\ddot x + c\dot x + kx = f(t). \] On mettra cette équation sous forme canonique: \[ \ddot x + 2\xi\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = \frac{1}{m}f(t),\quad\text{avec } \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}},\quad\text{et } \xi = \frac{c}{2m\omega_0}. \] On nomme \(\omega_0\) la pulsation propre (ou naturelle) et \(\xi\) le coefficient d’amortissement (normalisé). On ajoute à l’équation ci-dessus les conditions initiales suivantes: \[ x(0) = x_0,\quad \dot x(0) = v_0, \] qui prescrivent la position et la vitesse initiale.
On pourra également adimensionnaliser l’équation de l’oscillation en introduisant une distance caractéristique \(x^*\) (\(x = \bar x \cdot x^*\)) et en utilisant \(\omega_0\) (homogène à \(\mathrm{Temps}^{-1}\)) pour adimensionnaliser le temps (\(t = \bar t / \omega_0\)):
\[\begin{align*} \ddot x + 2\xi\omega_0 x + \omega_0^2 x = \frac{1}{m}f(t) & \Leftrightarrow \ddot{\bar x}\cdot x^*\omega_0^2 + 2\xi\omega_0^2 \dot{\bar x}\cdot x^* + \omega_0^2\bar x\cdot x^* = \frac{1}{m}f(\bar t / \omega_0)\\ & \Leftrightarrow x^*\omega_0^2\left(\ddot{\bar x} + 2\xi\dot{\bar x} + \bar x\right) = \frac{1}{m}f(\bar t / \omega_0)\\ & \Leftrightarrow \ddot{\bar x} + 2\xi\dot{\bar x} + \bar x = \frac{1}{kx^*}f(\bar t / \omega_0) = \bar f(\bar t)\\ \end{align*}\]
\(\bar f\) est la force externe adimensionnalisée (par \(k x^*\)) en fonction de \(\bar t\).
Astuce
Le choix de \(x^*\) est à la charge du ou de la scientifique. Un choix commun est de prendre \(x^*\) égal à la position d’équilibre statique (par exemple sous l’effet de la gravité). Cela permet de déterminer l’importance du déplacement dû aux vibrations par rapport au déplacement dû aux charges mortes.
B.1 Vibrations libres
Lorsque \(f(t) = 0\), on obtient l’équation homogène \(\ddot x + 2\xi\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = 0\), dont les solutions sont:
- \(\xi < 1\): \(x(t) = e^{-\xi\omega_0 t}\left(A\cos(\omega_0\sqrt{1 - \xi^2} t) + B\sin(\omega_0\sqrt{1 - \xi^2} t)\right) = Ce^{-\xi\omega_0 t}\cos(\omega_0\sqrt{1-\xi^2}t - \phi)\)
- \(\xi = 1\): \(x(t) = e^{-\omega_0 t}(A + Bt)\)
- \(\xi > 1\): \(x(t) = e^{-\xi\omega_0 t}\left(A\cosh(\omega_0\sqrt{\xi^2 - 1}t) + B\sinh(\omega_0\sqrt{\xi^2 - 1}t)\right)\)
Les constantes \(A, B\) ou \(C, \phi\) sont à déterminer à partir des conditions initiales. La Figure B.1 montre l’évolution de \(x(t)\) dans les trois situations d’amortissement.
Note
Il est important de noter que la période d’oscillation est affectée par l’amortissement \(\xi\). La pulsation propre est :
\[ \omega_d = \omega_0\sqrt{1-\xi^2}. \]
En revanche, un développement asymptotique de \(\omega_d\) révèle qu’au premier ordre, si \(\xi \ll 1\), l’approximation \(\omega_d \approx \omega_0\) est raisonnable.
Lorsque \(\xi\) s’approche de 1 le mouvement devient apériodique.
On remarque deux temps caractéristiques dans l’expression de \(x(t)\) (dans le cas \(0 < \xi < 1\)):
- La (pseudo-)période d’oscillation \(T_d = 2\pi / \omega_d\)
- Le temps de décroissance de l’enveloppe exponentielle \(\tau = (\xi\omega_0)^{-1}\)
Si l’amortissement est faible (\(\xi \ll 1\)), ces deux échelles de temps sont bien séparées et \(\tau \gg T_d\). À partir de la définition de \(\tau\), on peut réécrire l’équation de la dynamique:
\[ m\ddot x + c\dot x + k x = m\ddot x + \frac{2m}{\tau}\dot x + k x = 0,\quad \text{on a donc} \quad c = \frac{2m}{\tau}.\]
Le temps \(\tau\) est lié à l’énergie mécanique échangée avec l’environnement, c’est-à-dire l’énergie dissipée ou “perdue”.
\[\begin{align*} U + T & = \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}m\dot x^2 \\ & = \frac{1}{2}m(\omega_0^2 x^2 + \dot x^2) \\ & = \frac{1}{2}mC^2e^{\frac{-2t}{\tau}} \left(\omega_0^2\cos^2(\omega_d t - \phi) + (-\frac{1}{\tau}\cos(\omega_d t - \phi) - \omega_d\sin(\omega_d t - \phi))^2\right)\\ & \approx \frac{1}{2}m\omega_0^2C^2e^{\frac{-t}{\tau/2}} \end{align*}\]
La dernière approximation suppose \(\xi \ll 1\) (ce qui implique \(\frac{1}{\tau} \ll \omega_d,\ \omega_d \approx \omega_0\)). Le temps caractéristique de décroissance de l’énergie mécanique est donc \(\tau / 2\).
B.2 Vibrations forcées
On considère l’équation non-homogène :
\[ \ddot x + 2\xi\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = \frac{1}{m} f(t). \]
La solution générale à cette équation s’écrit :
\[ x(t) = x_h(t) + x_p(t), \]
où \(x_h\) est la solution générale de l’équation homogène, et \(x_p\) est une solution particulière de l’équation non-homogène. La solution particulière doit être déterminée au cas-par-cas à partir de \(f(t)\) : parfois il n’est pas possible d’obtenir une solution analytique.
B.2.1 Force externe harmonique
Le cas le plus simple est \(f(t) = F(\Omega)\cos\Omega t\), ou alternativement \(f(t) = F(\Omega)\sin\Omega t\). \(\Omega\) est la pulsation du forçage, et la fonction \(F(\Omega)\) donne l’amplitude de la force en fonction de \(\Omega\).
Note
L’amplitude de la force externe peut varier en fonction de la fréquence de forçage selon la façon dont le forçage est appliqué sur la structure. Par exemple:
- Force directe \(F_0\) sur la structure : \(F(\Omega) = F_0\)
- Mouvement de la base d’amplitude \(H\) (p.ex. la route dans le salaire de la peur, Chapitre 6): \(F(\Omega) = kH\cdot\sqrt{1 + \left(2\xi\frac{\Omega}{\omega_0}\right)^2}\)
- Masse \(m\) tournante sur un cercle de rayon \(\ell\) : \(F(\Omega) = m\ell \Omega^2\).
Passage dans le plan complexe
Pour calculer la réponse forcée du système, on peut postuler une force de la solution particulière, soit \(x(t) = X\cos(\Omega t + \phi)\), soit \(x(t) = X\sin(\Omega t + \phi)\), soit \(x(t) = A\cos\Omega t + B\sin\Omega t\). Pour simplifier, on passe dans le plan complexe avec une force externe de la forme:
\[ f(t) = F(\Omega) e^{i\Omega t}, \]
et on cherche une solution de la forme:
\[ x(t) = X e^{i\Omega t},\quad X\in\mathbb C. \]
Le module \(|X|\) et l’argument \(\mathrm{arg}(X)\) donnent respectivement l’amplitude \(X\) et la phase \(\phi\) des formes réelles de \(x(t)\) proposées ci-dessus. On a besoin des dérivées de \(x\):
\[\begin{align*} \dot x(t)& = i\Omega Xe^{i\Omega t},\\ \ddot x(t)& = -\Omega^2 Xe^{i\Omega t}, \end{align*}\]
puis on remplace dans l’équation non-homogène:
\[ \begin{aligned} \ddot x + 2\xi\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x & = \frac{F(\Omega)}{m}e^{i\Omega t}\\ \Leftrightarrow -\Omega^2 Xe^{i\Omega t} + i2\xi\omega_0\Omega Xe^{i\Omega t} + \omega_0^2 Xe^{i\Omega t} & = \frac{F(\Omega)}{m}e^{i\Omega t}\\ \Leftrightarrow \left(\omega_0^2 -\Omega^2 + i2\xi\omega_0\Omega\right) Xe^{i\Omega t} & = \frac{F(\Omega)}{m}e^{i\Omega t}\\ \Leftrightarrow \left(\left(\omega_0^2 -\Omega^2 + i2\xi\omega_0\Omega\right) X - \frac{F(\Omega)}{m}\right)e^{i\Omega t} & = 0\quad \forall t \end{aligned} \]
La dernière équation ne peut être vrai pour tout \(t\) que si:
\[ X = \frac{F(\Omega) / m}{\omega_0^2 - \Omega^2 + i2\xi\omega_0\Omega} = \frac{F(\Omega)/m}{\omega_0^2\left(1 - \left(\frac{\Omega}{\omega_0}\right)^2 + i2\xi\frac{\Omega}{\omega_0}\right)} = \frac{F(\Omega)/k}{1 - \beta^2 + i2\xi\beta}\quad\text{avec}\quad \beta = \frac{\Omega}{\omega_0}\]
On souhaite maintenant trouver l’amplitude du mouvement forcé, et sa phase par rapport au forçage, on a:
\[\begin{aligned} X = \frac{F(\Omega)/k}{1-\beta^2 + i2\xi\beta} & = \frac{F(\Omega)/k}{1-\beta^2 + i2\xi\beta}\cdot\frac{1-\beta^2- i2\xi\beta}{1-\beta^2 - i2\xi\beta}\\ & = \frac{F(\Omega)/k}{(1-\beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2}(1-\beta^2 - i2\xi\beta)\\ |X| & = \frac{F(\Omega)/k}{(1-\beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2} \sqrt{(1-\beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2} = \frac{F(\Omega)/k}{\sqrt{(1-\beta^2)^2 + (2\xi\beta)^2}}\\ \mathrm{arg} X & = \arctan\left(\frac{-2\xi\beta}{1-\beta^2}\right) \end{aligned} \]
La Figure B.2 montre l’amplitude et la phase du mouvement forcé pour \(F(\Omega) = F_0\).
On remarque que le pic d’amplitude ne se produit pas à \(\beta = 1\), mais \(\beta = \sqrt{1 - 2\xi^2}\).
